1、第五章线性系统的频域分析 频率特性法是分析线性系统的工程实用方法 频率响应 系统对正弦输入信号的稳态响应 频率特性 系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系 系统的频率特性反映系统的稳态性能 稳定性 暂态性能 用频域法分析线性系统的优点 可方便 直观地分析多个参数变化对系统性能的影响 并能大致指出改善系统性能的途径 可用实验方法确定稳定系统的频率特性 5 1频率特性的概念 一 实例 电路的传递函数为 设输入 其拉氏变换为 则输出U2的拉氏变换为 求拉氏反变换 得 暂态分量 稳态分量 电路的频率响应为 电路的频率特性为 式中 幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减 或放大 特性 频率特性的特
2、点 相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移 已知系统的传递函数 令s j 可得系统的频率特性 频率特性包含了系统的全部动态结构参数 反映了系统的内在性质 讨论线性定常系统 包括开环 闭环系统 在正弦输入信号作用下的稳态输出 设图示的线性定常系统的传递函数为 二 频率特性的定义 其输入信号为 则输入信号的拉氏变换是 系统的传递函数通常可以写成 则输出信号的拉氏变换为 对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为 对稳定系统 s1 s2 sn都具有负实部 当时间t趋于无穷大时 上式的暂态分量将衰减至零 因此系统的稳态响应为 待定的系数可按下式计算 G j 是一个复数 用模和幅角可表示为 G j
3、同样可以表示为 将以上参数代入稳态响应表达式有 线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号 输出信号的振幅是输入信号振幅的 G j 倍 输出信号相对输入信号的相移为 G j 输出信号的振幅及相移都是角频率 的函数 结论 G j G j ej G j 被称为系统的频率特性 它反映了在正弦输入信号作用下 系统的稳态响应与输入正弦信号的关系 称为系统的幅频特性 它反映系统在不同频率正弦信号作用下 输出稳态幅值与输入信号幅值的比值 即系统的放大 或衰减 特性 称为系统的相频特性 它反映系统在不同频率正弦信号的作用下 输出信号相对输入信号的相移 系统的幅频特性和相频特性统称
4、为系统的频率特性 系统频率特性的获取方式 一 解析法当已知系统的传递函数时 用s j 代入传递函数可得到系统的频率特性G j 因此 频率特性是s j 特定情况下的传递函数 它和传递函数一样 反映了系统的内在联系 这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的解析法 二 实验法当系统已经建立 尚不知道其内部结构或传递函数时 在系统的输入端输入一正弦信号X t Xsin t 测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移 便可得到它的幅频特性X Y和相频特性 这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法 例 某单位反馈控制系统的开环传递函数为G s H s 1 s 1 试求输入信号r t
5、 2sin2t时系统的稳态输出y t 解 系统的频率特性 2时 则系统稳态输出为 y t 0 35 2sin 2t 45o 0 7sin 2t 45o 5 2开环系统频率特性的图形表示 一 幅相频率特性曲线 G j 为一复数 任取一个 在复平面上就有一个点与之对应 当 从0 变化时 在复平面上将得到一条曲线 即幅相频率特性曲线 也称之为奈奎斯特图 一个复数是由其模和相角构成的 而极坐标也是由幅值和相角组成的 所以幅相曲线又称之为极坐标图 1什么是幅相频率特性曲线 例 绘制一阶惯性环节的极坐标频率特性图 解 一阶惯性环节的传递函数为 则它的频率特性为 可以证明一阶惯性环节的幅相曲线是一个半园 2
6、典型环节的幅相曲线 典型环节 控制系统的开环传递函数G s H s 的分子和分母多项式都可以分解成若干因子的形式 即 上式中的比例环节 惯性环节 振荡环节 一阶微分环节和二阶微分环节称之为典型环节 1 放大环节 比例环节 放大环节的传递函数及频率特性为 2 积分环节 环节的传递函数及其频率特性 环节的幅相曲线 奈奎斯特图 3 惯性环节 惯性环节的传递函数为 其对应的频率特性是 当 由零至无穷大变化时 惯性环节的频率特性在复平面上是正实轴下方的半个圆周 这是一个标准圆方程 其圆心坐标是 0 5 0 半径为0 5 且当 由0 时 G j 由0o 90o 说明惯性环节的频率特性在复平面上是实轴下方半
