1、多自由度系统振动 1,第四章,2018年8月20日,2,建模方法1：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。,缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间的相互影响。,优点：模型简单；,分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。,多自由度系统振动,2018年8月20日,3,建模方法2：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；,缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。,多自由度系统振动,2018年8月20日,4,建模方法3：,车、人、车轮的质
2、量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：分别考虑了人与车、车与车轮之间的相互耦合，模型较为精确.,问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,多自由度系统振动,2018年8月20日,5,教学内容,多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统,多自由度系统振动,2018年8月20日,6,作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换,多自由度系统的动力学方程,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,7,作用力方程,几个例子,例1：双质量弹
3、簧系统，两质量分别受到激振力,不计摩擦和其他形式的阻尼,试建立系统的运动微分方程,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,8,解：,建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,9,建立方程：,矩阵形式：,力量纲,坐标间的耦合项,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,10,例2：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的扭转刚度,试建立系统的运动微分方程,外力矩,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,11,解：,建立坐标
4、：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,12,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,13,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同,如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,14,小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力
5、向量,若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,15,n 个自由度系统:,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,质量矩阵第 j 列,刚度矩阵第 j 列,广义坐标列向量,2018年8月20日,16,刚度矩阵和质量矩阵,当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定,M、K 该如何确定？,作用力方程：,先讨论 K,加速度为零,假设外力是以准静态方式施加于系统,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,准静态外力列向量,静力平衡,2018年8月20日,17,作用力方程：,假设作用于系统的是这样一组外力：它
6、们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移,即 ：,代入 ：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,18,所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列,（i=1n） ：在第 i 个坐标上施加的力,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,考虑：这样的外力列阵是否唯一？,2018年8月20日,19,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的
7、力,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,第j个坐标产生单位位移,刚度矩阵第j列,系统刚度矩阵,j=1n,确定,2018年8月20日,20,作用力方程：,讨论 M,假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度,2018年8月20日,21,这组外力正是质量矩阵 M 的第 j 列,结论：质量矩阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,多自由度系统振动 / 多自由度系
8、统的动力学方程,考虑：这样的外力列阵是否唯一？,第j个坐标单位加速度,质量矩阵第j列,系统质量矩阵,j=1n,确定,2018年8月20日,22,质量矩阵 M 中的元素mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,mij、kij又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,2018年8月20日,23,例：
9、写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m1产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m1产生单位位移，m2和m3不动,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第一列,2018年8月20日,24,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵：,使m1产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m1产生单位位移，m2和m3不动,2018年8月20日,25,例：写出
10、 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m2产生单位位移所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m2产生单位位移，m1和m3不动,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第二列,令,2018年8月20日,26,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m2产生单位位移所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m2产生单位位移，m1和m3不动,令,刚度矩阵：,2018年8月20日,27,例：写出 M
11、 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m3产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,只使m3产生单位位移，m1和m2不动,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第三列,令,2018年8月20日,28,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,使m3产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,只使m3产生单位位移，m1和m2不动,令,刚度矩阵：,2018年8月20日,29,例：写出 M 、
12、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,令,令,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,30,只考虑动态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零,所需施加的力：,所需施加的力：,在三个质量上施加力,能够使得,系统质量矩阵的第一列,m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应,2018年8月20日,31,只考虑动态,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零,所需施加的力：,所需施加的力：,m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应
13、,质量矩阵：,2018年8月20日,32,同理,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,令,2018年8月20日,33,同理,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,令,令,2018年8月20日,34,令,有：,令,有：,令,有：,质量矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,35,运动微分方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,外力列阵,矩阵形式：,2018年8月20日,36,例：双混合摆，两刚体质量,质心,绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量,两刚体质量,h1,C1,C2,h2,l,x,y,多自由度系统振动 / 多自由度系统
14、的动力学方程,2018年8月20日,37,受力分析,h1,C1,C2,h2,l,x,y,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,38,解：,先求质量影响系数,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,下摆对A取矩：,整体对B取矩：,则需要在两杆上施加力矩,问：为什么不考虑重力？,示意图，实际铅垂,2018年8月20日,39,解：,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,下摆对A取矩：,整体对B取矩：,则需要在两杆上施加力矩,2018年8月20日,40,令,令,质量矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,4
15、1,求刚度影响系数,由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,则需要在两杆上施加力矩,下摆对A取矩：,整体对B取矩：,2018年8月20日,42,令,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,则需要在两杆上施加力矩,下摆对A取矩：,整体对B取矩：,2018年8月20日,43,令,令,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,44,运动微分方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,45,例：,每杆质量 m,杆长度 l,水平弹簧刚度 k,弹簧距离固定端 a,多自
16、由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,双刚体杆,2018年8月20日,46,解：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆 O1、O2 求矩：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆 O1、O2 求矩：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,47,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,48,令：,则需要在两杆上施加力矩,令：,则需要在两杆上施加力矩,质量矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,49,运动学方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月
17、20日,50,例：两自由度系统,摆长 l，无质量，微摆动,求：运动微分方程,x,m1,k1,k2,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,51,解：,先求解刚度矩阵,令：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,x方向力平衡,A点力矩平衡,刚度矩阵第一列：,需要施加的力和矩,A,x,静态平衡,2018年8月20日,52,解：,令：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,x方向力平衡,A点力矩平衡,刚度矩阵第二列：,需要施加的力和矩,x,2018年8月20日,53,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵第一列：,刚度矩阵第二列：,
