1、8. 5 两自由度体系的振动分析,n个自由度体系运动方程的一般形式,8. 5. 1 运动方程的特解和通解,两个自由度体系，刚度形式的运动方程,设方程组的特解为,称为位移向量Y的幅值向量（amplitude vector）。,8. 5 两自由度体系的振动分析,振型方程（equation of mode shape）或幅值方程,频率方程（equation of frequency）或称为特征方程,8. 5 两自由度体系的振动分析,一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由振动的特点是： 1）体系上所有质量的振动频率相同。 2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，即振动形状保持不变，将此
2、振动形式称作主振型，简称为振型（mode shape）。,8. 5 两自由度体系的振动分析,运动方程的通解,四个积分常数A、B、1和2 ，可由运动的初始条件、 （ ）确定。,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5. 2 频率和振型,第一频率或基本频率,第二频率,基本振型或第一振型,第二振型,体系的频率和振型是体系的固有属性（natural property），与外界因素无关。,振型向量,8. 5 两自由度体系的振动分析,柔度形式的方程,8. 5 两自由度体系的振动分析,特例：,刚度形式,柔度形式,8. 5 两自由度体系的振动分析,例题 8-15 试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和
3、振型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1= m2=5000 kg，每层的高度5 m。,解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5 两自由度体系的振动分析,例题 8-16 图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。试用柔度法求其自振频率和振型。,解：不计轴向变形，本例有两个自由度，设1、2两处质量的竖向位移分别为y1和y2。,8. 5 两自由度体系的振动分析,第一主振型 (正对称),第二主振型 (反对称),利用对称性,对称两自由度体系的自由振动可通过
4、求解两个单自由度问题来解决.,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5. 3 振型的正交性及其应用,两个自由度体系有两个振型向量 ，存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：对应不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。,证明：,8. 5 两自由度体系的振动分析,关于振型正交性的物理解释,第i 阶振型产生的惯性力在第j 阶振型的位移上所做的虚功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功,3）振型正交性的利用 （1）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。,例题 8-17 试检验例题 8-15所求得振型的正确性。,解：,由此证明，所得振型具有较好
5、的精度，是正确的。,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5 两自由度体系的振动分析,（2）已知振型的情形下，可用以计算该振型对应的自振频率。,证明：,称为第i 振型的广义质量,称为第i 振型的广义刚度,小结:,8. 5 两自由度体系的振动分析,（ 3 ） 位移的分解,任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成2个振型的线性组合。,位移向量按振型的正则坐标变换（normal coordinates transform），组合系数 称为位移向量的广义坐标（generalized coordinates或称正则坐标）,8. 5 两自由度体系的振动分析,（ 4 ）将两自由度体系变成单自
