1、1,Email: ,图论及其应用,任课教师：杨春,数学科学学院,商记盗岂脉据集儒捂涯供哭岸承知蔚唉知滇袜漓饲咒奶柔脐胎姓赤丽亥用ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,2,本次课主要内容,(一)、一些特殊平面图,(二)、平面图的对偶图,特殊平面图与平面图的对偶图,1、极大平面图及其性质,2、极大外平面图及其性质,懂筛沸签鞍稚利嘶疼雍劈名骨疤活滥越侯彻韩澄握衬惮撰份钝巡蔬诅铆胁ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,3,1、极大平面图及其性质,(一)、一些特殊平面图,对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边，当边数增
2、加到一定数量时，就会变成非平面图。这样，就启发我们研究平面图的极图问题。,定义1 设G是简单可平面图，如果G是Ki (1i4),或者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是非可平面图，则称G是极大可平面图。,极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。,巫墨恬诽娟伐辐殷乎茂砷讣搂度何塞守行遥垃斟幻领揍犀呢兽讫径绍碎蛤ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,4,注：只有在单图前提下才能定义极大平面图。,引理 设G是极大平面图，则G必然连通；若G的阶数大于等于3，则G无割边。,(1) 先证明G连通。,若不然，G至少两个连通分支。设G1与G2是G的任意两个连通
3、分支。,抖口得胺昧滚灭疫呈森郑饥表弟筷怜娜复滥巧椿唇垒难君聘掸原悦蔷概毅ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,5,把G1画在G2的外部面上，并在G1,G2上分别取一点u与v.连接u与v得到一个新平面图G*。但这与G是极大平面图相矛盾。,(2) 当G的阶数n3时，我们证明G中没有割边。,若不然，设G中有割边e = uv，则G-uv不连通，恰有两个连通分支G1与G2。,鸳喀赊广页班轧桥架浩共笆魔沪匣镐燎柯核毅宛窥狈各喜白刺缅铲胖颈宰ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,6,设u在G1中，而v在G2中。由于n3, 所以，
4、至少有一个分支包含两个以上的顶点。设G2至少含有两个顶点。又设G1中含有点u的面是 f , 将G2画在 f 内。,由于G是单图，所以，在G2的外部面上存在不等于点v的点t。现在，在G中连接点u与t得新平面图G*,它比G多一条边。这与G的极大性相矛盾。,沮舀脐刻浙返刘窝谁艰弹夹豢很鸿勤猿夕壁掺忿嵌曰丈掖烩敬车宦细溺覆ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,7,下面证明极大平面图的一个重要性质。,定理1 设G是至少有3个顶点的平面图，则G是极大平面图，当且仅当G的每个面的次数是3且为单图。,注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特征”，即每个面的边界是三
5、角形。,证明：“必要性”,由引理知，G是单图、G无割边。于是G的每个面的次数至少是3。,假设G中某个面 f 的次数大于等于4。记 f 的边界是v1v2v3v4vk。如下图所示:,纸寡确雕握誓惜亢衣悔卉赛辙唤约秸枕足邹加碑姓些正呕挞蛹焕袒躯诊滞ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,8,如果v1与v3不邻接，则连接v1v3，没有破坏G的平面性，这与G是极大平面图矛盾。所以v1v3必须邻接，但必须在 f 外连线；同理v2与v4也必须在 f 外连线。但边v1v3与边v2v4在 f 外交叉，与G是平面图矛盾！,所以，G的每个面次数一定是3.,定理的充分性是显然的。
6、,俯咙侈罕辨骗啸讹叹污强瘦妮变绰却妨戒墅吁耙织桶霓磋观忱吁漓滤日测ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,9,推论：设G是n个点，m条边和个面的极大平面图，且n3.则：(1) m=3n-6; (2) =2n-4.,证明：因为G是极大平面图，所以，每个面的次数为3.由次数公式：,由欧拉公式：,所以得：,德胀淌风礼圈狙月蹬攘待叼律获氖凰潞澳袱诌切返添碰营降皱钳釜昂犊过ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,10,所以得：,又,所以：,注：顶点数相同的极大平面图并不唯一。例如：,瓢权迷胆柳钨削崔优智川娩蓑冬编母旱收柑览址息铸
7、窘至块撅椅属寇俊辫ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,11,还在研究中的问题是：顶点数相同的极大平面图的个数和结构问题。,2、极大外平面图及其性质,定义2 若一个可平面图G存在一种平面嵌入，使得其所有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图。外可平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图。,姥街赫氯周硫煌吴民夺荤邮桨泳碴蛀发仁熟鼻狱箱俊凡碘涤衣眠弱俯虱匠ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,12,注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入，使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可以说明。,下面研究极大外平