7、个圆周 如图所示 惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节 在低频范围内 对输入信号的幅值衰减较小 滞后相移也小 在高频范围内 幅值衰减较大 滞后相角也大 最大滞后相角为900 4 振荡环节 振荡环节的传递函数是 其频率特性是 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比 有关 不同阻尼比的幅相频率特性曲线如图所示 同时 当阻尼比较小时 会产生谐振 谐振峰值Mr Mr 1 和谐振频率 r可由幅频特性的极值方程解出 其中 n 1 T称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率 它是振荡环节频率特性曲线与虚轴的交点处的频率 将 r代入幅频特性中可得到谐振峰值Mr为 5 一阶微分环节 典型一阶微分环节的传递函数为 其
8、中 为微分时间常数 1为比例项因子 因此 严格地说 由上式表示的是一阶比例微分环节的传递函数 由于实际的物理系统中理想微分环节或纯微分环节 即不含比例项 是不存在的 因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式 典型一阶微分环节的频率特性为 6 二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 7 不稳定环节 3开环系统的幅相曲线 奈奎斯特图一般是用来分析系统的稳定性 所以不需要绘出很精确的曲线 只要得到其大致曲线即可 所以绘制奈奎斯特图一般是用定性分析的方法来完成 其步骤如下 确定奈氏曲线的起点 即求 0时 G j0 的幅值与相角 确定奈氏曲线的终点 即求 时 G j 的幅值与相角
9、 确定奈氏曲线与坐标轴的交点 即求G j g 为实数或纯虚数时 g的值 同时可求出G j g 的幅值 在复平面上标出上述点 然后用一条平滑曲线把这些点连接起来 就绘出了开环系统的奈氏曲线 幅相曲线 1 确定幅相曲线的起点和终点 方法如下 可得低频段乃氏图 a起点 低频段 b终点 高频段 此时 这时频率特性与分子分母多项式阶次之差n m有关 分析可得如下结论 对于由最小相位环节组成的开环系统 终点处幅值 终点处相角 令实部等于0 求出 代入虚部 得到与虚轴的交点 b乃氏图与虚轴交点的求取 a曲线与实轴交点 2 确定乃氏图与实轴 虚轴交点 求出 代入实部 即得到与实轴的交点 或 令虚部为 即 3
10、开环幅相特性曲线的变化规律 分子上有时间常数的环节 幅相特性的相位超前 曲线向逆时针方向变化 分母上有时间常数的环节 相位滞后 幅相特性曲线向顺时针方向变化 解 已知开环系统的频率特性为 1 本系统中n 3 m 0 n m 3 v 1 2 确定起点和终点 起点处 相角为 90 幅值为 终点处 相角为 900 3 270 幅值为0 3 确定乃氏曲线与实轴 虚轴交点 曲线与实轴交点 令Im G j H j 0求出 10代入频率特性的实部得Re G j10 H j10 0 4 乃氏图与负实轴的交点为 0 4 j0 曲线与虚轴交点 令Re G j H j 0 求出 表明幅相特性曲线只在坐标原点处与虚轴
11、相交 用MATLAB画出上面例子中的乃氏图程序 num 10 den conv 0 210 0 051 nyquist num den 虚轴交点附近的放大图 二 对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又叫伯德 Bode 图 它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上 前者叫对数幅频特性 后者叫对数相频特性 两个坐标平面横轴 轴 用对数分度 对数幅频特性的纵轴用线性分度 它表示幅值的分贝数 即L 20lg G j 对数相频特性的纵轴也是线性分度 它表示相角的度数 即 G j 通常将这两个图形上下放置 幅频特性在上 相频特性在下 且将纵轴对齐 便于求出同一频率的幅值和相角的大小 同时为求取
