1、2 4有阻尼系统的自由振动 在振动过程中 不可避免地存在着阻力 阻力可能来自多方面 例如 两物体之间在润滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力 物体在磁场或流体中运动所遇到的阻力 以及由于材料的粘弹性产生的内部阻力等等 在振动中 这些阻力称为阻尼 阻尼的定义 2 4有阻尼系统的自由振动 粘性阻尼 两接触面之间有润滑剂 摩擦力则决定于润滑剂的 粘性 和运动的速度 两个相对滑动面之间有一层连续的油膜存在 阻力与润滑剂的粘性和速度成正比 其速度的方向相反 即 2 4 2 阻尼的存在将消耗振动系统的能量 消耗的能量转变成热能和声能 噪声 传出去 在自由振动中 能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最后使振动停
2、止 式中c称为粘性阻尼系数 单位为N s m 2 4有阻尼系统的自由振动 有阻尼自由振动微分方程的建立 图2 4 1表示有粘性阻尼的振动系统 试建立粘性阻尼的衰减振动的微分方程 取铅垂向下的坐标轴x 以物体的静平衡位置O为原点 向下为正 由牛顿运动定律 有 2 4 3b 或 2 4 3a 有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程 图2 4 1 2 4有阻尼系统的自由振动 粘性阻尼的衰减振动的求解 其中s是待定常数 代入式 2 4 3 可得 2 4 5 上面的代数方程为有粘性阻尼振动系统的特征方程 有两个根s1和s2 2 4 7 2 4有阻尼系统的自由振动 粘性阻尼的衰减振动的求解 使式 2 4
3、7 根号内的项等于零 亦即s1与s2为等值时的阻尼系数值 称为临界阻尼系数 记为cc 即 2 4 9 式中 n为无阻尼时振动系统的固有频率 于是微分方程 2 4 3 的通解为 2 4 8 式中 B1和B2为任意常数 决定于运动的初始条件 2 4有阻尼系统的自由振动 引进了 以后 微分方程 2 4 3 和特征方程 2 4 6 可以改写为 引进阻尼比 或称相对阻尼系数 有 2 4 10 2 4 11 2 4 12 则特征方程的根为 2 4 13 粘性阻尼的衰减振动的求解 2 4有阻尼系统的自由振动 下面分别就 1的三种情况讨论有粘性阻尼振动系统的解的性质 1 小阻尼情况 即 1 c cc 式中 则
4、解式 2 5 8 为 2 4 14 2 4 15 d通常称为阻尼自由振动的圆频率 关于解的讨论 小阻尼振动系统 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 设在t 0时 有x x0 则代入解 2 4 15 及其导数 t 0时 解得 将与代入式 2 4 15 即得系统对于初始条件与的响应 2 5有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 根据欧拉公式 则式 2 4 15 可以简化为 式中D1 B1 B2 D2 i B1 B2 为待定系数 仍决定于初始条件 2 4 17 设在t 0时 有x x0 则代入解式 2 4 17 及其导数 得 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论
5、 小阻尼振动系统 在t 0时有 解得 经与代入式 2 4 17 即得系统对于初始条件与的响应 经过三角函数变换D1 Asin D2 Acos 方程的解 2 4 17 可以简化为 2 4 18 式中A与 为待定常数 仍决定于初始条件 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 设在t 0时 有x x0 则代入解式 2 4 18 及其导数 得 在t 0时有 或 解得 将A与 代入式 2 4 18 即得系统对于初始条件与的响应 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 当t x 0 振动最终将消失 所以小阻尼的自由振动也称为衰减振动 由解 2 4 18 可见 系统振动已
6、不再是等幅的简谐振动 而是振幅被限制在曲线之内 随时间不断衰减 图2 5 2 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 阻尼对自由振动的影响有两个方面 一方面使系统振动的周期略有增大 频率略有降低 即 式中T 2 n和f n 2 为无阻尼自由振动的周期和频率 2 4 19 2 4 20 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 Td 1 00125T 当 0 3时 与无阻尼的情形比较 只差0 125 Td 1 05T fd 0 95f 与无阻尼的情形比较 也只差5 所以在阻尼比较小时 对周期和频率的影响可以忽略不计 当 0 05时 2 4有阻尼系统的自由振动 关
7、于解的讨论 小阻尼振动系统 另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减 相邻两个振幅之比 2 4 21 式中 称为减幅系数 可见在一个周期内 振幅减缩到初值的 在 0 05时 1 366 A2 A1 1 366 0 73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27 振幅按几何级数缩减 衰减是显著的 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 同样相对阻尼系数可以确定为 2 4 23 为了避免取指数值的不方便 常用对数减幅 来代替减幅系数 即 2 4 22 即对数缩减表示为唯一的变量 的函数 当 1时 2 4有阻尼系统的自由振动 关于解的讨论 小阻尼振动系统 确定阻尼的一种方法 在相继的几次振
8、动中 振幅 有如下关系 因而 2 4 25 因此对数减幅 可以表示为 2 4 26 可见只要测定衰减振动的第1次与第j 1次振动的振幅之比 就可以算出对数减幅 从而确定系统中阻尼的大小 2 4有阻尼系统的自由振动 2关于解的讨论 临界阻尼情况 即 1 c cc 2 4 27 运动方程 2 4 11 的解为 2 4 28 以初始条件代入 得 2 4 29 图2 4 3表示系统在初始位移x0和几种不同的初始速度条件下的响应曲线 图2 4 3 2 4有阻尼系统的自由振动 3关于解的讨论 大阻尼情况 即 1 c cc 右端两项的绝对值都随时间t按指数规律衰减 它所表示的运动不再是振动 而是一种非周期的
9、运动 2 4 30 则解为 2 4 31 图2 4 4所示的为此种衰减响应曲线的一种 图2 5 4 2 4有阻尼系统的自由振动 阻尼比或相对阻尼系数 对系统振动性质的影响 总结 2 4 13 将式 2 4 13 以 为参量 在复平面上画出 如图2 4 5所示 实轴表示 之值 图2 4 5 2 4有阻尼系统的自由振动 从图上可见 当 0时 s1 2 i n 是两个虚根 即虚轴上截距为 n的对称的两个点 对应于无阻尼自由振动 当0 1 s1和s2是一对共轭复数根 是位于以 n为半径的圆上与实轴对称的两个点 对应于弱阻尼状态的衰减振动 当 趋向于1 s1和s2都趋近于实轴上 n点 对应于临界阻尼状态 当 大于1时 s1和s2是两个实数根 对应于大阻尼状态 随 的增大 s1和s2沿实轴反向移动 当 时 s1 0 s2 阻尼比或相对阻尼系数 对系统振动性质的影响 总结 2 4有阻尼系统的自由振动 例2 4 1为车辆设计小阻尼减振器 要求振动一周后的振幅减小到第一幅值的1 16 已知车辆质量m 500 kg 阻尼振动周期Td 1 s 试求减振器的刚度系数k和阻尼系数c 解 由得 则对数减幅 例题 减振器设计 例2 4 1 2 4有阻尼系统的自由振动 临界阻尼系数 阻尼系数及弹簧刚度求得如下 又由式 2 4 20 求得固有频率 例题 减振器设计 例2 4 1
