1、第六章线性系统的校正方法 6 1系统的设计与校正问题6 2常用的校正装置及其特性6 3串联校正6 4反馈校正6 5复合校正 前面几章讨论了控制系统几种基本方法 掌握了这些基本方法 就可以对控制系统进行定性分析和定量计算 本章讨论另一命题 即如何根据系统预先给定的性能指标 去设计一个能满足性能要求的控制系统 一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成 当被控对象确定后 对系统的设计实际上归结为对控制器的设计 这项工作称为对控制系统的校正 所谓校正 就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置 使系统整个特性发生变化 从而满足给定的各项性能指标 工程实践中常用的校正方法 串联校正
2、 反馈校正和复合校正 控制系统的性能指标 时域指标 稳态型别 静态误差系数 动态超调 调整时间 频域指标 开环频率 闭环带宽 谐振峰值 谐振频率 增益 穿越频率 幅值裕度和相位裕度 6 1系统的设计与校正问题 二阶系统频域指标与时域指标的关系 谐振频率 带宽频率 截止频率 相位裕度 谐振峰值 超调量 调节时间 谐振峰值 超调量 调节时间 高阶系统频域指标与时域指标 系统带宽的选择 如果输入信号的带宽为 则 选择要求 能准确复现输入信号 要求系统具有较大带宽 又能拟制噪声扰动信号 要求系统带宽不能过大 噪声 输入信号 校正方式 1 串联校正 接在系统误差测量点之后和放大器之前 串接于系统前向通道
3、中 2 反馈校正 接在系统局部反馈通路中 校正装置 3 前馈校正 系统主反馈回路之外采用的校正 4 复合校正 在反馈控制回路中加入前馈校正通路 串联校正 校正装置 反馈校正 对扰动的补偿 对给定值处理 前馈校正 复合校正 按输入补偿的复合控制系统 基本控制规律 1 比例 P 控制规律 P控制器 PD控制器 2 比例 微分 PD 控制规律 提高系统开环增益 减小系统稳态误差 但会降低系统的相对稳定性 PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势 产生有效的早期修正信号 以增加系统的阻尼程度 从而改善系统的稳定性 在串联校正时 可使系统增加一个开环零点 使系统的相角裕度提高 因此有助于系统
4、动态性能的改善 3 积分 I 控制规律 I控制器 在串联校正中 采用I控制器可以提高系统的型别 无差度 有利提高系统稳态性能 但积分控制增加了一个位于原点的开环极点 使信号产生了相角滞后 于系统的稳定不利 不宜采用 PI控制器 增加一个开环极点 提高型别 减小稳态误差 增加一个左半平面的开环零点 提高系统的阻尼程度 缓和PI极点对系统产生的不利影响 只要积分时间常数足够大 PI控制器对系统的不利影响可大为减小 PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能 4 比例 积分 PI 控制规律 5 比例 PID 控制规律 PID控制器 1 增加一个极点 提高型别 稳态性能 2 两个负实零点 动态性能比PI
5、更具优越性 3 I积分发生在低频段 稳态性能 提高 D微分发生在高频段 动态性能 改善 6 2常用校正装置及其特性 分类 1 无源校正网络 有源校正网络 2 超前校正 滞后校正 滞后超前校正 1 无源超前校正 无源超前网络 时间常数 分度系数 注 采用无源超前网络进行串联校正时 整个系统的开环增益要下降倍 a 假设该网络信号源的阻抗很小 可以忽略不计 而输出负载的阻抗为无穷大 则其传递函数为 b 超前网络的零极点分布 由于故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右 两者之间的距离由常数决定 可知改变和T 即电路的参数 的数值 超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动 c 频域特性 超前网络对频
6、率在之间的输入信号有明显的微分作用 在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前 超前网络的名称由此而得 20dB dec 具有最大超前角 对求导并令其为零 求得 最大超前角频率 正好处于频率与的几何中心 20dB dec 频率特性 a不能取得太大 为了保证较高的信噪比 a一般不超过20 这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于 如果需要大于 则要在两个超前网络相串联来实现 并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器 以消除它们之间的负载效应 最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线 dB o a 2 无源滞后网络 如果信号源的内部阻抗为零 负载阻抗为无穷大 则滞后网络的传递函数为 时间
