1、6 2 1配方法 6 2化二次型为标准形 例6 2 1试用配方法将二次型 化为标准形 并写出所用可逆线性变换 解这个二次型含有变量x的平方项 可先将二次型中含x的所有项放在一起配成一个完全平方项 然后再对y z进行配方 取 即 则通过可逆线性变换 把二次型f化为标准形 二次型f所对应的矩阵 所做可逆线性变换所对应的矩阵为 容易验证 例6 2 2试用配方法将二次型 化为标准形 解在这里遇到一个特殊情形 即f中不含平方项 而没有平方项就无法直接应用例6 2 1的配方法 我们可以利用一个特别的线性变换先构造出一些平方项来 令 6 2 1 写成矩阵式为 即X CY 易见C是可逆阵 从而 6 2 1 可
2、逆线性变换 对f作此替换后得 现在可以进行配方 再令 6 2 2 得 即f经过变元的线性变换化成了关于变元z1 z2 z3的标准形 与 6 2 2 式相应的矩阵式为 这样由 6 2 1 6 2 2 式得到总的线性变换为 即Z BY 6 2 3 即f经过可逆线性变换 6 2 3 化成了标准形 其中 记 为f对应的矩阵 则 定理6 2 1数域P上任意一个二次型f都可由可逆线性变换化为标准形式 证我们对变元的个数n作归纳法 当n 1时 二次型为 这已经 是标准形式了 设对于n 1个变元的二次型定理成立 取n元二次型 以下分三种情形进行讨论 1 aii i 1 2 n 中至少有一个不为0 例如a11
3、0 这时可直接施行配方 其中 是一个关于变元x2 x3 xn的二次型 作可逆线性变换 或 由归纳法假定 其中 得 可由可逆 线性变换化为平方和形式 再令y1 z1 则f化成了标准形 2 aii i 1 2 n 全为零 但至少有一个a1j 0 j 1 不妨设a12 0 令 则 这样 的系数不为零 化成了第 1 种情况 故而可化为标准形 3 a11 a12 a1n 0 此时由于系数的对称性必有a21 a31 an1 0 从而f 已是n 1元的二次型 由归纳 假设它可化为标准形 证毕 根据 6 1对二次型矩阵合同关系的讨论 由定理6 2 1立即可得 推论数域P上任意一个对称矩阵都必合同于一个对角形矩
4、阵 即对任意对称矩阵A 必存在可逆矩阵C 使CTAC成对角形矩阵 6 2 3正交替换法 旧瓶装新酒 重温经典时刻 对于n阶实对称矩阵A 必有n阶正交矩阵Q使 为对角形 其中Q的列向量是A的n个正交的单位特征向量 1 2 n是A的全部实特征值 乔迁之喜 Q为正交阵时 QT Q 1 QTAQ Q 1AQ 从而实对称矩阵的正交合同变换与正交相似变换完全是一回事 把第五章5 3 3中实对称矩阵相似对角化的方法完全照搬过来 就是实对称矩阵的正交合同对角化方法 I E 定理6 2 3设f XTAX是实数域R上的二次型 则必有可逆线性变换X QY使f YT QTAQ Y为标准形 其中的Q是正交矩阵 标准形中
5、平方项的系数是A的全部实特征值 当Q为正交阵时 称线性变换X QY为正交线性变换 合同变换QTAQ称为正交合同变换 诠释学 实二次型必可经正交线性变换化为标准形 而实对称矩阵必可由正交合同变换化为对角形 正交线性变换之用 在n维实向量空间中 正交线性变换保持向量的长度和向量间的夹角不变 若一个二次曲面f x1 x2 x3 0的左边是实二次型 则经过正交线性变换后所得曲面保持原曲面的大小 形状都不变 仅仅是在空间的位置变化了 如经过某种旋转 而一般的可逆线性变换则可能使曲面的大小 形状都产生变化 例6 2 4设实二次型 用正交线性变换化为标准形 解f对应的实对称矩阵为 由A的特征多项式 可得A的特征值 1 1 2 2 其中 1是重根 当 1 1时 解线性方程 E A X 0 求得基础解系 再单位化 得 先把 1 2正交化 将其单位化得 当 2 2时 解方程组 2E A X 0 求得基础解系 令 则Q为正交阵 且 即A经正交合同变换化成了对角形 相应地f经正交线性变换X QY化成标准形
