1、数学物理方法,陈湘,,内江师范学院-工程技术学院,光信息科学与技术、应用物理、电子科学与技术等专业必修课,数学物理方法课程的起源与研究对象,起源 物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多 实际物理问题。可定量解决实际物理问题就需要数学描述，而在数学描述遇到的数学问题也是需解决的,这就派生出一些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数学物理方法这一课程 。,研究对象 研究物理问题中遇到的数学方程的求解方法以及解这些方程所需要的复变函数的基础知识。这些方程常常是偏微分方程。,本课程的特点,平衡方程：热平衡、静电势、不可压缩流体的稳定势,本课程的主要内容,学习技巧,数学物理方法,学数学物理
2、方法时，不一定要追求其数学上的逻辑严密，而应该理解其物理意义如高斯公式很复杂，但其对应的物理内容却非常清晰。任何数学公式，都必须在确定物理意义下理解。如指数函数因t, x的不同而具有不同的意义。,学习要求,认真听讲、 勤于思考、广泛摄取、认真作业,数学物理方法,教材中所使用的符号,数学物理方法,预祝同学们学习成功!,有志者,事竟成!,第一章 复变函数,第一节 复数及运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场,1 复数及其运算法则,复数的引入,数的扩展(完善化):,在实数范围内:,方程,要使方程有解,其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记为:， ; (i
3、即虚单位： i2= -1)。 复数的上述表示称为复数的代数式. 1）x和y都是实数； 2)若两复数相等，则它们的实部和虚部必须且只需分别相等； 3）两复数不能比较大小； 4）复数z=x+iy和z*=x-iy互为共轭复数。,一、复数表述形式和特点,1、代数表述：,式中,x、y为实数，称为复数的实部与虚部,代数表示,几何表示：,复数：,复平面,为复数的模,为复数的辐角,由于辐角的周期性，辐角有无穷多,为辐角的主值，为主辐角，记为,例：求,的Argz与argz,解：z位于第二象限,复数的三角表示：,复数的指数表示：,应用：,共轭复数：,二、 复球面,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之
4、间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,复球面的定义,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N成一一对应关系.,因而球面上的北极 N 就是复数的几何表示.,扩充复平面的定义,我们规定: 北极N与一个模为无穷大的假想的点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点” 记作.,复平面加上后称为扩充复平面，记作C,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,对于复数无穷大来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,注意:为了用球面上的点
5、来表示复数,引入了无穷远点.无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大(辐角无意义)的唯一的一个复数,不要与实数中的无穷大或正,负无穷大混为一谈,（三）复数的运算,1、复数的加减法,有三角关系：,2、复数的乘法,3、复数的除法,或指数式：,复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,4、复数的乘方与方根,乘方,故：,方根,故k取不同值， 取不同值,对数运算,指数运算,补充公式,注意：,1）、,2）、,3）、,例：讨论式子 在复平面上的意义,解：,为,圆上各点,例：计算,解：,令,例：计算,解：,令
6、,1.2 复变函数,（一）、复变函数的定义,对于复变集合E中的每一复数,有一个或多个复数值,w称为的z复变函数,z称为w的宗量,复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy,（二）、区域概念,由,确定的平面点集，称为定点z0的邻域,（1）、邻域,（2）、内点,定点z0的邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点,（3）、外点,定点z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点,（4）、镜界点,定点z0的邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的镜界点。,内点,镜界点,外点,内点,镜界点,外点,（5）、区域,A）全由内点组成,B）具连通性：点集中任
7、何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。,（6）、闭区域,区域连同它的边界称为闭区域，如,表示以原点为圆心半径为1的闭区域,（7）、单连通与复连通区域,单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域,分析与比较 定义域和值域 相同点：都是数集 不同点： 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。 典型例子： |x|2 是连通的， 1|x|是不连通的； |z|2是单连通的， 1|z|是复连通的。,实变函数与复变函数比较,映射 相同点 在形式上：y = f(x), w = f(z) 不同点 在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上：
8、 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； 复变函数不能用一个图形完全表示。 联系 u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。,实变函数与复变函数比较,实变函数与复变函数比较,相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。,不同点：基本函数,xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x),基本复变函数,zn, z1/n,exp(z),ln(z),cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i,基本实变函数,三角函数,性质,周期性,恒等式,非有界函数,三、复变函数举例基本