7、常数 分度系数 无源滞后网络 无源滞后网络特性 20dB dec a 滞后网络在 时 对信号没有衰减作用 时 对信号有积分作用 呈滞后特性 时 对信号衰减作用为 b越小这种衰减作用越强 b 同超前网络 最大滞后角 发生在几何中心 称为最大滞后角频率 计算公式为 c 采用无源滞后网络进行串联校正时 主要利用其高频幅值衰减的特性 以降低系统的开环截止频率 提高系统的相角裕度 在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率附近 选择滞后网络参数时 通常使网络的交接频率远小于一般取 此时 滞后网络在处产生的相角滞后按下式确定 将代入 滞后网络提高系统的相角裕度 b与和20lgb的关系 b 0 0
8、1 0 1 1 20lgb dB 3 无源滞后 超前网络 无源滞后 超前网络 传递函数为 无源滞后 超前网络频率特性 求相角为零时的角频率 当的频段 校正网络具有相位滞后特性 当的频段 校正网络具有相位超前特性 有源校正网络实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正 但在放大器级间接入无源校正网络后 由于负载效应问题 有时难以实现希望的规律 此外 复杂网络的设计和调整也不方便 因此 需要采用有源校正装置 频率法对系统进行校正的基本思路是 通过所加校正装置 改变系统开环频率特性的形状 即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点 1 低频段的增益满足稳态精度的要求 2 中频段的幅频特性的斜率为 2
9、0dB dec 并具有较宽的频带 这一要求是为了系统具有满意的动态性能 3 高频段要求幅值迅速衰减 以较少噪声的影响 6 3串联校正 串联超前校正 基于频率响应法 用频率法对系统进行超前校正的基本原理 是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕度 以达到改善系统瞬态响应的目点 为此 要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率 剪切频率 处 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为 1 根据稳态误差的要求 确定开环增益K 2 根据所确定的开环增益K 画出未校正系统的波特图 并计算未校正系统的相角裕量 3 根据截止频率的要求 计算超前网络参数a和T 关键是选择最大超前角频率等
10、于要求的系统截止频率 即以保证系统的响应速度 并充分利用网络的相角超前特性 显然 成立的条件是 由上式可求出 4 验证已校系统的相角裕度 是用于补偿因超前校正装置的引入 使系统截止频率增大而增加的相角滞后量 它的值通常是这样估计的 如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为 40dB dec 一般取如果为 60dB dec则取 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为 1 根据稳态误差的要求 确定开环增益K 2 确定开环增益K后 画出未校正系统的波特图 计算未校正系统的相角裕度3 由给定的相位裕量值 计算超前校正装置提供的相位超前量 4 根据所确定的最大相位超前角 算出a的值
11、 5 计算校正装置在处的幅值10lga由未校正系统的对数幅频特性曲线 求得其幅值为 10lga处的频率 7 画出校正后系统的波特土 并演算相位裕度时候满足要求 如果不满足 则需增大值 从第3步开始重新进行计算 该频率就是校正后系统的开环截止频率 即 6 确定校正网络的转折频率 例 1设一单位反馈系统的开环传递函数为试设计以超前校正装置 使校正后系统的静态速度误差系数 相位裕度 增益裕量不小于10dB 2 绘制未校正系统的伯特图 由该图可知未校正系统的相位裕量为 也可通过计算获得 解 1 根据对静态速度误差系数的要求 确定系统的开环增益K 当时 未校正系统的开环频率特性为 未校正系统伯特图 截止