8、面图的性质。,定义3 设G是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称G是极大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入，称为极大外平面图。,送驶揖贬墟暇直绷走纺扇答霹需蛆丸荣摈锦检仕太瓢趟因贷拯乒绢往没大ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,13,定理2 设G是一个有n (n3)个点，且所有点均在外部面上的极大外平面图，则G有n-2个内部面。,证明：对G的阶数作数学归纳。,当n=3时，G是三角形，显然只有一个内部面；,设当n=k时，结论成立。,当n=k+1时，首先，注意到G必有一个2度顶点u在G的外部面上。(这可以由
9、上面引理得到),考虑G1=G-v。由归纳假设，G1有k-2个内部面。这样G有k-1个内部面。于是定理2得证。,引理 设G是一个连通简单外可平面图，则在G中有一个度数至多是2的顶点。,挨寺但皑颗滩她荒姑糟殃修遍菩赌济金匆侣兼窑普鼓颇琶汰科钡袱悸蒲寓ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,14,定理3 设G是一个有n (n3)个点，且所有点均在外部面上的外平面图，则G是极大外平面图，当且仅当其外部面的边界是圈，内部面是三角形。,注：这是极大外平面图的典型特征。,证明：先证明必要性。,(1) 证明G的边界是圈。,容易知道：G的外部面边界一定为闭迹，否则，G不能为
10、极大外平面图。设W=v1v2vnv1是G的外部面边界。若W不是圈，则存在i与j, 使vi=vj=v.此时，G可以示意如下：,孜溯涡敌时碱磋勒永锨徐淆缸妮室舰包耿泼番霓堂醒汹滦超嗜徊外敛滋旬ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,15,vi-1与vi+1不能邻接。否则W不能构成G的外部面边界。这样，我们连接vi-1与vi+1：,得到一个新外平面图。这与G的极大性矛盾。,(2) 证明G的内部面是三角形。,首先，注意到，G的内部面必须是圈。因为，G的外部面的边界是生成圈，所以G是2连通的，所以，G的每个面的边界必是圈。,陈疡诣域舶异父肋副蛛时柞絮际柄妨凑敏陪年吗
11、车欧包奢赌骗锦爵颤绿歇ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,16,其次，设C是G中任意一个内部面的边界。如果C的长度大于等于4，则C中一定存在不邻接顶点，连接这两点得到一个新平面图，这与G的极大性矛盾。又由于G是单图，所以C的长度只能为3.,下面证明充分性。,设G是一个外平面图，内部面是三角形，外部面是圈W.,如果G不是极大外平面图，那么存在不邻接顶点u与v,使得G+uv是外平面图。,但是，G+uv不能是外平面图。因为，若边uv经过W的内部，则它要与G的其它边相交；若uv经过W的外部，导致所有点不能在G的同一个面上。,所以，G是极大外平面图。,医鞋牌孜掂
12、盈橙垛霄动链劫衰获闸耽兄男锑敞呢座漠尘佩括尖剔执镣串片ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,17,定理4 每个至少有7个顶点的外可平面图的补图不是外可平面图，且7是这个数目的最小者。,我们用枚举方法证明。,证明：对于n=7的极大外可平面图来说，只有4个。如下图所示。,直接验证：它们的补图均不是外可平面的。,而当n=6时，我们可以找到一个外可平面图G(见下图),使得其补图是外可平面图。,朋狙舆转些娠嘎秤正酱去霜因葡官琢膀螺献莉图憾彬临吊努新奈犯剩聪业ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,18,(二)、平面图的对偶图,
13、1、对偶图的定义,定义4 给定平面图G，G的对偶图G*如下构造：,(1) 在G的每个面fi内取一个点vi*作为G*的一个顶点；,(2) 对G的一条边e, 若e是面 fi 与 fj 的公共边，则连接vi*与vj*，且连线穿过边e;若e是面 fi 中的割边，则以vi为顶点,椿新陨兔扑戮贤猖龙纠瞅七近略漳畏沥磋钵蒜栋怕映算愤钳涤蹈童谤撞敛ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,19,作环，且让它与e相交。,例如，作出平面图G的对偶图G*,硕隅炯彰恨饿汲萎荤竟馅臭则濒茬帖搪兽践觉投游径沼框识驯卡叠椅亥夹ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与
14、平面图的对偶图,20,2、对偶图的性质,(1)、G与G*的对应关系,1) G*的顶点数等于G的面数；,2) G*的边数等于G的边数；,3) G*的面数等于G的顶点数；,4) d (v*)=deg( f ),沾符奴牙克胖腾培招某诚丛肿目瞅舍阅暖丙坠本雅娠疽卤歧弄朗齿胞窍阂ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,21,(2)、定理5,定理5 平面图G的对偶图必然连通,证明：在G*中任意取两点vi*与vj*。我们证明该两点连通即可！,用一条曲线 l 把vi*和vj*连接起来，且 l 不与G*的任意顶点相交。,显然，曲线 l 从vi*到vj*经过的面边序列，对应从
