1、4.2 代数稳定判据,上面得到了系统稳定的充分必要条件，但直接检查系统的全部特征根是否都在复平面左半部，或者是否都在复平面的单位圆内是很困难的。本节介绍代数稳定判据，从特征方程的系数之间的关系，判别系统稳定性。,4.2.1 线性连续系统的 代数稳定判据,1. 劳思稳定判据设系统的特征方程为:(4.22)劳思（Routh）稳定判据是利用劳思表第一列数的符号变化判别系统的稳定性。劳斯表构成如下：,表中直至其余全为0。,直至其余全为0。,直至其余全为0。,在列劳思表时，为了简化运算，可以用一个正数遍乘同一行中的所有元素，不影响判别结果.劳思稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳思表的第一列数的符号相同
2、。而且，系统正实部特征根的个数等于劳思表第一列数的符号变化次数.,例4.2 已知系统的特征方程为：用劳思稳定判据判别系统稳定性。解：劳思表的构成如下：第一列数符号相同，故系统稳定。,例4.3 已知系统的特征方程为:用劳思稳定判据判别系统稳定性。解：显然特征方程系数的符号不相同,不满足稳定的必要条件,所以系统是不稳定的.下面用劳思判据判别系统稳定性，不仅得到相同的结论，而且可以确定有几个不稳定的特征根。劳思表构成如下：,因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。在列劳思表时，可能遇到一种特殊情况：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不全为0。这时可以用一个很小的
3、正数（也可以是负数）代替这个0，然后继续列劳思表。,例4.4 已知系统 的特征方程为用劳思稳定判据判别系统稳定性。解 劳思表构成如下：,因为 是一个很小的正数，所以 ，因此劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。在列劳思表时，还可能遇到另一种特殊情况：劳思表中某一行的数全为0。这时可以用上一行的数构成所谓辅助多项式，将辅助多项式对变量s求导，得到一个新的多项式，然后，用这个新多项式的系数代替全为0这一行的数，继续列劳斯表。,设劳思表中 行全为0， 行的数分别为 , , 等，则辅助多项式为 （4.23)对 s求导得（4.24）则 行的系数分别替换为 , , ,
4、。,，,劳思表中出现某一行的数全为0，表明系统存在对称于原点的特征根。就是说，系统特征根中或者存在两个符号相反、绝对值相等的实根；或者存在一对共轭纯虚根；或者存在实部符号相反、虚部数值相等的两对共轭复根；或者上述几类根同时存在。对称于原点的所有特征根都可以通过求解辅助方程得到，而且，辅助方程的根都是对称于原点的所有特征根。正因为如此，辅助方程或多项式的最高幂次总是偶数，等于对称于原点的特征根的个数。,例4.5 已知系统的特征方程为 ：用劳思稳定判据判别系统稳定性。解 劳斯表构成如下：,因为劳思表第一列数符号变化1次，所以系统是不稳定的，有1个特征根在右半S平面。求解辅助方程 ：可得系统对称于原
5、点的特征根为 ,.应用劳思判据可以确定保证系统稳定的系统参数取值范围，这在系统设计中是很有用的。下面举例说明。,例4.6所示的系统，其中， ， ，确定保证系统稳定的参数 的取值范围。解 系统的开环传递函数为：特征方程为：,图4.3 例4.6控制系统,劳思表构成如下：由劳思稳定判据，系统稳定的充分必要条件为：1. 2.解上面的不等式，保证系统稳定的参数的取值范围为.当 时，系统临界稳定。,1,2. 赫尔维茨稳定判据设系统的特征方程为:(4.25)不失一般性，设 .因为当 时，只要用-1乘以式（4.25）的两边，即可满足假设条件。构造赫尔维兹（Hurwitz）行列式如下:,注意到, 阶系统的赫尔维
6、兹行列式 的主对角线上的元素依次为 ，每列元素是以主对角线元素为基准，往下按注脚递减的顺序排列，往上按注脚递增的顺序排列，凡是注脚大于 或小于零的系数均为零。而低阶赫尔维兹行列式 是的各阶顺序主子式。赫尔维兹稳定判据：系统稳定的充分必要条件是 ， 。,3 李纳德-戚帕特稳定判据李纳德-戚帕特（Lienard Chipart）证明，在特征多项式系数为正的条件下，若所有奇数阶赫尔维兹行列式均为正，即 ， ，则所有偶数阶赫尔维兹行列式也为正，即 ， ，反之亦然。所以，有下列李纳德-戚帕特稳定判据。李纳德-戚帕特稳定判据：设特征多项式系数全为正，则系统稳定的充分必要条件是:（若为奇数)(4.27a)
