1、过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线 ,过焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则弦|AB|的最)0(2pxy小值。解法一：当斜率 k 存在时,设直线 AB 为 y=k(x- )2p得 pxy2)( 04)(22 kxkx即： ， 过焦点弦|AB|=421 p21由题意可知 ,0,21x2121x由于积是定值，当且仅当 时即为 时能取等号,所以当斜率 k 不存在,此时这条直线就垂直于 x 轴，过焦点的弦|AB| 最小即通径最小。最小值为 2p.解法二：设直线的倾斜角为 ，斜率存在时,则直线为 y= tan (x- )2p得 pxy2)(tan 0tan4)2tan(tan2 xpx代入 过
2、焦点弦|AB|=221tanx 21=2p(1+ )2tan= sip当 sin =1 时，|AB| 有最小值即 2p,此时斜率不存在,倾斜角 ，即线段 AB 为通径。2 2评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。这是两种不同方法来分析最值问题的。这种方法是建立函数关系式来求最值问题。在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。 （如解法一型） ，二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。
