1、1,自动控制原理 频域稳定性分析（64） （ Nyquist稳定性判据） 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian,2,基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 一、预备知识幅角定理由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数,6-4 控制系统稳定性分析 -Nyquist稳定性判据,3,令：s从 开始沿任一闭合路径s （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：零点(-Zi) 极点(-Pj)1) Zi在s外。 2) Pj在s外。结论：相角无变化1) Zi在s内， 。(顺时针 )
2、2) Pj在s内， 。(逆时针)结论：若F(s)在s中有Z个零点和P个极点，则当s沿s顺时针方向旋转一圈时， F(s) 相角有变化（顺时针）：,4,幅角定理：F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z P）圈。即N=Z-P（或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时 针为正，顺时针为负。,5,三、奈魁斯特稳定性判据 1奈氏路径 顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 F(s)的任何零、极点
3、， 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴（包 括原点）上时，则以 这些点为圆心，作半 径为无穷小的半圆， 按逆时针方向从右侧 绕过这些点。,6,2. 奈氏判据设： 闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。(1) 1G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线F逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差：N= P - Z当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。,7,（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析
4、-奈氏判据因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1，所以系统稳定性可表述为：奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕 一圈，G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。P为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。a.若P=0，且 N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；b.若P0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=PNc.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。,8,例: 一系统开环传递
5、函数为：试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性当 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面，即：P=1。图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0所以系统稳定。,9,a. 当s=0是开环极点时，奈氏路径： s= - j0+j0时，以原点为圆心，作 半径为 无穷小的半圆，按逆时针 方向从右侧绕过原点。 令 , 0 当从s=-j0转到+j0 时，从-90°变到+90°（型系统 ）所以， 从 变到 。,10,结论: 当s从-j0转到+j0时，G(s)H
6、(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。bs的奈氏曲线 令: 因为R ， 则有所以，对n - m0的系统，就趋向于零。 从 -（ n - m） 90°变到 +（n - m）90°。,11,结论: 当 s 沿奈氏曲线从+j到 - j时，对nm的系统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（ n - m）。,12,例 试判断系统的稳定性 ：解 先作+j 0到+j时的 G(j)H(j)曲线。再根 据对称性，作出-j 0到 -j时的G(j)H(j)曲线。,奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕 一圈，G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j
7、0）点的P圈。 Z=PNP 为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；N G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点的圈数；Z 闭环系统位于s右半平面的极点数。,13,题中 ，即当s从- j0转到+j0时， G(j)H(j) 曲线以半径为无 穷大，顺时针转过角（虚 线）。并可求得， = 1时， G(j)H(j)与实轴交 。 从图可见，G(s)H(s)的奈氏 曲线顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一 圈，N =-1，又因为P =0， 所以Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个 闭环极点在s的右半平面。,14,例 分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中，T5T1T2、T3
8、和T4解：若某K值下GH曲线如图， 因N=0，且P=0，系统稳定。1. K增大，使（-1，j0）位于 c、d间，曲线顺时针包围 （-1，j0）两圈，系统不稳定。2. K减小，使（-1，j0）位于 a、b之间，曲线顺时针包围 （-1，j0）点两圈，系统仍不 稳定。 K再减小，使（-1，j0） 点位于a点左边，那么闭环系 统又稳定了。这样的系统称为 条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。,15,3。一种简易的奈氏判据（1）正、负穿越的概念G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。 所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。 负穿越：由
9、下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。正穿越 负穿越,16,17,若G(j)H(j)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。,18,如果G(j)H(j)按逆时针方向铙(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2N
10、若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0：注意：这里对应的变化范围是 。,19,例: 某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2）， G(j)H(j)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负 穿越，因为：N= , 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。 .,20,例: 两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以Z=P-2N=2 系统不稳定。(b) ：K
11、1时，N= N+ - N - =1-1/2= -1/2，且已知P=1，所以Z= P-2N=0，闭环系统稳定；K1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以Z= P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。,21,奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏 路径绕一圈，G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0） 点P圈。Z=PNP 为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；N G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；Z 闭环系统位于s右半平面的极点数。闭环系统稳定
12、的充要条件是：当 由0变化到 时， G(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正 负穿越之和为 P/2 圈。,22,四、伯德图上的奈氏判据极坐标图 伯德图单位圆 0db线（幅频特性图）单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域 0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L()0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。,23,参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈 判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到 时， 在开环对数幅频特性 的频
13、段内，相频特性 穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差） 为 。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ， 则闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内， 相频特性 在 线上正负穿越次数代数和为零。或 者不穿越 线 。,24,例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1）所以，系统不稳定。,25,五、 稳定裕量,人们常用系统开环频率特性G(j)H(j)与GH平面 上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(j)H(j)离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。一、
14、相位裕量增益剪切频率 ：指开环频率特性G(j)H(j） 的幅值等于1时的频率，即在控制系统的增益剪切频率c上，使闭环系统 达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相 移）量，称为系统的相位裕量，记作。,26,相位裕量：当0时，相位裕量 为正，系统稳定；,27,相位裕量：当0时，相位裕量 为负，系统不稳定。=,28,结论：一般而言L(c)处的斜率为20db/+时，系统稳定。L(c)处的斜率为40db/+时，系统可能稳定，也可 能不稳定，即使稳定， 也很小。L(c)处的斜率为60db/+时，系统肯定不稳定。为了使系统具有一定的稳定裕量， L()在c处的 斜率为20db/+。,29,2、增益裕量在系统的相位剪切频率g（g0）上，开环频率 特性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作Kg，即以分贝表示时 Kg大于1，则增益裕量为正值，系统稳定。 Kg小于1，则增益裕量为负值。系统不稳定。一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在30° 60°之间，而增益裕量应当大于6dB。,30,习题 6.9 6.10 6.11 6.12 6.16,