12、系统相角裕度带来方便 0 45o 90o 90o 45o 0 01 0 1 1 10 100 dB 对数坐标系 横坐标表示频率 对数分度 纵坐标表示幅值或相角 线性分度 用伯德图分析系统有如下优点 1 将幅频特性和相频特性分别作图 使系统 或环节 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰 2 幅值用分贝数表示 可将串联环节的幅值相乘变为相加运算 简化了计算 3 用渐近线表示幅频特性 使作图更为简单方便 4 横轴 轴 用对数分度 扩展了低频段 同时也兼顾了中 高频段 有利于系统的分析与综合 例 绘制放大系数为1的一阶惯性环节的对数频率特性图 解 惯性环节的频率特性函数为 对数幅频特性为 对数相频特性
13、为 1典型环节的对数频率特性 放大环节 环节的传递函数及其频率特性 环节的对数频率特性曲线 伯德图 对数幅频特性为 对数相频特性为 积分环节 环节的传递函数及其频率特性 环节的对数频率特性曲线 伯德图 对数幅频特性为 对数相频特性为 3 一阶惯性环节 4 振荡环节 环节的传递函数及其频率特性 环节的对数频率特性曲线 伯德图 对数幅频特性为 对数相频特性为 2开环系统的对数频率特性 当n个环节串联时 解 1 写出系统的开环频率特性 标准的时间常数形式 例绘制图示系统的开环Bode图 2 按照转折频率的大小依次分解成典型环节 比例和积分环节除外 3 分别写出每个环节的对数幅频和相频特性 4 写出整
14、个开环系统对数幅频和相频特性 5 在半对数坐标下分别绘出单个环节的Bode图 6 叠加得到整个系统的Bode图 对数频率特性图 伯德图 绘制的一般方法 开环系统的伯德图是根据叠加原理来绘制的 但真正绘图时 并不需要去把每一个环节的伯德图都画出来 可以用以下步骤来绘制 绘制低频段曲线 低频段曲线是由G s K sv来确定的 低频段曲线是一条直线 它过点 1 20lgK 或其延长线 斜率为 20vdB dec 求出开环系统所有环节的转折频率 并在对数坐标系中标出这些频率 对数幅频特性曲线的绘制 绘制中 高频段曲线 从低频段曲线开始绘制中 高频段曲线 每经过一个转折频率点 对数幅频特性曲线就发生一次
15、转折 其斜率的变化量为该频率点所表示环节的斜率的变化量 对数相频特性曲线的绘制 对数相频特性曲线的绘制一般还是采用描点的方法来绘制 当然也要先确定频率趋向于零时和趋向于无穷大时系统的相角 最小相位系统 系统开环传递函数在s平面的右半平面上没有零 极点 称该系统为最小相位系统 否则就是非最小相位系统 解 1 幅频特性 2 相频特性 特点 例2 设某最小相位系统的渐近对数幅频特性如图所示 试求系统的传递函数 关键是求K值的大小 5 3奈奎斯特稳定判据 稳定的定义 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差 所谓稳定性就是指当扰动消除后 由初始状态回复原平衡状态的性能 若系统可恢复平衡状态
16、 则称系统是稳定的 否则是不稳定的 稳定的充分必要条件 系统的特征根都具有负实部 时域稳定判据 ROUTH判据 赫尔维茨 频域稳定判据 Nyquist判据 简称奈氏判据 奈氏判据是利用开环幅相特性判断闭环稳定性的图解方法 可用于判断闭环系统的绝对稳定性 也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法 F s 的零点就是系统的闭环极点 F s 的极点就是系统的开环极点 利用图解的方法来确定F s 位于s右半平面的零点 从而得到判别系统稳定性与否的奈氏判据 分两种情况考虑 1 开环传递函数中没有s 0的极点 2 开环传递函数中含有s 0的极点 1 开环传递函数中没有s 0的极点 中各零点和极点
17、到点的向量为 s平面闭合路径 F s 平面轨迹 辐角原理 若F s 在s平面上除了有限个奇点外 它总是解析的 则当动点sl在s平面上顺时针方向绕不通过任何极点和零点的封闭曲线一周时 则在F s 平面上也将映射出一条闭合曲线 若 仅包围F s 的零点 故 顺时针绕坐标原点一圈 当s 沿路径 顺时针移动一周时 未被 包围的那些零点和极点相应的向量的净相角变化等于零 被 包围的零点 其相角变化了 2 若 顺时针包围F s 的1个零点 则 顺时针包围F s 的原点1圈 若 顺时针包围F s 的Z个零点 则 顺时针包围F s 的原点Z圈 若 仅包围F s 的极点 若 顺时针包围F s 的P个极点 则 逆