12、频率 0dB 4 3 根据相位裕量的要求确定超前校正网络的相位超前角 5 超前校正装置在处的幅值为据此 在为校正系统的开环对数幅值为对应的频率 即校正后系统的截止频率 也可计算 6 计算超前校正网络的转折频率 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减 必须使附加放大器的放大倍数为a 4 2 校正后系统的截止频率 对应的伯特图中红线所示 由该图可见 校正后系统的相位裕量为 增益裕量 均已满足系统设计要求 校正后系统的框图如图所示 其开环传递函数为 校正后系统框图 基于上述分析 可知串联超前校正有如下特点 这种校正主要对未校正系统中频段进行校正 使校正后中频段幅值的斜率为 20dB d
13、ec 且有足够大的相位裕量 超前校正会使系统瞬态响应的速度变快 由例6 1知 校正后系统的截止频率由未校正前的6 3增大到9 这表明校正后 系统的频带变宽 瞬态响应速度变快 但系统抗高频噪声的能力变差 对此 在校正装置设计时必须注意 超前校正一般虽能较有效地改善动态性能 但未校正系统的相频特性在截止频率附近急剧下降时 若用单级超前校正网络去校正 收效不大 因为校正后系统的截至频率向高频段移动 在新的截止频率处 由于未校正系统的相角滞后量过大 因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性 因而当它与系统的不可变部分串联相连时 会使系统开环频率特性的中频和高
14、频段增益降低和截止频率减小 从而有可能使系统获得足够大的相位裕度 它不影响频率特性的低频段 由此可见 滞后校正在一定的条件下 也能使系统同时满足动态和静态的要求 不难看出 滞后校正的不足之处是 校正后系统的截止频率会减小 瞬态响应的速度要变慢 在截止频率处 滞后校正网络会产生一定的相角滞后量 为了使这个滞后角尽可能地小 理论上总希望两个转折频率越小越好 但考虑物理实现上的可行性 一般取为宜 1 在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下 可考虑采用串联滞后校正 2 保持原有的已满足要求的动态性能不变 而用以提高系统的开环增益 减小系统的稳态误差 串联滞后校正 基于频率响应法 如果
15、所研究的系统为单位反馈最小相位系统 则应用频率法设计串联滞后校正网络的步骤如下 确定开环增益K 稳态误差的要求 画出未校正系统的波特图 并求 伯特图上绘制 曲线 已校正系统的截止频率 根据 要求 确定滞后网络参数b和T 结束 验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度 例6 2设控制系统如图所示 若要求校正后的静态速度误差系数等于30 s 相角裕度40度 幅值裕度不小于10dB 截止频率不小于2 3rad s 试设计串联校正装置 解 1 首先确定开环增益K 2 未校正系统开环传递函数应取 画出未校正系统的对数幅频渐近特性曲线 如图6 19所示 由图可得 也可算出 说明未校正系统不稳定 且截止频率远大于
16、要求值 在这种情况下 采用串联超前校正是无效的 可以证明 当 而且截止频率也向右移动 考虑到 本例题对系统截止频率值要求不大 故选用串联滞后校正 可以满足需要的性能指标 3 计算 可满足要求 由于指标要求 故值可在范围内任取 考虑到 取值较大时 已校正系统响应速度较快 滞后网络时间常数T值较小 便于实现 故选取 然后 在图上查出 也可计算 则滞后网络的传递函数 由的曲线 玫瑰红色 可查得当时 4 计算滞后网络参数 5 验算指标 相位裕度和幅值裕度 未校正前的相位穿越频率 校正后的相位穿越频率 幅值裕度 满足要求 串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点 1 超前校正是利用超前网络的相角超
17、前特性对系统进行校正 而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性 2 用频率法进行超前校正 旨在提高开环对数幅频渐进线在截止频率处的斜率 40dB dec提高到 20dB dec 和相位裕度 并增大系统的频带宽度 频带的变宽意味着校正后的系统响应变快 调整时间缩短 3 对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统 因此 如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应 则采用超前校正 当噪声电平较高时 显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差 对于这种情况 宜对系统采用滞后校正 4 超前校正需要增加一个附加的放大器 以补偿超前校正网络对系统增益的衰减 5 滞后校正虽然能改善系统的
