1、132.2 复数代数形式的乘除运算预习课本 P109111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？新 知 初 探 1复数代数形式的乘法法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则 z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.2复数乘法的运算律对任意复数 z1， z2， z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律(z1z2)z3 z1(z2z3)分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z33.共轭复数已知 z1
2、 a bi， z2 c di， a， b， c， dR，则(1)z1， z2互为共轭复数的充要条件是 a c 且 b d.(2)z1， z2互为共轭虚数的充要条件是 a c 且 b d0.4复数代数形式的除法法则：(a bi)(c di) i(c di0)a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2点睛 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似小 试 身 手 1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件( )2(2)若 z1， z2C
3、，且 z z 0，则 z1 z20.( )21 2(3)两个共轭虚数的差为纯虚数( )答案：(1) (2) (3)2(北京高考)复数 i(2i)( )A12i B12iC12i D12i答案：A3若复数 z11i， z23i，则 z1z2( )A42i B2iC22i D34i答案：A4复数 _.i2 i3 i41 i答案： i12 12复数代数形式的乘法运算典例 (1)已知 i 是虚数单位，若复数(1 ai)(2i)是纯虚数，则实数 a 等于( )A2 B.12C D212(2)(江苏高考)复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_解析 (1)(1 ai)(2i)2
4、 a(12 a)i，要使复数为纯虚数，所以有2 a0,12 a0，解得 a2.(2)(12i)(3i)3i6i2i 255i，所以 z 的实部是 5.答案 (1)A (2)51两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开3(2)再将 i2换成1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式2常用公式(1)(a bi)2 a2 b22 abi(a， bR)(2)(a bi)(a bi) a2 b2(a， bR)(3)(1i)22i. 活学活用1已知 x， yR，i 为虚数单位，且 xi y1i，则(1i) x y的值为( )A2 B2iC4 D2i解析：选 D 由 xi
5、y1i 得 x1， y1，所以(1i) x y(1i) 22i.2已知 a， bR，i 是虚数单位若( ai)(1i) bi，则 a bi_.解析：因为( ai)(1i) a1( a1)i bi，所以 a10， a1 b，即a1， b2，所以 a bi12i.答案：12i复数代数形式的除法运算典例 (1)若复数 z 满足 z(2i)117i(i 是虚数单位)，则 z 为( )A35i B35iC35i D35i(2)设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为( )1 ai2 iA2 B2C D.12 12解析 (1) z(2i)117i， z 35i.11 7i2 i 11 7i 2
6、i 2 i 2 i 15 25i5(2) i，由 是纯虚数，则 0，1 ai2 i 1 ai 2 i 2 i 2 i 2 a5 1 2a5 1 ai2 i 2 a50，所以 a2.1 2a5答案 (1)A (2)A1两个复数代数形式的除法运算步骤4(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1) i；(2) i；(3) i. 1i 1 i1 i 1 i1 i活学活用1(天津高考)i 是虚数单位，计算 的结果为_1 2i2 i解析： i.1 2i2 i 1 2i 2 i 2 i 2 i 2 2 i
7、 4i5答案：i2计算： _. 1 i 4 3i 2 i 1 i解析：法一： 1 i 4 3i 2 i 1 i 1 7i1 3i 1 7i 1 3i102i.法二： 1 i 4 3i 2 i 1 i (1 i1 i)(4 3i2 i) i 4 3i 2 i5 3 4i 2 i5 2i. 10 5i5答案：2ii 的乘方的周期性及应用典例 (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )Ai BiC1 D1(2)计算 i1i 2i 3i 2 016_.解析 (1)因为 i607i 41513 i 3i，所以其共轭复数为 i，故选 A.(2)法一：原式 0.i 1 i2 0161 i
8、 i1 i2 1 0081 i i 1 11 i法二：i 1i 2i 3i 40，i ni n1 i n2 i n3 0( nN)，i 1i 2i 3i 2 016，(i 1i 2i 3i 4)(i 5i 6i 7i 8)(i 2 013i 2 014i 2 015i 2 016)0.5答案 (1)A (2)0虚数单位 i 的周期性(1)i4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1( nN *)(2)ini n1 i n2 i n3 0( nN) 活学活用计算 2 3 10_.1 i1 i (1 i1 i) (1 i1 i) (1 i1 i)解析： i，原式ii 2i3i10i 1
9、2310 i 55i 3i.1 i1 i答案：i复数综合应用典例 设 z 是虚数， z 是实数，且1 2，求| z|的值及 z 的实部的取值1z范围解 因为 z 是虚数，所以可设 z x yi， x， yR，且 y0.所以 z x yi1z 1x yi x yi x i.x yix2 y2 xx2 y2 (y yx2 y2)因为 是实数且 y0，所以 y 0，所以 x2 y21，yx2 y2即| z|1.此时 2 x.因为1 2，所以12 x2，从而有 x1，12即 z 的实部的取值范围是 .(12， 1)一题多变1变设问若本例中条件不变，设 u ，证明 u 为纯虚数1 z1 z证明：设 z