6、由度求解,两边同时左乘,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5. 4 简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析,幅值方程,运动方程,特解（稳态解）,+A,共振分析,在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共振点。,8. 5 两自由度体系的振动分析,特例分析,8. 5 两自由度体系的振动分析,吸振原理,8. 5 两自由度体系的振动分析,解:,(1)求刚度系数,(2)求位移幅值,例题 8-18 已知 。 试求：一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。,由已知条件知:,8. 5 两自由度体系的振动分析,（3）计算惯性力幅值,（4）计算内力：
7、将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，按静力进行计算,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5 两自由度体系的振动分析,已知：EI=常数，,解：,(1)求柔度系数和自由项,(2)振幅,8. 5 两自由度体系的振动分析,（3）动弯矩幅值,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 5 两自由度体系的振动分析,（4）动力系数,多自由度体系没有统一的动力系数,位移放大系数：,弯矩放大系数：,8. 5 两自由度体系的振动分析,8. 6 多自由度体系的振动分析,振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于多自由度体系。,8. 6. 1 无阻尼自由振动
8、分析,n个自由度体系无阻尼自由振动方程为,振型或幅值方程为,频率方程为,n个主振型,对应的频率,通解为,8. 6 多自由度体系的振动分析,例题 8-20 已知条件如图8-39所示，试求结构的频率和振型。,解：(1)频率计算,8. 6 多自由度体系的振动分析,8. 6 多自由度体系的振动分析,(2)振型计算,（归一化）,8. 6 多自由度体系的振动分析,例题 8-21 已知例题8-20所示体系的第一、二两振型分别为； 。试求结构的频率。,解：,(1)求第三振型,设,8. 6 多自由度体系的振动分析,(2)求广义质量,(3)求广义刚度,(4)求各振型频率,（注意： ）,8. 6 多自由度体系的振动
9、分析,例题 8-22 设有一位移向量 ，试用例题8-20的振型向量将其进行分解。,解：,广义坐标,8. 6. 2 无阻尼受迫振动分析振型分解法,关于正则坐标 n个独立运动方程，解答可由单自由度的杜哈梅积分给出。,8. 6 多自由度体系的振动分析,振型分解法（mode analysis method）或振型叠加法（mode superposition method）。,主要核心是：把位移向量按振型进行分解，利用振型的正交性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程。,8. 6 多自由度体系的振动分析,振型分解法按以下步骤进行： （1）求体系的自振频率和对应的振型。 （2）计算广义质量和广
10、义荷载。 （3）杜哈梅（Duhamel）积分求解正则坐标 （4）计算体系的位移响应向量 （5）如果是非零初始条件，则确定积分常数。 （6）由体系的位移响应进一步求其他动力响应。,8. 6 多自由度体系的振动分析,例题 8-23 分析图8-40(a)所示静止的结构，在质点2处受突加荷载作用时的位移响应。已知 , 荷载为 ，EI=常数。,解：,(1)自振频率和振型,(2)计算广义质量,8. 6 多自由度体系的振动分析,(3)计算广义荷载,(4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为,(5)两个自由度的位移向量解答,8. 6 多自由度体系的振动分析,注意：动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，可只取少
11、数几个振型进行计算。在求位移的幅值时，不能简单地由各振型幅值叠加。,8. 6 多自由度体系的振动分析,8. 6. 3 有阻尼受迫振动分析,1多自由度体系的阻尼问题,C为阻尼矩阵（damping matrix）。在粘滞阻尼假设下，阻尼矩阵元素的物理意义为：第个位移方向有单位速度（其他质量位移方向的速度为零）所引起的第个位移方向的阻尼力，称为阻尼影响系数（damping influence coefficient）,比例阻尼（proportion damping也称Rayleigh阻尼），其表达式为,第阶振型的广义阻尼系数(generalized damping coefficient),8. 6