18、静态精度 但它促使系统的频带变窄 瞬态响应速度变慢 如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应 又有高的静态精度 则应采用滞后 超前校正 注 有些应用方面 采用滞后校正可能得出时间常数大到不能实现的结果 串联滞后 超前校正 这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点 即已校正系统响应速度快 超调量小 抑制高频噪声的性能也较好 当未校正系统不稳定 且对校正后的系统的动态和静态性能 响应速度 相位裕度和稳态误差 均有较高要求时 显然 仅采用上述超前校正或滞后校正 均难以达到预期的校正效果 此时宜采用串联滞后 超前校正 串联滞后 超前校正 实质上综合应用了滞后和超前校正各自的特点 即利用校正装置的超前部分
19、来增大系统的相位裕度 以改善其动态性能 利用它的滞后部分来改善系统的静态性能 两者分工明确 相辅相成 串联滞后 超前校正的设计步骤如下 1 根据稳态性能要求 确定开环增益K 2 绘制未校正系统的对数幅频特性 求出未校正系统的截止频率 相位裕度及幅值裕度等 3 在未校正系统对数幅频特性上 选择斜率从 20dB dec变为 40dB dec的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率 这种选法可以降低已校正系统的阶次 且可保证中频区斜率为 20dB dec 并占据较宽的频带 4 根据响应速度要求 选择系统的截止频率和校正网络的衰减因子 要保证已校正系统截止频率为所选的下列等式应成立 求出a值 可由未校
20、正系统对数幅频特性的 20dB dec延长线在处的数值确定 未校正系统的幅值量 滞后超前网络超前部分在处贡献的幅值 滞后 超前网络贡献的幅值衰减的最大值 5 根据相角裕度要求 估算校正网络滞后部分的转折频率6 校验已校正系统开环系统的各项性能指标 表明未校正系统不稳定 例6 3未校正系统开环传递函数为 设计校正装置 使系统满足下列性能指标 1 在最大指令速度为时 位置滞后误差不超过2 相位裕度为3 幅值裕度不低于10dB4 过渡过程调节时间不超过3s 解 1 确定开环增益2 作为校正系统对数幅频特性渐近曲线 如图所示 由图得未校正系统截止频率 20dB dec 40dB dec 60dB de
21、c 2 6 a 如果采用串联超前校正 要将未校正系统的相位裕度 至少选用两级串联超前网络 显然 校正后系统的截止频率将过大 可能超过25rad s 利用 还有几个原因 伺服电机出现饱和 这是因为超前校正系统要求伺服机构输出的变化速率超过了伺服电机的最大输出转速 于是 0 38s的调节时间将变得毫无意义 系统带宽过大 造成输出噪声电平过高 需要附加前置放大器 从而使系统结构复杂化 3 为何要采用滞后超前校正 这比要求的指标提高了近10倍 b 如果采用串联滞后校正 可以使系统的相角裕度提高到左右 但是对于该例题要求的高性能系统 会产生严重的缺点 滞后网络时间常数太大 响应速度指标不满足 由于滞后校
22、正极大地减小了系统的截止频率 使得系统的响应迟缓 4 设计滞后超前校正上述分析表明 纯超前校正和纯滞后校正都不宜采用 研究图可以发现 步骤3的要求 即 20dB dec变为 40dB dec的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率 无法实现 20dB dec 40dB dec 60dB dec 2 6 考虑到中频区斜率为 20dB dec 故应在范围内选取 由于 20dB dec的中频区应占据一定宽度 故选相应的 从图上得到 亦可计算 20dB dec 40dB dec 60dB dec 2 6 3 5 由 此时 滞后 超前校正网络的传递函数可写为 5 根据相角裕度要求 估算校正网络滞后部分的
23、转折频率 6 验算精度指标 满足要求 20dB dec 40dB dec 60dB dec 2 6 3 5 反馈校正原理与特点 若系统主要动态范围内成立 前向通道传递函数 6 4反馈校正 这表明反馈校正特性与未校正系统的特性是一样的 为此 适当选择反馈校正装置的结构和参数可以达到使校正后的系统具有所期望的频率特性 反馈校正的特点 1 削弱反馈回路内的非线性的影响 2 减少系统的时间常数 3 降低系统对参数变化的灵敏度 4 抑制系统噪声 采用位置反馈 内反馈回路的传递函数 假设 如果代表伺服电机的传递函数 采用测速发电机与分压器组成的测速反馈 内回路传递函数 当参数发生变化 增益变化前 变化后的
