1、,第二章 流体力学基本方程1 质量守恒,2.1 欧拉质量守恒,质量守恒定理,上述积分的积分区域V是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函 数等于零，,质量守恒定理 在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。,由雷诺输运定理，,2.1 欧拉质量守恒,定常流动和不可压缩流体的连续方程,对于定常流动， ，连续方程可简化为，,对于不可压缩流体， ，连续方程可简化为，,流体质点可沿 线或 线流动，此时其密度保持为常数 或 ， 因此 ，但 ， 。,2.1 欧拉质量守恒,密度分层流动,不可压缩流体,上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点的密度相等，即不要求密度场为均匀场。,密度
2、分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。,密度分层流动,均质不可压缩流体 密度处处相等的不可压缩流体,不可压缩流体,均质流体,密度不是 x、y、z的函数,密度也不是 t 的函数,在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。,物质导数定义式,均质不可压缩流体,2.1 欧拉质量守恒,2.1 欧拉质量守恒,第二雷诺输运定理,证明：,根据连续方程 ，又 于是，,2.2 动量守恒定理,2.2 动量守恒定理,积分形式的动量方程,系统的动量， 作用在系统上的质量力 作用在系统上的表面力 由动量定理得积分形式的动量方程,系统中流体动量的变化率等于作用在该系统
3、上的质量力和表面力之和。,2.2 动量守恒定理,微分形式的动量方程,2.2 动量守恒定理,用张量表示法表示动量方程,方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。,用张量表示法表示动量方程，,2.2 动量守恒定理,守恒形式的动量方程,并矢是二阶张量。,2.3 能量方程,对于一个静止的热力学系统（或起始和终止状态处于静止的系统）：系统内能的增加等于外力对系统所作的功与外
4、界传递给系统的热量之和。一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率之和。,热力学第一定理,2.3 能量方程,2.3 能量方程,积分形式的能量守恒方程,任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 系统总能量， ， e 为单位质量流体的内能；单位质量流体的动能 表面力作功功率， 质量力作功功率，,传热功率， 热通量离开系统表面时为正，这里求传递给系统的传热功率，所以积分号前加负号,根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，,2.3 能量方程,微分形式的能量方程,第二雷
5、诺输运定理,高斯定理,2.3 能量方程,机械能方程,动量方程,上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘，即方程两边 都乘以 ，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。,两边同乘 ，,2.3 能量方程,内能方程,上式左边表示内能的变化率，第一项是当地变化率，第二项是对流变化率，是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右边是引起内能变化的动因，第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传热功率。,总能量方程减去机械能方程,2.4 Navier-Stokes方程,2.4 Navier-Stokes方程,N-S方程,s是应变率
6、张量,动量方程，,本构方程,不可压缩流体(动力粘性系数为常数 ),2.4 Navier-Stokes方程,2.4 Navier-Stokes方程,欧拉方程（ ）,2.5 能量方程,称耗损函数，表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率，这部分机械能向内能的转变是不可逆的，在一切流体和一切流动中总大于零。,2.5 能量方程,内能方程,，表示表面力作功功率，可包括两部分：,压缩功功率，表示流体体积变化时，外部压强在单位时间内对单位体积流体作功的功率，这种转变是可逆的；,导热功率,2.5 能量方程,能量方程其它形式,内能方程，连续方程，于是内能方程可改写为，热力学关系式，则内能方程可变换为，或,
7、上两式分别是以熵和焓表示的能量方程,2.6 牛顿流体的基本方程组,2.6 牛顿流体的基本方程组,基本方程组,以上方程包括7个标量方程，7个未知量：uj， ， p ，e， T ，方程组是 封闭的。方程中出现的,等参数均可认为是 p 和 T 的函数。 对完全气体，状态方程和内能公式可分别写为 ， 。 通常考虑的质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示,基本方程组包括连续方程，N-S 方程，能量方程及状态方程和内能公式，,当密度为常数时，上述连续方程和N-S方程共4个标量方程，未知量uj、p也是4个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程
8、得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、N-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。,2.6 牛顿流体的基本方程组,不可压缩流体（动力粘性系数为常数）,2.7 边界条件,2.7 边界条件,流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出初始条件和边界条件。,初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时,边界条件指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件，本节主要研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触面，其中至少有一种介质是我们所考虑的流体，并假设分界面两
9、边的物质互不渗透，原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。,初始条件和边界条件,2.7 边界条件,曲面上的表面张力,表面张力的合力指向凹面一侧，与压力差平衡。 为表面张力系数。,当分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强一般不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。作两个垂直于界面曲面切平面而且相互正交的平面，它们和界面曲面交线的曲率半径分别为R1、R2，则曲面两侧压强差可表示为 p1 - p2,2.7 边界条件,液液分界面的边界条件,动力学边界条件,作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，,上式中 指向介质1， R1、R2 的曲率半径中心在 指向一侧时取正值， 、 分
10、别是介质 1、2 的应力张量。 是表面张力系数。将上式分解为法向和切向分量，,分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。,2.7 边界条件,液液分界面的边界条件,运动学、热力学条件,界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件），,界面两侧温度和热流量相等，,液固分界面边界条件,2.7 边界条件,固壁静止时，,在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，因此应放弃动力学边界条件，,液气分界面边界条件,2.7 边界条件,由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显著影响，应当放弃速度边界条件而采用应力边界条件，,设 为大气压强，
11、 为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时，法应力条件可写为,液,气,自由面的运动学边界条件,2.7 边界条件,液气边界最典型的是水与大气的分界面，即自由面。自由面的形状通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的，设其方程为，,假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则自由面流体 质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。,上式用到点的自由面法向单位矢量 。,自由面上 点在 t 时刻的法向速度为，,设自由面上一点 p 在 t 时刻的位置矢量为 ，在该点的法向单位矢量为 ， 经过 时间后， 点运动到点 ，则,自由面的运动学边界条件,2.7 边界条件,p,p,设 t 刻在 点的流体质点的速度为 ，则流体质点的法向速度，,上式即自由面的运动学边界条件。,自由面的运动学边界条件,2.7 边界条件,流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，,