7、（若为偶数)(4.28b),例4.7 推导二阶系统稳定的条件。解 :设二阶系统的特征方程为:由李纳德-戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件是: , , ,解得 : 。所以，二阶系统稳定的条件是特征多项式的系数全为正,或者全为负。,例4.8 推导三阶系统稳定的条件。解 : 设三阶系统的特征方程为:由李纳德-戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件是:解得:所以，三阶系统稳定的条件是特征多项式的系数全为正，并且用赫尔维兹稳定判据也得到同样的结果。,4. 劳思判据与赫尔维兹判据的关系劳思判据与赫尔维兹判据虽然是独立提出的，但本质上是一样的。劳思表的第一列元素 和赫尔维兹行列式 的关系是：因此，在 的情况下，
8、如果所有的赫尔维兹行列式为正值，那么，劳思表的第一列元素必大于零，反之亦然。,4.2.2 线性离散系统的代数稳定判据,判别离散系统稳定性的代数方法有：朱利（Jury）判据和舒尔科恩(Schur-Cohn)判据。这些方法和连续系统中的劳斯、赫尔维兹判据很相似。设系统的特征方程:(4.28),1. 朱里稳定判据 不失一般性,设系统特征方程（4.28）中 。列表：,其中(j=0,1,2,)上面表中,第一行依序排列特征方程的系数 到 ，然后以反向次序记入第二行。以后各行用二阶列式计算，然后再以反向次序记入下一行。当行只有三个数时，这个表就构成了。,朱利稳定判据:线性离散系统稳定的充分必要条件为：,朱利
9、判据中的列表类似于劳思判据中的列表，但朱利判据不能说明有多少特征根在单位圆外。朱利判据中列表虽然比较麻烦，但往往可以在列表之前先检验 的符号,或者 的符号，或者是否满足 。这三个条件只要有一个不满足，系统就是不稳定的。但如果都满足，系统可能是稳定的，也可能是不稳定的，还需要通过列表检查后面的条件是否满足来确定。这个方法类似于连续系统中先检验特征多项式 的各项系数的符号是否一致。,例4.9 已知系统的特征方程为:判别系统稳定性。解 :因为 ，不满足 的条件，或者因为 ，不满足“当n为偶数， ”的条件，所以，该系统不稳定。,例4.10 已知系统的特征方程为:判别系统稳定性。解 : 因为 D(1)=
10、5.70，D(-1)=-0.10, ，所以满足朱利判据的前三个条件，下面再列表检验是否满足后面的条件：,可见，也满足约束条件 , 所以，该系统是稳定的。,2舒尔-科恩稳定判据定义行列式 如下：其中， 和 为共轭复数，对于实系数特征方程， (i=0,1,2,n)。,舒尔-科恩稳定判据:线性离散系统闭环特征根在单位圆内的个数,等于序列 符号变化的次数。离散系统稳定的充分必要条件是序列 的符号变化n次，即,例4.11 已知系统的开环Z传递函数为:判别闭环系统的稳定性。解: 闭环特征方程为:可见，满足系统稳定的充分必要条件，所以，系统是稳定的。,3. 修正劳思稳定判据连续系统的分析、设计方法是基于S平
11、面的，系统的稳定边界是S平面的虚轴。由于离散系统的稳定边界是Z平面上以原点为圆心的单位圆，所以，不能直接用连续系统的分析、设计方法。如果通过一个变换，将Z平面的单位圆内部变换到一个新的复平面W的左半平面，而将Z平面的单位圆外部变换到新的复平面W的右半平面，Z平面的单位圆周变换到新的复平面W的虚轴，如图4.4所示，则可以在W平面上，利用连续系统的分析与设计方法来分析与设计线性离散系统。,具有上述功能的最简单、最常用的变换是双线性变换。双线性变换可以表达为:(4.30a )或者 (4.30b）双线性变换也可以取为:（4.31）,离散系统的Z域特征方程D(z)=0经过双线性变换后,得到W域的特征方程,记为D(w)=0。显然，判别系统稳定性，即判别D(z)=0的根是否都在Z平面的单位圆内，等价于判别D(w)=0的根是否都在W平面的左半平面。可以采用劳思、赫尔维兹等稳定判据判别D(w)=0的根是否都在W平面的左半平面。,例4.12 离散系统的特征方程为:判别系统稳定性。解 : 进行双线性变换:整理得 因为W域的特征方程的系数的符号不全相同,所以系统不稳定。,下面用劳思判据，可以进一步确定有几个不稳定的特征根。劳思表构成如下：由于劳思表的第一列数符号变化1次，所以系统不稳定，D(w)=0有1个根在W平面的右半部，即D(z)=0有1个根在Z平面的单位圆外。,