18、时针包围F s 的原点P圈 Z 位于s右半平面闭环极点的个数 P 位于s右半平面开环极点的个数 若 顺时针包围F s 的Z个零点和P个极点 则 顺时针包围F s 的原点Z P圈 Nyquist判据 1 开环系统稳定时 即P 0 如果 从 时Nyquist曲线G j H j 不包围 1 j0 点 即N等于零 则Z 0 闭环系统稳定 否则不稳定 2 开环系统不稳定时 即P 1 如果 从 时Nyquist曲线G j H j 逆时针包围 1 j0 点的次数N P 则Z N P 0 系统稳定 否则系统不稳定 2 求与虚轴交点的坐标 当 0时 当 时 解 1 求起点和终点 例1 系统开环传递函数为试用奈氏
19、图判断闭环系统的稳定性 可见 乃氏图不包围 1 j0 点 系统稳定 num 1 den conv 81 21 nyquist num den 例2试绘制如下四阶0型系统的奈氏图 判别其闭环系统的稳定性 式中 解 当 1 j0 点位于b点与c点之间 奈氏曲线不包围 1 j0 N 0 故闭环系统稳定 由于P 0 增大K 1 j0 点可能会位于d点与c点之间 奈氏曲线对 1 j0 顺时针包围2次 N 2 故闭环系统不稳定 由于P 0 减小K 1 j0 点可能位于a点与b点之间 N 2 闭环系统仍不稳定 再减小K 使 1 j0 点位于a点的左边 闭环则是稳定的 例3 单位反馈系统开环传递函数其中 试用
20、乃氏判据判断该系统稳定时K的取值范围 解 该开环系统的幅频和相频特性表达式 2 开环传递函数中含有s 0的极点 奈氏路径就是由 j 轴 无限小半圆abc j 轴和无限大半圆四部分组成 在无限小半圆上 s可表示为 对应a点 s平面无限小圆上的a点变换到G s H s 平面上为正虚轴上无穷远处的一点 令和 得 2 对应b点 s平面无限小圆上的b点变换到G s H s 平面上为正实轴上无穷远处的一点 3 对应c点 s平面无限小圆上的c点变换到G s H s 平面上为负虚轴上无穷远处的一点 当s沿无限小半圆由a点移动到b点 再移动到c点时 其角度反时针方向改变了180o 而G s H s 的角度则顺时
21、针方向相应改变了180o 若G s H s 有n个积分环节 则G s H s 的角度相应变化n 180o 例4 绘制如下系统的奈氏曲线 并分析其闭环系统的稳定性 解 1 奈氏曲线的起点和终点 2 与负实轴的交点 若闭环系统稳定 总结 当时 奈氏曲线包围 1 j0 点 闭环不稳定 当时 为临界稳定 当时 奈氏曲线不包围 1 j0 点 系统稳定 P 1 N 1 Z N P 2 例5系统开环传递函数为 解 包围还是不包围 如果包围 包围方向如何 圈数如何 5 4控制系统的相对稳定性 1 幅值裕度 一 幅相频率特性与相对稳定性 对于开环稳定系统 g为相角穿越频率 开环幅相频率特性G j H j 奈氏图
22、 与负实轴相交时的幅值的倒数 用Kg表示 Kg 1时闭环系统稳定 Kg 1时闭环系统临界稳定 Kg 1时系统不稳定 2 相角裕度 对于开环稳定系统 对于开环不稳定的系统不能用相角裕度和幅值裕度来判断系统的稳定性 在工程上一般取相角裕度为30 60度 幅值裕度大于6dB 0 相角裕量为正值 系统稳定 0 相角裕量为负值 系统不稳定 例 设单位反馈系统开环传递函数为 试确定相角裕度 45 时的 值 解 相角裕度为 本例中幅值裕度为无穷大 根据剪切频率的定义 有 二 对数频率特性与相对稳定性 1 Nyquist图和Bode图之间的对应关系 1 G j H j 平面上以原点为圆心的单位圆 对应于对数幅
23、频特性中的零分贝线 2 G j H j 平面上的负实轴 对应于对数相频特性图上的 180o线 1 若对数幅频曲线穿越零分贝线时的相角大于 1800 系统稳定 反之 系统不稳定 2 若相频曲线穿越 1800线时的对数幅频特性的值为负则系统稳定 反之 系统不稳定 此时的对数幅频特性值的负值即为幅值裕量 2 对数频域稳定判据 5 5闭环频率特性 一 频域性能指标 2 闭环频域性能指标 谐振峰值Mr 频带宽度 b 1 开环频域性能指标 二 三频段与系统性能 低频段 L 的近似曲线在第一个转折频率之前的区段 低频段反映了系统的稳态性能 确定开环增益K的方法 K如何确定 2 1时 中频段 c周围的区段 中频宽 若中频段以 40dB dec过零 且h较宽 阶跃响应为等幅振荡 中频段反映了系统的动态性能 高频段 在幅频特性曲线中频段以后 的区段 高频段反映了系统的抗扰能力 幅频特性向右平移 分析系统性能有何变化 三 频域指标与时域指标之间的定量关系 对于二阶系统 1 相位裕量 和超调量 之间的关系 越大系统平稳性越好 2 相位裕量 和调节时间ts之间的关系 越大系统快速性越好 3 闭环频域指标与时域指标之间的关系 闭环发生谐振 对于高阶系统 频域指标与时域指标之间的近似关系
