1、由牛顿 莱布尼兹公式知 计算定积分 因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以不引入新变量 故用凑微分法计算定积分时 也应自始至终不改变积分限 下面举例说明 6 4定积分的计算方法 第五章知求函数的原函数 即不定积分 的方法有凑微分法 换元法和分部积分法 因而在一定条件下 也可用这几种方法来计算定积分 的关键在于求出 x 在 a b 上的一个原函数F x 而由 一 凑微分法 2 例10计算 1 在 上单调连续且具有连续导数 2 a b 则 定理8若 x 在 a b 上连续 而x t 又满足 证设F x 是 x 的一个原函数 定积分的换元公式 二 换元积分法 3 求出 在应用换元公式计算定积分时 应
2、注意以下几个问题 1 所选择的代换式x t 必须满足定理中的两个条件 2 换元积分的关键是换限 记住 上限对上限 下限对下限 不必象求不定积分那样把 t 还原成x的函数 而只须直接将t的上 下限代入相减即可 后 例11当a 0时 计算 注1由几何意义知 此定积分 即为圆 在第 象限的面积 性质1设 x 在 a a 上连续 则 证 1 若为 x 偶函数 则有 x x 令x t 则dx dt 且 从而 2 若为 x 奇函数 则有 x x 令x t 则dx dt 且 从而 注2利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算 例12计算 解 1 被积函数为奇函数 则原式 0 令x tanu 则 2 被积函数为偶函数 故 例13 设 解设x t 1 则t x 1 dx dt 2004研考题 性质2设 x 在 0 1 上连续 则 证因d uv udv vdu 两边积分得 注3 注4用分部积分法计算定积分 因没有引入新的变量 故在计算过程中自始至终均不变限 u v的选择与不定积分的分部积分法相同 定理9若u u x 及v v x 在 a b 上有连续导数 则 三 分部积分法 14 例14计算 例15设在 0 1 上连续 求 解 例16 找不到原函数
