1、第二章流体力学的基本方程 首先介绍流体运动的描述方法 基本概念 然后利用物理学的基本定律 质量守恒 动量守恒 能量守恒 导出流体力学中的方程 连续性方程 动量方程 伯努利方程 流体质点的流速 固定空间点的流速 第一节 研究流体运动的两种方法 2 一 拉格朗日法 以每个运动的流体质点为研究对象 通过对每个质点的运动研究来获得整个流体运动的规律 其中a b c t为拉格朗日变量 3 二 欧拉法 欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化 把全部空间点上的流动情况综合起来 就得到整个流场的运动情况 场 如果在空间中的每一点 都对应着某个物理量的一个确定值 这个空间就称为这个物理量的场 如 数量场
2、 温度场 密度场 电位场 矢量场 力场 速度场 流场 充满运动流体的空间 其中x y z t为欧拉变量 4 三 随体加速度 1 拉格朗日的加速度 2 欧拉法表示的流体加速度 流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率 5 表示同一固定空间点上流体质点的速度变化率 即 同一固定空间点上由于时间变化而引起的加速度 称为当地加速度 表示同一时间 不同空间点转移时引起的速度变化 称为迁移加速度 加速度 当地加速度 迁移加速度 6 用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时 全导数 当地导数 迁移导数 微分算子 四 系统与控制体 7 系统 一团流体的集合 在运动过程中 系统始终包含着确定的这些流体质点 有确
3、定的质量 而这一团流体的表面常常是不断变形的 控制体 控制体是流场中某一确定的空间区域 即相对于坐标系是固定不变的 控制体的表面是控制面 控制体的形状是根据流体运动情况和边界情况选定的 8 第二节流体运动的基本概念 一 定常流 非定常流 二 均匀流 非均匀流 9 三 一元流动 二元流动 三元流动 流动的简化 三元二元一元 四 轨迹与流线 1 迹线 流体质点的运动轨迹 即质点在不同时刻所在位置的连线 积分后所得表达式中消去时间t即得迹线方程 10 2 流线 流场中某一瞬时的一条光滑曲线 曲线上每一点的速度矢量总是在该点与曲线相切 11 定常流时 流线形状不随时间变化 流线和迹线重合 流场中 除速
4、度为零的点 驻点 速度为无穷大的点 奇点 外 流线既不能相交 也不能突然转折 流线没有大小 粗细 但有疏密 疏的地方表示流速小 密的地方表示流速大 12 五 流管 流束 1 流管 在流场中任取一封闭曲线 不是流线 过的每一点作流线 这些流线所组成的管状表面称为流管 流管的性质 流管不能相交 流管的形状和位置在定常流时不随时间变化 而在非定常流时 则随时时间变化 流管不能在流场内部中断 因为在实际的流场中 流管截面不能收缩到零 否则在该处的流速要达到无限大 这是不可能的 因此 流管只能始于或终于流场边界 如物体表面 自由面 或形成环形 或伸到无穷远处 13 2 流束 流管内部的流体称为流束 断面
5、无穷小的流束为微小流束 无数微小流束的总和称为总流 如管道的水流可视为总流 六 过流断面 湿周 水力半径和当量直径 过流断面 湿周 14 水力半径和当量直径 七 流量 断面平均流速 1 流量 体积流量 质量流量和重量流量 体积流量的表示 在流束的过流断面上取一微元面积dA 速度为v 则通过dA的体积流量为 15 是速度矢量和法线方向 截面 的夹角余弦 2 平均流速 16 八 动能 动量修正系数 用过流断面上平均流速表示的动能 动量与实际速度所求的动能 动量引起的误差称动能 动量修正系数 17 第三节连续性方程 质量守恒方程 一 三维连续性方程 左边流入控制体的流体质量 右边流出控制体的流体质量