12、 多自由度体系的振动分析,第 j 阶振型的广义阻尼比(generalized damping ratio),钢筋混凝土结构,实验测得的阻尼比来计算a、b的值,8. 6 多自由度体系的振动分析,2有阻尼受迫振动分析,8. 6 多自由度体系的振动分析,8. 7 频率和振型的实用计算方法,能量法求基本频率和迭代法求前几阶较低的频率及其相应的振型,8. 7. 1 能量法求基频,变形能+动能=const.,1单自由度体系,能量法（energy method）或称为瑞利法(Rayleigh method,8. 7 频率和振型的实用计算方法,2. 多自由度体系,8. 7 频率和振型的实用计算方法,例题 8-
13、24 用能量法求两层刚架的基本频率。图中刚架各立柱的抗弯刚度 ，横梁的质量m1、m2均为5000 kg，立柱的质量忽略不计，每层的高度 。,解法一：,在质量m1上沿运动方向作用一个单位力,基本频率为10.050(1/s), 其误差为,8. 7 频率和振型的实用计算方法,解法二：,将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，,误差仅为,8. 7 频率和振型的实用计算方法,8. 7. 2 迭代法求频率和振型,动力矩阵（dynamic matrix）,任意假设一个经过标准化（例如取第一个元素为1）的初始迭代向量，将其按振型分解可得,标准化,第一次迭代,8. 7 频率和振型的实用计算方法,第二次迭代,
14、第m次迭代,8. 7 频率和振型的实用计算方法,当m足够大时,用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为： （1）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵； （2）由柔度（或刚度）和质量矩阵生成体系动力矩阵D； （3）假设第一振型的初始迭代向量A0 ；,8. 7 频率和振型的实用计算方法,（4）由 用 求迭代值并进行标准化（例如取第一个元素为1），得 ；,（6）由 计算第一频率， 即为第一振型。,（5）用 代替 ，重复（4）进行反复迭代，直到满足精度要求为止;,迭代结果总是收敛于第一振型。 如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分， ，结果收敛于第二主振型。 如果 ，结果将收敛于第三主振
15、型。 要想求出体系的高阶振型和频率，就必须在所假设的振型迭代向量中将低阶主振型的分量消除。这个步骤称为清型或滤型。,8. 7 频率和振型的实用计算方法,2. 迭代法求高阶振型和频率,8. 7 频率和振型的实用计算方法,一阶滤型矩阵,为了避免在迭代的过程中由于舍入误差而引入第一主振型的分量，必须在每次迭代前都重复进行上述的滤型过程，以保证迭代过程能收敛于第二主振型。,经过滤型后的求第二主振型所需用的动力矩阵。,8. 7 频率和振型的实用计算方法,8. 7 频率和振型的实用计算方法,3. 迭代法算例,例题 8-25 试用迭代法求图8-42(a)所示简支梁的第一频率和振型。,解：,求第二主振型所需的
16、动力矩阵如下：,8. 7 频率和振型的实用计算方法,8. 7 结论与讨论,8. 8. 1 结论,(1)我国是地震多发国家，在当前综合国力条件下，对一般结构的抗震设计原则为“小震不坏、中震可修、大震不倒”，为此掌握结构动力学基本知识十分重要。 (2)随时间变化的荷载作用是否作动力学问题分析，要看结构在这种荷载作用下所产生的惯性力大小。对于不同结构受同一荷载作用，结论可能是不同的。 (3)实际结构都是无限自由度的，一般可用集中质量法将其简化为有限自由度问题进行分析。 (4)体系的自由度数目既和体系的质量数目有关，又不完全取决于质量数目，自由度还和体系的可能变形状态有关，因此要根据具体问题“按自由度
17、数定义”分析确定。,(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法，这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻尼力后转化为瞬时平衡问题。 (6)直接平衡法有两种建立方程的方法：刚度法和柔度法。但都是根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。 (7)动力自由度数是确定质量空间位置的独立坐标（参数）个数，它和结构超静定次数或独立位移个数没有关系。列运动方程时的刚度系数和柔度系数和解超静定问题时的对应系数之间也没有关系。 (8)集中质量多自由度体系的质量矩阵是对角矩阵，其元素为各自由度方向的总
18、质量。刚度矩阵元素为“仅j自由度发生单位位移时，i自由度方向所需施加的（附加）约束反力”，根据反力互等定理刚度矩阵是对称的。,8. 7 结论与讨论,(9)等效干扰力向量的元素可由“刚度矩阵乘荷载位移向量计算”，也可由约束全部自由度的位移，求动荷载下附加约束上的反力来组成。用后一方案时要注意反力反向才是等效干扰力。 (10)单自由度体系的频率、周期的计算公式；振幅、相位的算式和各种力的平衡关系；简谐荷载下纯受迫振动的动力放大系数与频率比、阻尼比间的关系等等。这些基本概念必须深刻理解、熟练掌握。 (11)利用使结构产生初位移或初速度来获得自由振动记录，从而可用式（8-31a）由实测得到阻尼比。这是