10、x yi， x， yR，且 y0，由典例解析知， x2 y21， u 1 z1 z 1 x yi1 x yi 1 x yi 1 x yi 1 x 2 y26 i.1 x2 y2 2yi 1 x 2 y2 y1 x因为 x ， y0，所以 0，(12， 1) y1 x所以 u 为纯虚数2变设问若本例条件不变，求 2的最小值(1 z1 z)解：设 z x yi， x， yR，且 y0，由典例解析知 x2 y21.则 22 x 22 x 2(1 z1 z) ( y1 xi) ( y1 x)2 x 2 x1 x2 1 x 2 1 x1 x2 x1 2( x1) 3.21 x 21 x因为 x1，12所
11、以 1 x0.于是 22( x1) 3(1 z1 z) 21 x2 31.2 x 1 21 x当且仅当 2(x1) ，21 x即 x0 时等号成立所以 2的最小值为 1，此时 zi.(1 z1 z)复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为 x yi(x， yR)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决 层级一 学业水平达标71复数(1i) 2(23i)的值为( )A64i B64iC64i D64i解析：选 D (1i) 2(23i)
12、2i(23i)64i.2(全国卷)已知复数 z 满足( z1)i1i，则 z( )A2i B2iC2i D2i解析：选 C z1 1i，所以 z2i，故选 C.1 ii3(广东高考)若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则 ( )zA23i B23iC32i D32i解析：选 A zi(32i)3i2i 223i， 23i.z4(1i) 20(1i) 20的值是( )A1 024 B1 024C0 D512解析：选 C (1i) 20(1i) 20(1i) 210(1i) 210(2i) 10(2i) 10(2i)10(2i) 100.5(全国卷)若 a 为实数，且 3i，则 a( )2
13、ai1 iA4 B3C3 D4解析：选 D i3i，2 ai1 i 2 ai 1 i 1 i 1 i a 22 a 22所以Error!解得 a4，故选 D.6在复平面内，复数 zi(13i)对应的点位于第_象限解析： zi(13i)i3i 23i，复数 z 对应的点为(3,1)，在第二象限答案：二7设 i 为虚数单位，则 _.1i 1i2 1i3 1i4解析： i1i10.1i 1i2 1i3 1i4答案：08若 1 bi，其中 a， b 都是实数，i 是虚数单位，则| a bi|_.a1 i8解析： a， bR，且 1 bi，a1 i则 a(1 bi)(1i)(1 b)(1 b)i，Err
14、or!Error!| a bi|2i| .22 1 2 5答案： 59计算： . i 2 i 1 1 i i 1 i 3 2i2 3i解：因为 i 2 i 1 1 i i 1 i i 2 i 1i2 1 i i 2 i 1 2 ii1， i， 3 2i2 3i 3 2i 2 3i 2 3i 2 3i 13i13所以 i1(i)1. i 2 i 1 1 i i 1 i 3 2i2 3i10已知 为 z 的共轭复数，若 z 3i 13i，求 z.z z z解：设 z a bi(a， bR)，则 a bi(a， bR)，z由题意得( a bi)(a bi)3i( a bi)13i，即 a2 b23
15、b3 ai13i，则有Error!解得Error! 或Error!所以 z1 或 z13i.层级二 应试能力达标1如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )A A B BC C D D解析：选 B 设 z a bi(a， bR)，且 a0， b0，则 z 的共轭复数为 a bi，其中 a0， b0，故应为 B 点2设 a 是实数，且 R，则实数 a( )1 ai1 iA1 B1C2 D2解析：选 B 因为 R，所以不妨设 x， xR，则 1 ai(1i)1 ai1 i 1 ai1 ix x xi，所以有Error!所以 a1.93若 a 为正实数，i 为虚数
16、单位， 2，则 a( )|a ii |A2 B. 3C. D12解析：选 B ( ai)(i)1 ai， |1 ai| 2，解得a ii |a ii | 1 a2a 或 a (舍)3 34计算 的值是( ) 1 3i 3 1 i 6 2 i1 2iA0 B1Ci D2i解析：选 D 原式 1 3i 3 1 i 23 2 i 1 2i 1 2i 1 2i 1 3i 3 2i 3 i i i2i. 2 4i i 25 12 32i3 i 1 i i i i5若 z1 a2i， z234i，且 为纯虚数，则实数 a 的值为_z1z2解析： z1z2 a 2i3 4i a 2i 3 4i9 16 3a
17、 4ai 6i 825 ， 3a 8 4a 6 i25 为纯虚数，Error! a .z1z2 83答案：836i 是虚数单位，则 4_.(1 i1 i)解析： 4 2 21.(1 i1 i) 1 i 2 1 i 2 (2i 2i)答案：17设复数 z ，若 z2 0，求纯虚数 a. 1 i 2 3 1 i2 i az解：由 z2 0 可知 z2 是实数且为负数az azz 1 i 2 3 1 i2 i 2i 3 3i2 i 1i.3 i2 i10 a 为纯虚数，设 a mi(mR 且 m0)，则z2 (1i) 2az mi1 i2imi m2 i0，m2 (m2 2)Error! m4， a
18、4i.8复数 z 且| z|4， z 对应的点在第一象限，若复数 0， z， 1 i 3 a bi1 i对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 a， b 的值z解： z (a bi) 1 i 2 1 i1 i2ii( a bi)2 a2 bi.由| z|4，得 a2 b24，复数 0， z， 对应的点构成正三角形，z| z | z|.z把 z2 a2 bi 代入化简得| b|1.又 z 对应的点在第一象限， a0， b0.由得Error!故所求值为 a ， b1.3(时间： 120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i 是虚数单位，复数 ( )7 i3 iA2i B2iC2i D2i解析：选 B 2i.7 i3 i 7 i 3 i10 20 10i102若复数 z 满足 i，其中 i 是虚数单位，则 z( )z1 i