6、 18 x方向流入和流出控制体的流体质量差为 y方向流入和流出控制体的流体质量差为 z方向流入和流出控制体的流体质量差为 单位时间内流入和流出的质量差为 单位时间内控制体内的质量增量 1 19 dt时段内控制体内流体的质量增量为 2 单位时段内控制体内流体质量的增量为 1 三维 非定常流动 可压缩流体最一般的情况的连续性方程 20 定常流动 不可压缩流体 二维流动不可压缩流动 二 一维 定常 不可压缩流体连续性方程 在流场中取一流束 取断面1 2和流管所围体积为控制体 由质量守恒定律 单位时间内 流入质量 流出质量 控制体内的质量增量 21 对于定常流动 控制体内的质量增量 所以流入 流出 单
7、位时间内流入控制体的质量 单位时间内流出控制体的质量 例1 如上图所示 有二块平行平板 上板以匀速v向下平移 间隙中的油向左右挤出 前后油液无流动 间隙宽b 高h t 求油的平均流速随位置变化的关系u x 22 单位时间内流出控制体的质量为 单位时间内控制体内的质量变化 质量增量 流入质量 流出质量 质量增量 例题2 水平放置的分支管路 已知A B C D处管路直径和A C处的速度 求B D处的速度大小 23 AB段 BC段 例题3 已知某流场的速度分布为 试分析流动是否连续 存在 24 对不可压缩流体 以上流动不存在 对可压缩流体 因密度的变化未给出 故无法判断 例题3 假定流管形状不随时间
8、变化 设A为流管的横断面积 且在A断面上流动物理量是均匀的 试证明连续性方程具有下述形式 式中 u为速度 ds为流动方向s的弧长 25 由质量守恒定律 流入控制体的质量 流出控制体的质量 控制体内质量的增加 单位时间 流入质量 流出质量 对控制体内应用质量守恒定律 Q为常数 26 例题 假设有一不可压缩流体的平面流动 其x方向的速度分量为 在x轴上处处vy 0 试决定其y方向的速度分量 带入边界条件 27 1 通量 28 2 积分形式的连续性方程对上图的任一封闭曲面组成的控制体 质量守恒定律可描述为 单位时间 流入控制体的质量 控制体内质量增加或 单位时间 流出质量 流入质量 控制体内质量减少
9、 单位时间 控制体内质量减少 单位时间 流出质量 流入质量 3 高斯定理 29 4 微分形式的连续性方程 30 第四节流体微团的运动分析 流体的运动可分解为 平移 转动和变形三种运动 31 一 流体微团的速度分解公式 设某瞬时A x y z 点的速度 距离A很近的M x dx y dy z dz 点 32 现在vxvyvz同样写成以上形式 33 流体微团的速度分解式 称为亥姆霍兹速度分解定理 右边第一项 平动 第二项 线变形 第三项 角速度 第四项 旋转 与刚体相比 多了第二 三项变形部分 34 二 流体质点运动的三种形式 平动 线变形 角变形 旋转 35 1 平移运动 2 线变形运动 36
10、3 角变形运动和旋转运动 37 微团整体绕通过A点的Z轴的旋转角速度 微团一个边绕通过A点的Z轴的角变形速度 流体微团运动是由平移 变形 线变形和角变形 旋转三种运动构成的 三 无旋运动 38 a b 虽然运动轨迹是直线 但 a 是无旋流 b 是有旋流 c d 轨迹是圆周 但 c 是无旋流 d 是有旋流 例 二维纯剪切流动中微团运动的分解 39 40 第四节理想流体运动微分方程 一 方程的推导 1 表面力 左边 右边 在x方向的表面力合力为 41 2 质量力 3 欧拉运动微分方程 42 二 葛罗米柯 兰姆运动微分方程 43 三 葛罗米柯 兰姆运动微分方程 形式二 1 定常流动 2 质量力有势
