1、第三章向量空间 向量空间是线性代数最基本的概念之一 也是一个抽象的概念 向量空间是为了解决实际问题而引入的 它是某一类事物从量的方面的一个抽象 即把实际问题看作向量空间 进而通过研究向量空间来解决实际问题 3 1向量空间与子空间 一数域 定义3 1 1设是数的集合 若其满足 1 2 对中任意两个a b 总有 a b a b a b a b b0 则称F是一个数域 条件 2 称为F对数的加 减 乘 除四种运算封闭 R 实数域Q 有理数域常用数域C 复数域 设是数域 是的一个非空子集 如果 1 对于任意两个元素 均有 2 若对于任一数与任一元素 均有 二向量空间 定义3 1 2 那么称为数域上的向
2、量空间 三子空间 定义3 1 3设V是数域F上的向量空间 W是V的一个非空子集 若W也构成F上的向量空间 则称W是V的向量子空间 简称子空间 例3 1 3设V是向量空间 则V一定包含零向量 同时 V本身及都是V的子空间 称它们为平凡子空间 V的其它子空间 如果还有的话 均称为非平凡子空间 解 1 构成子空间 2 不构成子空间 例设是齐次线性方程组的一个基础解系 则 定理设V是数域F上的向量空间 是V中m个向量 则V的子集合 构成V的子空间 称为由向量组生成的子空间 记为 例设 把A按列分块 则是的子空间 称之为矩阵A的列空间 记为 结论 线性方程组有解 及其子空间均称为实向量空间 思考题 思考题解答