24、增量 相对增量 一种典型反馈校正 测速 相角超前网络反馈校正 单纯的速度 微分 反馈校正存在降低系统增益的问题改进的方法 速度 微分 反馈 超前校正网络 可以提高系统响应速度 又不会降低系统增益 要求校正后系统 并具有一定的抑制噪声的能力 试确定测速反馈系数和超前校正网络时间常数 例6 4未校正系统的参数 解 已校正系统开环传递函数 特点 1 校正后系统的开环增益不变 2 在参数选择时 若保证 考察 保持增益不变 时间常数减少的微分反馈部分 相当于串联迟后校正部分 用分析法选择反馈校正装置的参数 设的不同的值 选出满足相角裕度和截止频率指标要求的值 再计算测速反馈系数和超前网络时间常数 最后选
25、择适当的测速发电机和超前网络 1 绘制未校正系统对数幅频特性 确定系统的截止频率和相角裕度 相角裕度偏小 相对稳定性较差 噪声电压较高 2 选择测速校正参数 提高系统的相角裕度 令 在不计等效串联迟后网络校正 截止频率太高 使得抑制噪声能力下降 3 加入等效串联迟后校正 选择时间常数 校正后系统 4 选择测速发电机与无源超前网络 测速发电机的参数 设反馈校正控制系统结构如图所示 未校正系统开环传递函数 校正后开环传递函数 综合法反馈校正 1 上式表明 未校正系统开环对数幅频频率曲线减去期望开环对数幅频曲线 可得反馈回路的开环对数幅频曲线 由于已知 为此 只要的对数幅频曲线减去的对数幅频曲线 则
26、可得到 2 2 要求内回路稳定 注 1 在上述的校正频段内 设计步骤 1 按稳态性能指标要求 绘制未校正系统的开环对数幅频特性 2 由给定性能指标要求 绘制期望开环对数幅频特性 3 求内回路的开环传递函数 4 检验内回路的稳定性 校验期望开环截止频率附近下列条件 5 由求 6 检验校正后系统的性能指标 7 考虑的工程实现 例6 5设系统结构图 假设在6000以内可调 1 静态速度误差系数 2 单位阶跃输入下的超调量 3 单位阶跃输入下的调节时间 解 1 绘制未校正系统对数幅频曲线 谐振峰值 超调量 调节时间 2 期望对数幅频特性 取过零分贝线 截止频率选为13 rad s 低频段 高频段 与原
27、系统的高频段特性重合 3 求局部反馈回路的 为使简单 4 检验小闭环的稳定性 因此 小闭环稳定 另外 满足 6 验算 5 求反馈校正装置的传递函数 复合控制校正 前馈控制 反馈控制 考虑扰动作用 6 5复合校正 1 按扰动补偿的复合校正 误差全补偿条件 误差全补偿条件在物理一般无法精确实现 实际通常在主要影响频段内采用近似全补偿 或者采用稳态全补偿 前馈补偿是采用开环控制方式来补偿可量测的扰动信号 为此 前馈补偿不会影响系统反馈控制的特性 设计举例 解 令 由于物理实现的困难 修改补偿器传递函数 若取 在稳态是系统输出不受扰动的影响 这就是稳态全补偿 注 前馈控制的作用是补偿扰动信号对系统输出
28、的影响 提高系统控制的准确性 采用前馈控制 1 扰动信号可量测 2 补偿装置物理可实现 并力求简单 一般采用近似全补偿或稳态全补偿 3 主要扰动引起的误差由前馈控制补偿 次要扰动引起的误差由反馈控制抑制 4 前馈控制是开环控制 要求前馈补偿器的参数稳定 2 按输入补偿的复合校正 输入补偿结构 a 显然 实质是 对输入信号的误差全补偿 这种全补偿的物理实现非常困难 关键是 一般的对象传递函数均为n m 而完全补偿器则要求 分母的阶次 分子的阶次 实际上是采用满足精度的部分补偿 或者在主要频段内的近似补偿 输入补偿结构 b 等效闭环传递函数 等效误差传递函数 显然 总结复合控制实现了误差全补偿 实际上 只能采用部分补偿 将误差减小到允许的范围内 复合控制的一个重要特征 无前馈控制的反馈控制系统的特征方程 与有前馈控制的反馈控制系统的特征方程是相同的 复合校正控制系统比较好地解决了提高控制系统精度和确保系统稳定性之间存在的矛盾 例6 6设复合校正随动系统如图所示 选择前馈补偿方案和参数 使复合控制系统等效为II型和III型系统 解 前馈补偿方案及其参数选择 1 等效II型系统 若取 若取 结果表明 复合控制系统等效为II型系统 实质上这是一种部分补偿 2 等效III型系统 若取 若取 则有 这是满足了全补偿条件 但实际难以工程实现 3 选择 若取 复合控制系统等效为III型系统
