1、第三节 高阶导数,第二章,三、一些常见函数的高阶导数公式,二、高阶导数的定义,一、基本求导法则与导数公式复习,四、高阶导数的运算法则,（ Derivative of Higher Order ）,五、本章小结与思考题,一、基本求导法则与导数公式复习,1. 常数和基本初等函数的导数,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,( C为常数 ),3. 反函数的求导法则,单调可导,则,4. 复合函数求导法则,5. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,求,解:,例1,（习题22 7（9）,例2,（补充题）,（解答见下页）,求,解:,例2 设,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例
2、3,二、高阶导数的定义（Definition of Higher Derivatives）,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,定义,导出,解：,同样可求,4. 试从,（习题23 4）,三、一些常见函数的高阶导数的求法,例1 设 求,解：,1. 直接法,求高阶导数就是多次接连地求导数.,例2 求 的n 阶导数.,解：,解,2. 数学归纳法证明高阶导数,例3 设 求,求,解:,一般地 ,类似可证:,例4 设,例5 设 求,
3、解,若 为自然数 ，则,解:,例6 设,（补充题）,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),四、高阶导数的运算法则,莱布尼兹(Leibniz) 公式,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,例7,内容小结,1. 复习基本求导法则与导数公式,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,2. 高阶导数的求法,如,(4) 利用莱布尼兹公式,课后练习,习 题 2-3 1（2）（6）；3；6（4）,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,（2）,提示:,解:,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,2. 设,则,提示:,各项均含因子 ( x 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,3. （填空题）（1） 设,导出,解：,同样可求,4. 试从,（习题23 4）,考研真题,（2000. II）求函数,在x0处的n阶,导数,提示：,利用莱布尼兹公式,
