1、多自由度系统振动,第四章,1,2019年9月6日,2,建模方法1：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。,缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间的相互影响。,优点：模型简单；,分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。,多自由度系统振动,2019年9月6日,3,建模方法2：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；,缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。,多自由度系统振动,2019年9月6日,4,建模方法3：,车、人、车轮的质量分别
2、考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：分别考虑了人与车、车与车轮之间的相互耦合，模型较为精确.,问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,多自由度系统振动,2019年9月6日,5,教学内容,多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统,多自由度系统振动,2019年9月6日,6,作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换,多自由度系统的动力学方程,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,7,作用力方程,几个例子,例1：双质量弹簧系统，两质
3、量分别受到激振力。,不计摩擦和其他形式的阻尼。,试建立系统的运动微分方程。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,8,解：,建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,m1,m2,k3,k1,k2,x1,x2,P1(t),P2(t),多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,9,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,10,例2：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的扭转刚度,试建立系统的运动微分方程 。,外力矩,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力
4、学方程,2019年9月6日,11,解：,建立坐标：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,12,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,13,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。,如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,14,小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,
5、位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程/作用力方程,若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量,2019年9月6日,15,n 个自由度系统:,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,质量矩阵第 j 列,刚度矩阵第 j 列,n维广义坐标列向量,2019年9月6日,16,刚度矩阵和质量矩阵,回顾：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。,等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上
6、施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量 。,2019年9月6日,17,刚度矩阵和质量矩阵,当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定,M、K 该如何确定？,作用力方程：,先讨论 K,加速度为零,假设外力是以准静态方式施加于系统,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,准静态外力列向量,静力平衡,2019年9月6日,18,作用力方程：,假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.,即 ：,代入 ：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,19,所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列
7、.,（i=1n） ：在第 i 个坐标上施加的力.,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,20,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,第j个坐标产生单位位移,刚度矩阵第j列,系统刚度矩阵,j=1n,确定,2019年9月6日,21,作用力方程：,讨论 M,假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移.,多自由度系统
8、振动 / 多自由度系统的动力学方程,假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度.,2019年9月6日,22,这组外力正是质量矩阵 M 的第 j 列,结论：质量矩阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,第j个坐标单位加速度,质量矩阵第j列,系统质量矩阵,j=1n,确定,2019年9月6日,23,质量矩阵 M 中的元素mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,mij、kij又分别称
9、为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法.,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,2019年9月6日,24,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m1产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m1产生单位位移，m2和m3不动.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度
10、矩阵的第一列,2019年9月6日,25,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵：,使m1产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m1产生单位位移，m2和m3不动.,2019年9月6日,26,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m2产生单位位移所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m2产生单位位移，m1和m3不动.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第
11、二列,令,2019年9月6日,27,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m2产生单位位移所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m2产生单位位移，m1和m3不动.,令,刚度矩阵：,2019年9月6日,28,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m3产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,只使m3产生单位位移，m1和m2不动.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第三列
12、,令,2019年9月6日,29,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m3产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,只使m3产生单位位移，m1和m2不动,令,刚度矩阵：,2019年9月6日,30,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,令,令,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,31,只考虑动态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零,所需施加的力：,所需施加的
13、力：,在三个质量上施加力,能够使得,系统质量矩阵的第一列,m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应,2019年9月6日,32,只考虑动态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零.,所需施加的力：,所需施加的力：,m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应.,质量矩阵：,2019年9月6日,33,同理,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,令,2019年9月6日,34,同理,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,令,令,2019年9月6日,35,令,有：,令,有：,令,有：,质量矩阵：,多自由度系统振动 /
14、多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,36,运动微分方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,外力列阵,矩阵形式：,2019年9月6日,37,例：,每杆质量 m,杆长度 l,水平弹簧刚度 k,弹簧距离固定端 a,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,双刚体杆,2019年9月6日,38,解：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆 O1、O2 求矩：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆 O1、O2 求矩：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,39,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日
15、,40,令：,则需要在两杆上施加力矩,令：,则需要在两杆上施加力矩,质量矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,41,运动学方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2019年9月6日,42,小结：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。,质量矩阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。,又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K
16、，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。,刚度矩阵和质量矩阵,第j个坐标产生单位位移,刚度矩阵第j列,系统刚度矩阵,j=1n,确定,第j个坐标单位加速度,质量矩阵第j列,系统质量矩阵,j=1n,确定,2019年9月6日,43,随堂测试：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。,杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：,提示：,2019年9月6日,45,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,解：,使用影响系数法计算系统刚度阵,（1） 如图（1）所示，令 ， ，对杆1和杆2分别需要施加弯矩 ， 分别为：,2019年9月6日,46,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,解：,（2） 如图（2）所示，令 ， ，对杆1和杆2分别需要施加弯矩 ， 分别为：,质量矩阵：,刚度矩阵：,运动微分方程：,
