1、高等流体力学,无粘性流体的势流理论,无粘性流体的势流理论,主要内容：,基本势流及其叠加,有势流动理论基础,圆柱绕流,势流理论的地位和作用,有势流动的基本方程,复变函数及保角变换,若干简单势流的复势,儒可夫斯基翼型绕流,有势流动的基本方程,连续方程,Euler运动方程,势流条件,Lamb-DOMEKO方程的形式,积分,Lagrange积分,势流理论基础,二维势流中，既有流函数（x,y），又有流速势 (x,y)的存在。 根据二者的定义，得二者之间的下列关系：,Cauchy-Riemann条件,令,复势,共轭函数,和共轭函数，故二者均满足Laplace方程。,等势线和流线是互相垂直的，构成流网。,求
2、二维恒定势流解析解的途径可以分为以下三种：,（i）求流速势函数Neumann问题,（ii）求流函数Dirichlet问题,（iii）求复势W（z）函数,有势流动中的奇点,不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。,其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线,（1）连续条件中的奇点·源和汇,流速矢量V=grad与 =const的表面垂直，流动系径向流动，,4 m称为汇或源的强度(Strength)。,当m为正值时，流速方向指向球心，在流体力学里称为点汇(Point sink)。 当m为负值时，从球心辐射向外，这种流动称为点源(Point source) 。,
3、越接近球心，流速越大。,源或汇都是一种径向流动，切向流速等于零。源或汇的流速势应服从下列关系：,径向流速ur为,流动图形如图所示，,平面源和汇,若在轴线方向（即z方向）取一单位长度，则流量Q为,源或汇的单位强度,（2）无涡条件中的奇点,流线呈圆周形的流动统称为涡。流线为同心圆周，而流速与半径成反比， 质点没有旋转（中心点除外）的流动称为自由涡流（Free Vortex）。 自由涡流的流速分布可表示为，,或,涡量,在极坐标中，自由涡流的势函数 的全微分为,把ur, u代入后积分，可得,自由涡流的流速势,和是共轭的，故，,由此可得,基本势流及其叠加,均匀流动,由流速势定义，,流线方程式,由平面势流
4、，得,流函数为，,积分,源和汇,二维源的流速势表达式,流函数的表达式为,汇就是负的源。,在直角坐标里，如源位于原点，则流速势和流函数分别表示如下：,流速分量为,源位于P（x1,y1）点，,自由涡流,从动力学角度来看，流体质点沿圆周运动时其径向撤职心惯性力与压强的 径向梯度所形成的压力处于平衡状态，即,由此得,式中dA为隔离体垂直于半径方向的平均面积为向心的径向加速度 。,因流动是无旋的有势流动，Lagrange积分适用于不同流线上的质点。则,即,平面偶极子,把一对强度相等的位于x轴上的源和汇各向原点靠拢，当它们之间的距离逐渐减 小为零时，源与汇的强度逐渐增强，使 Cs 趋近于一个有限值。 当
5、s =0时，一对平面的源和汇合并成一个平面的偶极子，具有强度。,设在xy平面上有一点P，P到源的距离 为r1，到汇的距离为r2。P点的流速势 是源在该点的流速势 加上汇在该点 的流速势,设,则,其中,同理，偶极子的流函数,任一点的流速为,流速矢量的绝对值为,垂直拐角绕流（停滞点附近的流动）,流速势,流函数,得流速分量,u=2Ax. V= -2Ay,流线方程式,(原点为驻点 ),xy=const,任意拐角绕流,对于边界任意角的平面势流，其流速势及流函数可用极坐标表示为,1、当 =或 n=1 时，,可见等势线与流线全是平等的直线，两者互相垂直，如图所示。,得,等势线：x=常量,流 线：y=常量,流
6、速为，ux=A=u0, uy=0,平面无旋流动,2、当 或n=2时,则,流线：,等势线：,可见等势线与流线全是双曲线， 且互相垂直，如图所示。,3、当 或n2时,等势线：,流线：,=0时，,如图6-14所示,4、当 或 2n1 时,当A0时流动图形如图6-15（a）所示，A0时流动图形如图6-15(b)所示。,5、当 或 n=2/3 时,该流动的图形如图6-16所示,6、当 或 n=1/2 时,流动图形如图6-17所示，它对应于围绕薄平板边缘的流动。,涡对,设有两个涡并列在x轴上，间距为d。任一点P距两个涡的距离分别为r1和r2。由前式，得流函数的表示式,同理，得流速势，,。图6.18,均匀流
7、和源的叠加,图6.19 均匀流加源后的流线图形,半体绕流的流速势或流函数可把均匀 流和源的流速势或流函数叠加而成。,因=0,故均匀流,源,绕半体流动的流速势,流函数为,半体轮廓外形 :,设停滞点为 ，该点流速等于零，即,停滞点位置,将其代入流函数公式得，,通过停滞点的流线为,半体外形的公式,则,均匀流和源及汇的叠加,均匀流上叠加一个源，得半体的绕流。如在半体尾部再加一个汇，则可得 Rankine体的绕流。,（图6.21a,b）,设源位于x=处，汇位于x=+处。流场任一点p到源的矢径为r1， 极角为1 ；到汇的矢径为r2，极角为2 ，则叠加后的流函数为,叠加后的流速势为,Rankine体的长度:
8、,源和汇的间距是2。设绕流体全长为2l，则停滞点s离源点距离rs=l-； 停滞点s离源点距离rs=l+ 。停滞点速度V为,Rankine体的外形:,停滞点s的坐标极角 ，该点的流函数 。其流线就是 Rankine体的外形，其式为,圆柱绕流,无环量圆柱绕流均匀流、偶极子的组合,（一）均匀流、偶极子的组合,在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个 沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为,如图6-22所示。,（1）零流线,的流线,由sin=0得，,零流线方程,（2）相应的流场,如图6-24所示,流动图谱如图6-25所示。,无环量圆柱的外部绕流,以固体边界代替=0的圆周线，其外部的流动图形不变，圆柱的半径为,在均匀流中的绕流速度势和流函数为,相应的速度场为,面上r=a的速度分布为,由此可见，柱面上的驻点发生在 的位置上；柱面上的最大速度 点发生在 的位置上，并且,谢谢,