11、存在力势函数W 3 正压流体 44 45 第六节伯努利方程 一 伯努利积分 4 沿流线积分 46 上式称为伯努利积分 它是在定常条件下 正压流体在有势的质量力作用下欧拉运动微分方程沿流线的积分 它表明 对不可压缩流体或可压缩的正压流体 在有势的质量力作用下 沿同一条流线 单位质量流体的势能 压能 动能之和为一常数 47 二 欧拉积分 4 无旋流动 48 对不可压缩流体或正压性的理想流体 在有势质量力作用下 作定常有势流动 无旋流动 在流场中任一点单位质量流体的势能 压能 动能之和保持不变 但这三种能量可以相互转换 例题 已知不可压缩流体运动的速度分布为 求 1 判别流动是否有旋 2 求压场分布
12、 1 判别流动是否有旋 49 2 求压强分布 无旋流动 可用欧拉积分 理想流体 定常流动 质量力有势 不可压缩流体 无旋流动对整个流场适用 50 在涡核边界上 区域为恒定有旋流动 可以用伯努利积分 沿流线 且不计质量力 式中p v为这一区域内任一点的压强和流速 在圆形旋涡内部 流线为同心圆 所以应用伯努利积分无法求出压强沿径向的变化 直接用欧拉运动微分方程求解 不计质量力 二元流动的欧拉方程为 51 当r R p p0 v v0 52 三 重力作用下的伯努利方程 对前面的伯努利积分和欧拉积分 对其中的2 有势的质量力3 正压流体再引入限制 a 作用在流体上的质量力只有重力 b 不可压缩 均质流
13、体 53 四 伯努利方程的意义 1 几何意义 对有旋流动 在同一条微小流束上 总水头是个常数 对有势流动 流场中任意点总水头是个常数 2 能量意义 对有旋流动 在同一微小流束上总机械能保持不变 对有势流动 在流场中任一点 总机械能保持不变 54 几何意义 物理意义 在不考虑流体粘性的基础上 流动过程中并未产生损失 但在实际流体流动的过程中 由于粘性的作用 流体所具有的总能量沿程将不断降低 对于实际微小流束上的伯努利方程有 五 实际微小流束的伯努利方程 55 从1至2断面的能量损失 单位重量流体 六 实际微小流束的伯努利方程 1 急变流与缓变流 缓变流 流线之间的夹角很小 流线间几乎是平行的 且
14、流线曲率半径很大 即 流线近似平行直线的流动 急变流 不满足缓变流条件之一的流动 56 1 缓变流的过流断面近于平面 过流断面上各点的速度方向近于平行 2 恒定缓变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布 57 2 动能修正系数 3 总流伯努利方程的导出 总流是无数微小流束的总和 总流的伯努利方程只要对微小流束的伯努利积分在整个断面上积分便可求出 58 缓变流 代替 将以上结果代入方程 并同时除以 59 方程的意义 断面1单位重量流体的机械能 断面2单位重量流体的机械能 断面之间单位重量流体的机械能损失 伯努利方程的适用条件 1 定常流动 2 不可压缩均质流体 3 重力流体 质量力只受重力4 缓
15、变流断面 伯努利方程应用注意 1 方程式不是对任何流动都适用的 注意其使用条件 2 常常和一元连续性方程连用 3 方程中的位置水头是相对的 通常取在轴线或较低断面上 4 两个断面的压强标准必须一致 一般用表压 相对压强 5 在选取二个过流断面时 尽可能只包含一个未知数 如水库水面 大容器水面 出口断面等 6 方程要求二个断面都是缓变流断面 但并不要求二个断面之间是缓变流 7 在多数工程计算中 位置水头或压强水头都较大 而流速水头都较小 动能修正系数为1 0 60 例题 如图所示水泵管路 已知 流量Q 101m3 h 管径d 150mm 管路的总水头损失25 4m 求水泵的扬程 解 1 列吸水池
16、水面1 1 出水池水面2 2的B E 例题 测定水泵扬程的装置如图 已知d1 200mm d2 150mm 测得Q 0 06m3 s p1 4m水柱高 p2 20m水柱高 h 0 5m 求扬程 解 列1 2两个过流断面的B E 61 七 伯努利方程的应用 1 毕托管 1 驻点压强 总压强 静压强 动压强 62 2 测速原理 对1 2两点列伯努利方程 理想流体 微小流束的B E 63 3 毕托管 国际以英国国家物理实验室设计制造的标准毕托管 NPL管 作为标准 64 2 文丘里管 文丘里管是用在工业管路 实验管路上测量流量的装置 它由收缩段 喉部和扩散段三部分组成 两端通过法兰和管路连接 65
