1、1 重点 多元函数一般概念 定义域 极限 连续 偏导数及其求法 复合函数求导 隐函数求导 全微分及其求法 多元函数极值及其求法 2 以点为中心 以 为半径的圆内部点的全体称为p0的 邻域 记 p0 U p0 p0 称为p0的去心 邻域 如图 3 U p0 p0 4 2 区域 例如 即为开集 5 6 连通的开集称为区域或开区域 例如 例如 7 有界闭区域 无界开区域 例如 8 3 聚点 内点一定是聚点 说明 边界点可能是聚点 例 0 0 既是边界点也是聚点 9 点集E的聚点可以属于E 也可以不属于E 例如 0 0 是聚点但不属于集合 例如 边界上的点都是聚点也都属于集合 10 4 n维空间 n维
2、空间的记号为 说明 n维空间中两点间距离公式 11 n维空间中邻域 区域等概念 特殊地当时 便为数轴 平面 空间两点间的距离 内点 边界点 区域 聚点等概念也可定义 邻域 设两点为 12 类似地可定义三元及三元以上函数 13 14 例3求的定义域 解 所求定义域为 15 2 二元函数的图形 如下页图 16 二元函数的图形通常是一张曲面 17 例如 图形如右图 例如 球面 单值分支 18 19 就是 0 0 当0 x x0 时 有 f x A 设二元函数z f x y 定义域为D P0 x0 y0 是D的一个点 A为常数 若 0 0 当 对应的函数值满足 f x y A 则称A为z f x y
3、当P趋近于P0时 二重 极限 记作 或 定义1 二元函数的极限 21 说明 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 22 例1求证 证 当时 原结论成立 23 24 例3求极限 解 其中 25 例4证明不存在 证 取 其值随k的不同而变化 故极限不存在 26 27 28 确定极限不存在的方法 29 利用点函数的形式有 30 四 多元函数的连续性 31 定义2 32 33 34 35 36 37 38 例1 解 39 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 注意趋近方式的任意性 四 小结 多元函数的定义 40 4
4、1 42 43 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如在处 44 把y看成常量 把x看成常量 45 把y看成常量 把x看成常量 46 47 48 偏导数的几何意义 49 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 50 有关偏导数的几点说明 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 解 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123