9、初等函数,指数函数,性质,周期,双曲函数,性质,2. 与正弦函数、余弦函数的关系,1. 以2 i为周期,根式函数,记,限制值域,扩大定义域,Riemann面,对数函数,性质1,性质2,恒等式(选讲),下列式子不成立,反三角函数(选讲),反双曲函数(选讲),幂函数(选讲),例：求方程 sinz=2,解：,设,或,（四）、极限与连续性,设w=f(z)在z0点的某邻域有定义,对于0，存在0,使,有,称z z0时w0为极限，计为,注意：z在全平面，z z0须以任意方式,若有,称f(z)在z0点连续,1.3 导数,w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数,在z点存在，并与z 0的方式无关，则,例：证明
10、f(z)=zn在复平面上每点均可导,证：,例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导,证：,求导法则,下面讨论复变函数可导的必要条件,比较两式有,称为科西-黎曼条件（C.R.条件）,C.R.条件不是可导的充分条件,例：证明 在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导,证：,满足C.R.条件,在z=0处,但在z=0处，若一定，,随而变，故在z=0处不可导,下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导的充分条件,证明：,1）u,v在z处满足C.R.条件,2）u,v在z处有连续的一阶偏微商,因为u,v在z处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的微分存在,由C.R.条件,此式z无论以什么趋
11、于零都存在，,C.R.方程的极坐标表示：,故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导,当考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，有,例：试推导极坐标下的C.R.方程：,方法一：,当分别考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，,沿径向趋于零,沿恒向趋于零,方法二：,从直角坐标关系出发,同理,例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析 ，且f(z)=f(z)。,1.4 解析函数,若w=f(z)是在z0点及其邻域上处处可导，称f(z)在z0解析,若w=f(z)是在区域 B上任意点可导，称f(z)在区域 B 解析,证：,满足C.R.条件 且一阶偏导连续,后面可证在某区域上的解析函数 ，在该区域
12、上有任意阶导数。,由C.R.条件,前一式对x 求导，后式对y 求导，相加,同理,u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程,又特别称为共轭调和函数,性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数,举例,最大和最小值只能在边界上达到,指数函数实部图象,指数函数虚部图象,令：,称为梯度(gradient)矢量,二维表示,三维表示,由C.R.条件,两式相乘,即,或,表示,Laplace 方程表示为：,性质 2、u(x,y)=常数与 v(x,y)=常数曲线正交,而u 和v 分别是u(x,y)=常数 v(x,y)=常数的法向向量,性质1：设函数 f(z)=u(
13、x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线,举例,红:实部 兰:虚部,若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数，方法如下：,C.R.条件,上式为全微分，因为,方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）,设已知 u(x,y)， 求v(x,y),方法二、凑全微分显式法,方法三、不定积分法,方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）,方法二、凑全微分显式法,方法三、不定积分法,例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求 v(x,y),解：,故u为调和函数,u(x,y)=x2-y2,方法一、曲线积分法,方法二、凑全
14、微分显式法,u(x,y)=x2-y2,方法三、不定积分法,x视为参数有：,例：已知解析函数f(z)实部 求 v(x,y),解：,化为极坐标求解,第二章 复变函数积分,2.2 柯西定理,2.3 不定积分,2.4 柯西公式,2.1 复变函数积分,作和,记：,2.1 复变函数积分,例：计算积分,分别沿路径(1)和(2),如图,(1),(2),解,(1),由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关,(2),例：计算积分,分别沿路径(1)和(2),如图,(1),(2),解,(1),例：计算积分,分别沿路径(1)和(2),如图,(1),(2),解,(2),由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关
15、,（一）、单连通区域,证明：,2.2 柯西定理,C.R.条件,得：,推论：单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关,证明：,（二）、复连通区域,证明：,函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形成的带空区域,l 为区域外境界线， li为区域内境界线，积分沿境界线正向进行,内、外境界线逆时针积分相等,2.3 不定积分,单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关， 令z0固定，终点z 为变点，有单值函数,A,B,l2,l1,且：,F(z) 是f(z) 的原函数,还有,证略,例：计算积分,（n 为整数）,解：n 0 被积函数解析,n 0 , z= 为 （z- )n 奇点，作小圆
16、C, 在C上,l,C,R,例：计算积分,结论：,l 是圆周,(l不包围),(l包围),解：,有两个奇点,y,x,2.4 柯西积分公式,若：f(z) 在闭单通区域上解析，l 是闭区域的境界线，是闭区域内的任一点，则有柯西积分公式,证明：,取小圆 C,f(z) 在闭单通区域上连续，0， f(z) f(),得证,柯西公式可表示为,柯西公式可表示为,f(z)在l区域上有奇点，挖去奇点形成复通区域，柯西公式,l 为所有境界线，方向为正向,物理意义：一个解析函数f(z)在区域B内的值由它在该区域边界上的值f()所确定,推论：,对于复通区域，类推有,例：计算：,l为圆,i,x,y,解：,奇点为 z=0, z=i, z=-i,在l内只有 z=i,例：计算：,l为圆,解：,n 0,n =1,n 1,