18、系统刚度矩阵：,2018年8月20日,54,求解质量矩阵,令：,令：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,瞬时动态,2018年8月20日,55,质量矩阵：,刚度矩阵：,运动微分方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,56,小结：,建立动力学方程的影响系数法,多自由度系统作用力方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,质量矩阵 M 中的元素mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
19、,刚度矩阵：,质量矩阵：,静态,动态,力的量纲,2018年8月20日,57,位移方程和柔度矩阵, 对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些, 柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形, 物理意义及量纲与刚度恰好相反,以一个例子说明位移方程的建立,无质量弹性梁，有若干集中质量,（质量连续分布的弹性梁的简化 ）,以准静态方式作用在梁上,梁只产生位移（即挠度），不产生加速度,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,58,m1 位移：,m2 位移：,m1 位移：,m2 位移：,m1 位移：,m2 位移：,多自由度系统振动 / 多自
20、由度系统的动力学方程,2018年8月20日,59,同时作用时：,矩阵形式：,柔度矩阵,物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移,柔度影响系数,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,60,当 是动载荷时,集中质量上有惯性力存在,位移方程,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,61,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,也可按作用力方程建立方程：,若K非奇异,位移方程：,柔度矩阵与刚度矩阵的关系：,刚度矩阵,2018年8月20日,62,对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系
21、统），柔度矩阵不存在,应当注意：,位移方程不适用于具有刚体自由度的系统,原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移,刚度矩阵 K 奇异,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,63,例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程,已知梁的抗弯刚度矩阵为,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,64,柔度影响系数：,柔度矩阵：,位移方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,65,例： 教材 P72 例4.1-2，求柔度阵,（1）在坐标 x1 上对质量 m1 作用单位力
22、,系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为:,解：,（2）在坐标 x2 上对质量 m2 作用单位力,（3）在坐标 x3 上对质量 m3 作用单位力,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,66,柔度矩阵：,可以验证，有：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,67,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,小结：,多自由度系统的位移方程：,柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵,位移的量纲,柔度矩阵：,柔度矩阵fij的含义为系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移,位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动
23、力学方程,2018年8月20日,68,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立,根据分析力学的结论，对于定常约束系统：,动能：,势能：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,标量,A 0,2018年8月20日,69,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立,动能：,除非,即：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,振动系统的质量矩阵总为正定矩阵,A 0,2018年8月20日,70,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y
24、，总有 成立,势能：,对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值,K 正定,K 0,对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移,K 半正定,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,振动系统的刚度矩阵至少为半正定,A 0,2018年8月20日,71,振动问题中主要讨论（1）M阵正定、K 阵正定（2）M阵正定、 K 阵半正定 的系统,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,半正定振动系统,正定振动系统,2018年8月20日,72,耦合与坐标变换,矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合,以两自由度系统
25、为例,不存在惯性耦合,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,73,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度,不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力,同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力,耦合的表现形式取决于坐标的选择,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,耦合,非耦合,出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力,2018年8月20日,74,例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型,表示车体的刚性杆AB的质量为m
26、，杆绕质心C的转动惯量为Ic,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示,写出车体微振动的微分方程,选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,75,简化形式,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,76,车体所受外力向D点简化为合力 PD 和合力矩 MD,微振动，杆质心的垂直位移和杆绕质心的角位移：,采用拉氏方法建立方程,动能：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,77,动能：,势能：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,
27、2018年8月20日,78,拉格朗日方程：,：广义坐标,：拉格朗日函数,：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力,计算广义力 Q1 和 Q2,设在坐标 xD 上有虚位移,非有势力做功,因此,非有势力做功,因此,设在坐标 上有虚位移,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,79,代入拉格朗日方程，得：,矩阵形式：,存在惯性耦合,存在弹性耦合,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,80,振动力学方法求解,首先求刚度矩阵,令：,对D点取矩：,力平衡：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,81,令：,对D点
28、取矩：,力平衡：,刚度矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,82,求质量矩阵,令：,质心C所受的惯性力：,力平衡：,力矩平衡：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,83,令：,质心C所受的惯性力矩：,力平衡：,对D点取矩：,质心C所受的惯性力：,质量矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,84,质量矩阵,刚度矩阵,运动微分方程,和前面采用拉格朗日方程建立的系统运动微分方程一致,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,85,如果D点选在这样一个特殊位置，使
29、得：,只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,86,如果D点选在质心C：,只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合,：作用在质心上的外力合力和合力矩,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,87,问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？,即：,若能够，则有：,方程解耦，变成了两个单自由度问题,使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,88,讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所
30、描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？,选取D点的垂直位移及角位移作为坐标,选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,89,令：,令：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,90,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,91,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和 的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,201
31、8年8月20日,92,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和 的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,T 非奇异，因此：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,93,验证：,代入，并左乘 ：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,94,结论：,假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：,其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：,那么在坐标Y 下的运动微分方程为：,如果恰巧Y 是主坐标：,对角阵,这样的T 是否存在？如何寻找？,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,2018年8月20日,95,当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同,对于质量矩阵也如此,线性代数知， 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质,对称性质：,若矩阵A 对称，则（TTAT）对称,证明：,矩阵A 对称，AAT,则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT,正定性质：,若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定,因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质,多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程,
