1、1以知过点 的直线 与曲线 交于两个不同点 和 ，求曲线(0,1)l1:(0)CyxMN在点 、 处的切线的交点轨迹。CMN解：设 的坐标分别为 和 ，曲线 在点 、 处的切线分别为 ，,1(,)x2(,)C12,l其交点 的坐标为 。若直线 的斜率为 ，则 的方程为P,pylklykx由方程组 ，消去 ，得 ，即 。由题意知，该方1yxk1x2(1)0程在 上有两个相异的实根 ，故 ，且(0,)12,xk124()(13014()kxkkA对 求导，得 ， 。于是，直线 的方程1yx1 221,xyy则 2 21xy 1l为，即 ，1121()yx1121()()yxx化简后得到直线 的方程
2、为： ，1l 21()(4)x同理可求得直线 的方程为： ，2l 2()(5)y得： ，因为 ，故有： ，(4)52112()0px12x12(6)px将 两式代入 式得(2),3(6)p得： ，452112)()(7ppyxx其中 1212x222111121 1()()()21xxxkx代入 得： ，而 ，得 ，又由 得：(7)2(3)2ppykxp42pyk314k，即点 的轨迹为 ， 两点间的线段（不含端点） 。52pP(,5,)2在周长为定值的ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点 C 位于定点 P 时，cosC 有最小值为.57(1).建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程.(2
3、).过点 A 作直线与(1)中的曲线交于 M、N 两点，求 的最小值的集合.|BN解：(1) 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1|82|236|)|(|26|cos2 CBAaCBAC又 ，所以 ，由题意得 .2)(| a 18cosa5,7122此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，4).所以 C 点的轨迹方程为 )0(1625yx(2) 不妨设 A 点坐标为 A(-3，0)，M(x 1,y1),N(x2,y2).
4、当直线 MN 的倾斜角不为 900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 )169(83)65(22kxk显然有 0， 所以 221221 540,0kxkx而由椭圆第二定义可得 2516342516453216482540 9)()(3(| 222 1121 kkkk xxxBNM只要考虑 的最小值，即考虑 取最小值，显然.2516342k 251634k当 k=0 时， 取最小值 16.|BNM当直线 MN 的倾斜角为 900时，x 1=x2=-3,得 16)34(| 2BNM但 ，故 ，这样的 M、N 不存在，即 的最)(1625yxk |BN小值的集合为空集.3已知椭圆
5、 ： （ab0） ，动圆 ： ，其中 bRa. 若 A 是椭12yx22Ryx圆 上的点，B 是动圆 上的点，且使直线 AB 与椭圆 和动圆 均相切，求 A、B 两点的距离 的最大值.A解：设 A 、B ，直线 AB 的方程为1,yx2,yx mkxy因为 A 既在椭圆 上又在直线 AB 上，从而有)2(121byax将（1）代入（2）得 0222 mkxbka由于直线 AB 与椭圆 相切，故 0422bkaa从而可得 ， （3）22kabmkx21同理，由 B 既在圆 上又在直线 AB 上，可得， （4）221RmR2由（3） 、 （4）得 ，2abkRakx212 221 1222 222
6、22ABxyxkRmbaRabaR所 以即 ，当且仅当 时取等号baABabR所以 A、B 两点的距离 的最大值为 .AB4椭圆 x2 + 4y2 = 8 中, AB 是长为 的动弦 .O 为坐标原点 . 求 AOB 面积的取值范围 . 25解：令 A, B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k2 +1)x2 + 8kbx + 4(b22) = 0 . 故 x1 + x2 = , x1x2 = . 482k4)(k由 = AB2 = (k2+1)(x2x 1)2 = (k2+1)(x1+
7、x 2)24 x 1x2) = (2(4k2+1)b 2) 得到45 )(6b2 = 2 (4k2+1) )(6452k原点 O 到 AB 的距离为 , AOB 的面积 S = , 记 u = , 则有12b4512kb142kS 2= (u 2 u ) = 4 (u )2 10465806u = 4 的范围为 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u = 时, max S 2 = 4 , 而 u = 132k56时, min S 2 = , 因此 S 的 取值范围是 . 10572,10355在平面直角坐标系 中，给定三点 A（0， ） ，B（-1，0） ，C（1，0） 。点 P 到直线xo
8、y34BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中顶。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过ABC 的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求L 的斜率 的取值范围。k解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为 。点44(1),(1),03yxyxy到 AB、AC、BC 的距离依次为 。(,)Pxy123|4|,|55dddy依设， ，即222213,|6(34)|dxyy得，化简得点 P 的轨迹方程为222216(34)50,16(34)50xyxy或圆 S： 178y与 双 曲 线 T:8（）由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S： 2320xy与双曲
9、线 T： 178y8因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。的内心 D 也是适合题设条件的点，由 ，解得 ，且知它在圆 SA123d1(0,)2D上。直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为12ykx（i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线 平行于 x 轴，表明12yL 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。（ii）当 时，L 与圆 S 有两个不同