17、3 孔板流量计 对孔板前的截面1和射流最小截面2应用总流的伯努利方程 得 66 4 堰板流量计 堰板流量计用于测量渠道或实验水槽中的流量 水越过一块具有切口的薄板而漫溢的流动称为堰流 堰板的切口有矩形 三角形和梯形等 堰口上方水舌的速度是不均匀的 取z轴如图所示 堰顶处为z 0 求水舌中任意高度处z的流速u 假定水舌的压强近似等于大气压 沿任一条流线的伯努利方程为 67 对矩形堰 流量为 假定堰顶水位 H 八 伯努利方程的扩展 1 气流的伯努利方程 在工业通风管道 烟道中 气流在运动过程中密度的变化很小 所以伯努利方程可用于气流的计算 但在应用相对压强进行计算时 需考虑外部大气压在不同高度的差
18、值 68 设恒定气流 密度为 外部空气密度为 a 1 2两过流断面上的绝对压强为 称为压强损失 69 2 相对运动的伯努利方程 离心式叶轮机械 泵或风机 中的流体运动是一种相对运动 图示为流体在离心式水泵中的运动 1 速度三角形 假定 1 流体是理想流体 定常流动 2 叶轮上叶片数目无穷多 叶片无厚度 水流只能沿叶片骨线方向运动 2 相对运动的伯努利方程 取流线1 2 相对流线 采用欧拉运动微分方程来推导 欧拉运动微分方程为 70 71 离心力做功 72 第七节动量方程 一元 定常 不可压缩流体 一 方程推导 质点系动量定理 取控制体和坐标系 图 控制体由1 2两个过流断面和边界组成 对控制体
19、内的流体应用质点系的动量定理 73 t时刻动量 t t时刻动量 动量变化 定常流动 74 动量定理 动量方程应用时注意 1 动量方程是矢量方程 为方便计算 应选择一个适宜的坐标系 求出各项的投影值 2 选择一个合适的控制体 使二个过水断面 既紧接动量变化的急变流段 又都在渐变流区域 以便计算动水压强p1 p2 3 方程中合力是外界对流体的力 而不是流体对固体的作用力 分析作用力时注意不要遗漏 同时考虑可以忽略的力 75 二 动量方程的应用 1 水流对弯管的作用力 水平放置 图示一弯管 进出口过流断面面积分别为A1 A2 设水流量为Q 求水流对弯管的作用力 即求固定此弯管所需要的力 角度 压力
20、速度均已知 1 建立图示坐标系 2 取控制体 虚线 对控制体中流体系统进行讨论 3 列动量方程 动量修正系数 1 0 76 4 受力分析 控制内内部流体受到的外力有 上下游压力 管壁的作用力 77 2 自由射流的冲击力 自由射流 从有压喷管或者孔口射入大气的一股流束 其特点是流束上的流体压强均为大气压 78 连续性方程 动量方程 79 解 管道出口速度为 由于不计重力影响 水流绕过锥体后流速仍为 压强处处为当地大气压 当水流将阀体托起时 水流对阀体的冲击力 阀体自重 80 动量方程的推导 81 此式就是用欧拉方法表示的动量方程式 表示作用在控制体内流体上的合外力单位时间内净流入控制的动量控制体
21、内流体动量的时间变化率 对一元 定常 不可压缩流动 82 第八节动量矩方程 一 方程的建立 分别代表从某固定点到过流断面1 2及外力作用点的矢径 则由动量矩定理 则动量矩方程 上式说明 单位时间内流出 流入控制面的动量矩之差作用在控制体内流体上所有外力对同一点力矩的矢量和 83 二 叶轮机械欧拉方程 叶轮中假设叶片数无穷大 液体无粘性 则其绝对运动是定常的 叶轮对液体所作的功率 叶轮对单位重量液体所作的功 84 三 洒水器 解 取固定于地球的坐标系 则 流入动量对转矩的矩为零 85 86 解 1 流入流量流出流量 2 由动量矩方程 轴向进入 径向流出 3 输入叶轮的功率 扬程 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