19、最常用方法之一。由于阻尼比一般很小，它对频率、周期的影响一般可忽略。 (12)在共振区，阻尼的作用是不可忽略的。从能量角度看，阻尼使能量耗散，当不希望有能量耗散时应减少阻尼，而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。,8. 7 结论与讨论,(13)对于线性体系利用冲量叠加建立了Duhamel积分公式，利用Duhamel积分可获得结构在各种动荷载作用下的解析或数值响应。 (14)利用Fourier 级数展开，可将任意周期荷载变成常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。 (15)对于各种短期荷载作用，可以不考虑阻尼的影响，关键是要分时段进行分析。 (16)不管运动方程用那种方法建立，多自由度体系自
20、由振动最终归结为求解频率和振型方程，从数学上说属矩阵特征值问题。 (17)多自由度体系的自振频率取决于结构的刚度矩阵（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为：,8. 7 结论与讨论,(18)一般工程结构作多自由度无阻尼自由振动分析时，其自振频率个数等于自由度数，且各不相等。其中最小频率称为基本频率，简称为基频。全部频率由小到大排列的序列，称为体系的频率谱。如果相邻频率间隔较小，称为密集型频谱。否则，称为稀疏型频率。不同频率谱的结构受动荷载作用的响应是不同的，频率谱是结构的重要动力特性之一。 (19)将频率代入振型方程，可求得每一个自振频率对应的振型向量，它反映了结构以该自振频率振动时所固有的变形形
21、态。振型向量可用令向量中某个元素为一给定值（一般取为1）进行规格化。 (20)不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。,8. 7 结论与讨论,阻尼是一个复杂的问题，为简化一般结构的动力分析，常用Rayleigh比例阻尼，也即阻尼矩阵 ，显然这时振型对阻尼也将是正交的。 其中a、b由已知的任意两频率及对应的阻尼比确定，对钢筋混凝土结构，一般假设第一和第二振型阻尼比都为0.05，由此可求得各振型的阻尼比。,(21)多自由度体系可产生多种频率下的共振。简谐荷载作用下非共振的稳态位移响应，可通过求解如下幅值方程得到 式中， 为等效干扰力向量的幅值。实质为转换成线性代数方程求解问题。,8.
22、 7 结论与讨论,(22)任意一个n 维已知向量，均可按自由度体系的振型展开。因此，多自由度的任意荷载作用下的强迫振动，在假设体系阻尼为比例阻尼的条件下，可通过振型叠加法（或称振型分解法），作正则坐标变换将多自由度体系耦合的运动微分方程组转换成个独立正则坐标的单自由度运动方程，利用单自由度问题的杜哈梅积分，在获得正则坐标解答后，即可利用上式得到受迫振动的响应。 (23)利用吸振器原理，在主体结构上附加调频质量阻尼器或调频液体阻尼器，使阻尼器的频率接近主体结构的基频，可达到减少主体结构振动的作用。,8. 7 结论与讨论,(24)对无阻尼体系，根据能量守恒，可用能量法求体系自振频率，一般用以求基频
23、。当将运动质量的重量沿自由度方向作用，以其所产生的静位移作为第一振型的近似值，按能量法计算可获得相当精确的结果。能量法结果是精确解的上限。 (25)对频率稀疏型结构，用迭代法可方便地求得前几阶振型和频率。求第一振型时的动力矩阵为，不管初始假设的近似振型如何，也不管计算过程中是否有误，均能收敛与第一振型和频率。当要求频谱前几阶频率和振型时，得用考虑滤型的动力矩阵。,8. 7 结论与讨论,8. 7 结论与讨论,8. 8. 2 讨论,（1）当质量集中于杆系结构结点时，如果考虑杆件的轴向变形，集中质量的数目和体系的自由度数有何关系。,（2）对于经受地震地面运动作用的结构，当不考虑地面运动转动分量时，以
24、质量相对地面的运动参数作为体系的自由度，根据达朗伯尔原理加惯性力时考虑地面的牵连运动（惯性力由绝对加速度引起）即可,（3）在给定动荷载的条件下，单自由度体系的最大响应只和周期、阻尼比有关。对不同的阻尼比做出最大响应随周期变化的曲线，这些曲线称为体系在给定荷载作用下的“反应谱”。位移的最大响应曲线叫位移反应谱、速度的叫速度反应谱、加速度的叫加速度反应谱。这一概念是结构抗震课程的基础。,8. 7 结论与讨论,（4）结构刚度较小的顶部附属部分鞭击效应（鞭梢效应）。,（5）其他正交关系,（6）可取少量低阶振型结果的叠加作近似解，使工作量减少。,（7）人体和结构的共同作用结果，将使结构的刚度和阻尼都发生变化，使人-结构体系的频率比原结构的频率增高。,再见,第8章 结构动力计算,