10、的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只0k能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率 ，直线 L 的方程为12k。代入方程得 ，解得 。表明直线 BD 与(2)xy(34)0y54(,)3E或 F(-,)曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。1k情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即 ） ，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以1kL 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 有且只有一组实数28780xyk解，消去 y 并化简得 25(817
11、)04kx该方程有唯一实数解的充要条件是 2k或 225(5)4()0kk解方程得 ，解方程得 。3172k综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 。12340,76过点 作一条直线和 分别相交于 两点，试求)4,23(P轴轴 、 yxNM、的最大值。 （其中 为坐标原点）MNOO解：过点 作一圆与 轴、 轴分别相切于点 A、B，且使点),( )4,23(P在优弧 AB 上，则圆的方程为 ，于是过点 作圆的切线9)3()(22yx ,和 轴、 轴分别相交于 两点，圆为 的内切圆，故xy1,N1NMRt611MON若过点 的直线 不和圆相切，则作圆的平行于 的切线和 轴、 轴分别相交于P
12、 xy两点，则0, 600N由折线 的长大于 的长及切线长定理，得0NMNOMOM )()( 000 6)( 00000 NMON所以， 的最大值为 6。7. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 21(0)xyabPQF轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , x R使 为正三角形, 求椭圆的离心率 PQRe的取值范围, 并用 表示直线 的斜率. ePQ解： 如图, 设线段 的中点为 M过点 、 、 分别作准线的垂线, 垂足PMPM MFR P QO xyQ分别为 、 、 , 则PMQ 11|(|)()222PFQPee假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 R3|MR，|2PQe所以，
13、3e于是， ， 故ePQeRM31|2|cos 2cot1若 (如图)，则|PFQ. 13cottanta 2eRMFxk当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线3e213ePQ于 , 由上述运算知, 故 为正三角形. R|RMPQR若 ，则由对称性得|PFQ 213PQke又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是1e2(0)xyabe， 直线 的斜率为 3(,)P213e8正方形 的两顶点 在抛物线 上， 两点在直线 上，求正ABCDB,2xyDC, 4xy方形的边长 。d解：设 两点坐标分别为 、 ，显然, ),(21tA),(2t21t ， ，即AB12t2t一方面，
14、 )(1)()()(| 221212 tttd 421tt )2(81t另一方面， ， 2|4| 121ttADd 212)4(td将代入，得 ，即09682405)8(2故 或 23d59过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D，交 y 轴于 B，C 在抛物线上，E在线段 AC 上， ，F 在线段 BC 上， ，且 1+2=1，线段 CD 与 EF 交于1EC2FCBP，当 C 在抛物线上移动时，求 P 的轨迹方程。解一：过抛物线上点 的切线斜率为： ，所以切线 的方程为 ，A12xyAB21yx的坐标为 ， ， 是线段 的中点,BD(0,1)(,0)2DAB设
15、则由 知：2012(,),)(,)(,)PxyCExyF1AEC21010,;xxy，得2BEF2020,x所在直线方程为：21010202 11xyx化简得： 222102200()()()3()xyxx 当 时，直线 的方程为：0xCD0()1联立 锝 ，消去 ，得 点轨迹方程为：(1),20213xy0xP21(3)yx当 时， 方程为： ， 方程为 ，0xEF212(3)44yxCD12联立解得： 也在 点轨迹上，因 与 不能重合，12yPCA01,3x所求轨迹方程为21(3)x解二：由解一知， 的方程为 ， ， ，故 是 的中点AB1y(0,)B1(,0)2DAB令 ，则 ，因 为
16、的中线，1122,CDCttPEF13tC2CABDCBSSA而 ，1212 1213()2EFPCFPCABADBStt tt2是 的重心PA设 ，因点 异于 ，则 ，故重心 的坐标为 ，20(,),)xy 0xP0013x， ，消去 ，得2()32013x021(3)y故所求轨迹方程为 21(3)yx10,已知 为常数且 ),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得(AOB02 POQ的面积恒为 36.设 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足 .PQ 32MG(1),求 的最小值;G(2),求动点 M 的轨迹方程.解(1),以 O 为原点 , 的平分线为 轴建立直角坐标系,则可设ABx(cos,in)2Pa.于是 的重心 的坐标为(cosin)2QbOPQ(,)Gy,11(cos0cs323Gxababiin)()in2y =22222()(csi9GOx ()cos9ab.14cos9abab又已知 得 ,于是in36,2OPQS 72sin247cos9inOG,且当 时等号成立,故 .16cot4tiabmint(2),设 ,则由 得, , = b)()Mxy32OG31()cos022Gxab3Gy1(2a,得 , ,代入 ,并整理得sin2cosinacosinyb7in,这就是所求动点 M 的轨迹方程.21(0)36ttaxyx