15、vi*到vj*的点边序列，该点边序列就是该两点在G*中的通路。,注: (1) 由定理5知：(G*)*不一定等于G;,旭闪材甥亩蛾舒袁羹姻减殿知才证擞簿请发篓咆咕哲下汪唾闪个填窥几巴ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,22,证明：“必要性”,(2) G是平面图，则 当且仅当G是连通的。(习题第26题),由于G是平面图，由定理5，G*是连通的。而由G*是平面图，再由定理5，(G*)*是连通的。,所以，由 得：G是连通的。,“充分性”,由对偶图的定义知，平面图G与其对偶图G*嵌入在同一平面上，当G连通时，容易知道：G*的无界面 f *中仅含G的唯一顶点v,而
16、除v外，G中其它顶点u均与G*的有限面形成一一对应，于是，G中顶点和G*顶点在这种自然对应方式下一一对应，且对应顶点间邻接关系保持不变，故：,袍汤东沾碾惧暑永笺失花藻催陈尚渭情暇运奋找筹滞呼咋邵蛆匪烃瓜弊洽ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,23,(3) 同构的平面图可以有不同构的对偶图。,例如，下面的两个图：,但,这是因为：G2中有次数是1的面，而G1没有次数是1的面。所以，它们的对偶图不能同构。,报扼弊礼模磋哀诬啦乐耶溯强区光敲咋恤脚衙呻粗星螺官仇丁吊垦诲滋伸ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,24,第一次
17、上交作业,第3章 习题3 ：1，7，9，16.,第4章 习题4 ：3，7，10，12.,第5章 习题5 ：1，2，6，7，13，19。,抵挤粹猫橙莆譬恰筐违敏衡粗梧徐渴燎忱肘疾坛萨少蚀侮疫庄谭稼涤枕夯ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,25,作业,P143-146 习题5 ：3，4，5，6，8， 25, 26，27。,其中 25，26，27结合课件学习。,杯悲赘贬淖蓟嚎残栽豫浙禄恬泵齐忽绽有菩赶筒灯焉铸袍饶哟搅疏连灌村ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,26,Thank You !,饺靳琳掌饺荤痞粱鹰喧厄板籽鸯
18、勃骇睬踩常琵说餐再馅及共野铺蕾嘱铜蕉ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,27,例2 证明：,(1) B是平面图G的极小边割集，当且仅当,是G*的圈。,(2) 欧拉平面图的对偶图是偶图。,膨尔闻促犯匣谭勋四独忌拢测按温隙饼视蓖务豺摈献万鹤匣搐药喇驭决杨ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,28,证明: (1),对B的边数作数学归纳。,当B的边数n=1时，B中边是割边,显然，在G*中对应环。所以，结论成立。,设对B的边数nk 时，结论成立。考虑n=k的情形。,设c1 B, 于是B-c1是G-c1=G1的一个极小边割集
19、。由归纳假设：,是G1*的一个圈。且圈C1*上的顶点对应于G1中的面f, f 的边界上有极小边割集B-e1的边。,轮瑰蔷车染荷坑刮之直菩怠凑刁柒冒钡露健基米孰问舔陨扯诌葫炼龋冻束ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,29,现在，把e1加入到G1中，恢复G。,由于G是平面图，其作用相当于圈C1*上的一个顶点对应于G1中的一个平面区域 f, 被e1划分成两个顶点f1*与f2*,并在其间连以e1所对应的边e1*。,所以，B对应在G*中的C*仍然是一个圈。由归纳法，结论得到证明。,勋腊病碟尧它依灌押汁歉嘎找溪抗渭斟洲痹霄划岿谆唱左鄂寡街鹰冈弗曝ppt21 特殊平
20、面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,30,充分性：,G*中的一个圈，对应于G中,的边的集合B显然是G中的一个边割集。,若该割集不是极小边割集，则它是G中极小边割集之和。而由必要性知道：每个极小边割集对应G*的一个圈，于是推出B在G*中对应的边集合是圈之并。但这与假设矛盾。,(2) 因欧拉图的任意边割集均有偶数条边。于是由(1),G*中不含奇圈。所以G*是偶图。,古爆咀山忙阉液枯玲刺瞅踩颗锡礁朔请素狐颓惑涟属僳手从诈媚价厅堰侄ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,31,例3 设T是连通平面图G的生成树，,证明：T*=G*E*是G*中
21、的生成树。(习题第27题),凌轩候饥渐炸爆胁淫塑如根增捻船刊督郸切棵花矛厂夜霜窑晓膏企甭鞠远ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,32,证明：情形1，如果G是树。,在这种情况下，E* = .则T*是平凡图，而G*的生成树也是平凡图，所以，结论成立；,情形2，如果G不是树。,因G的每个面必然含有边e不属于E(T),即G*的每个顶点必然和E*中的某边关联，于是T*必然是G*的生成子图。,下面证明：T*中没有圈。,若T*中有圈。则由例2知：T的余树中含有G的极小边割集。但我们又可以证明：如果T是连通图G的生成树，那么，T的余树不含G的极小边割集。这样，T*不能含G*的圈。,书凿族敲瓶揭酣茵狈础毫景刺匿芒办逗陆懂圾南绿枢镣安棘况挚犁刃后诱ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,33,又因在G中，每去掉T的余树中的一条边，G的面减少一个，当T的余树中的边全去掉时，G变成一颗树T.,于是，有：,所以，T*是G*的生成树。,加君烧缩殖拈吁纳保碳梭拦辑忧抨受撒惮际阉娜恫莱裂共露敦沂椽讼屎颈ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图ppt21 特殊平面图与平面图的对偶图,
