1、7 5平面图 1 平面图 定义 设图G 是一个无向图 如果能够把G的所有结点和边画在平面上 且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点 就称G是一个平面图 注意 有些图从表面上看有几条边是相交的 但是改画之后 仍然是平面图 此图是非平面图 是非平面图 2 面 面的边界 定义 设G是一个连通平面图 由图中的边所包围的区域 在区域内既不包含图的结点 也不包含图的边 这样的区域称为G的一个面 包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界 面的边界的回路长度称作该面的次数 记为deg r deg r1 deg r2 deg r3 deg r4 deg r5 无限面 33543 定理1一个有限平面图 面的次
2、数之和等于其边数的两倍 定理2 欧拉定理 设有一个连通的平面图G 共有v个结点e条边和r个面 则欧拉公式v r 成立 证明 对 归纳 定理3设 是一个有 个结点 条边的连通简单平面图 若v 3 则 v 用来判断某些图是非平面图 3 5 6 9 10 设有r个面 则 e r 推论 如果图 是连通的简单平面图 若v 3 且每个区域至少由四条边围成 则有 v 作业 317 1 2 4 7 6对偶与着色 这个问题最早起源于地图着色 一个地图中相邻两个国家以不同的颜色 那么最少需用多少种 一百多年前 英国格色里 Guthrie 提出用四种猜想即可对地图进行着色的猜想 1879年肯普 Kempe 给出该猜
3、想的第一个证明 但到了1890年希伍德 Hewood 发现肯普的证明是错误的 指出肯普的方法 虽不能证明用四种颜色就够了 但可证明用五种就够了 此后四色问题一直成为数学家感兴趣而未解决的难题 到了1976年美国数学家阿佩尔和黑肯宣布 用电子计算机证明了四色猜想是正确的 从此有了 四色理论 1 对偶 定义给定平面图G 它具有面F1 F2 Fn 若有图G 满足下列条件 a 对于图的任何一个面Fi 内部有且仅有一个结点vi V b 对于图的面Fi和Fj的公共边界ek 有且仅有一条边e k E 使得e k v i vj 且e k与ek相交 c 当且仅当ek只是一个面Fi的边界时 v i存在一个环e k
4、与ek相交 则称G 是G的对偶图 注意 若G 是G的对偶图 则G也是G 的对偶图 例 P318图7 6 1 图7 6 2 定义若图G的对偶图G 同构于G 则称G是自对偶图 从对偶图的概念我们可以看到 对地图的着色问题可以归结为对平面图的结点进行着色的问题 因此四色问题可以归结为证明对于任何一个平面图 一定可以用四种颜色进行着色 使得邻接的结点都有不同的颜色 2 着色 图G的正常着色 简称着色 是指对它的每一个结点指定一种颜色 使得没有两个邻接的结点有同一种颜色 如果图G在着色时用了n种颜色 我们称G为n 色的 最小着色数用x G 表示 虽然目前还没有一个简单的方法 可以确定任一图G是n 色的
5、但我们可以用韦尔奇鲍威尔 WelchPowell 对图G着色 a 将图G中的结点按照度数的递减次序进行排列 这种排列可能并不是唯一的 因为有些点有相同度数 b 用第一种颜色对第一点着色 并且并且按排列次序 对与前面着色点不邻接的每个点着上同一种颜色 c 用第二种颜色对尚未着色的点重复b 用第三种颜色继续这种做法 直到所有点全部着上色为止 定理1对于n个结点的完全图Kn 有x Kn n 证明 因为完全图的每个结点与其它各个结点都邻接 故n个结点的着色数不能少于n 又n个结点的着色数最多为n 故x Kn n 定理2设G为一个至少具有三个结点的连通平面图 则G中至少有一点u 使得deg u 5 证明
6、 设G V v E e 若G中每个结点u 都有deg u 6 但因 故2e 6v 所以e 3v 3v 6 与 3v 6矛盾 定理3任意平面图G最多是5 色的 7 7树与生成树 一 树 定义 一个连通且无回路的无向图称为树 树中度数为1的结点称为树叶 度数大于1的结点称为分支点或内点 一个无回路的无向图称作森林 它的每个连通分图是树 孤立结点可以看成是一个连通分支 但一般情况下孤立结点不看成是一棵树 除非有特殊说明 定理1以下关于树的定义是等价的 无回路的连通图 无回路且e v 1 其中e是边数 v是结点数 连通且e v 1 无回路 但增加一条新边 得到一个且仅有一个回路 连通 但删去任一边后便
7、不连通 每一对结点之间有一条且仅有一条路 定理2任一棵树中至少有两片树叶 证明设树T V v 因为T是连通图 对于任意vi V 有deg vi 1且 deg vi 2 V 1 2v 2 若T中每个结点度数 2 则 deg vi 2v 得出矛盾 若T中只有一个结点度数为1 其他结点度数 2 则 deg vi 2 v 1 1 2v 1 得出矛盾 故T中至少有两个结点度数为1 二 生成树 定义 若图G的生成子图是一棵树 则该树称为G的生成树 设图G有一棵生成树T 则T中的边称作树枝 图G的不在生成树中的边称作弦 所有弦的集合称作树T的补 树枝 e1 e7 e5 e8 e3T的弦 e2 e4 e6树T的补 e2 e4 e6 注意 一个连通图可以有许多不同的生成树 定理3连通图至少有一颗生成树 假设G是一个有n个结点 m条边的连通图 则G的生成树有n 1条边 必须删去G的m n 1 条边才能确定G的一棵生成树 数m n 1称为连通图G的秩 定理4一条回路和任何一棵生成树的补至少有一条公共边 定理5一个边割集和任何生成树至少有一条公共边 定义 在图G的所有生成树中 树权最小的那棵生成树 称作最小生成树 三 最小生成树 带权树 最小生成树的生成算法 1 避回路法 2 破圈法 作业 327 3 6
