1、1,1.9 无穷小量的比较与等价代换,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,2,定义,3,例1,求极限,解,即,即,4,例2,求极限,解,令,则,即,例3,求极限,解,令,则,即,5,常用等价无穷小,6,定理1(等价无穷小替换定理),证,7,利用等价无穷小求极限是一种重要的求极限方法.对于商的极限,整个分子、整个分母或分子、分母乘积的因子可用等价无穷小代换.,例4,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,8,例5,解,解,错,9,解,10,1.10 函数的连续性,一、连续函数的概念,二、函数的间断点,三、连续函数的性质,四、
2、闭区间上连续函数的性质,11,一、连续函数的概念,1.变量的增量（改变量）,12,2.连续的定义,13,14,例1,证,由定义2知,15,3.左右连续,定理1,16,例2,解,右连续但不左连续 ,17,右连续且左连续 ,18,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,19,例4,证,20,例5,解,21,二、函数的间断点,22,23,(1)跳跃间断点,例6,解,24,(2)可去间断点,例7,25,解,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定 义, 则可使其变为连续点.,如例7中 ,2
3、6,第二类间断点,例8,解,27,例9,解,28,三、连续函数的性质,1、连续函数四则运算及绝对值运算,例如,2、复合函数的连续性,29,例如,3、反函数函数的连续性,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,30,4、初等函数的连续性,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,说明（1）定义区间是指包含在定义域内的区间.,（2）初等函数求极限的方法代入法.,例10,例11,解,解,31,例12 讨论函数,当,为何值时，在其定义域内连续？,解,函数在,内连续，,因此，只要,点连续，在其定义域内就连续.,函数在,32,由,即,所以，当,得,时，函数在定义域
4、内连续.,33,四、闭区间上连续函数的性质,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,例如,34,定理3(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,35,36,几何解释:,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,37,几何解释,38,例13,证,由零点定理,例14 证明：方程 其中 ，至少有一个正根，并且它不超过 。,证明,为一连续函数，,39,由连续函数的介值定理知，至少有一个,就是方程方程的一个正根;,恰好是方程方程的一个正根，,因此，方程 其中 ， 至少有一个正根，并且它不超过,
