1、运 筹 学Operations Research,建筑工程学院,课程说明,1、教材与参考书 教材钱颂迪主编，运筹学(第三版)，清华大学出版社，2005 参考书胡运权主编，运筹学教程(第三版)，清华大学出版社，2007Hillier, F.S. Introduction to Operations Research, 8e. McGraw-Hill, 2005,2、先修课程 微积分、线性代数、概率论3、学习与考试方式 学习课堂听课、课下习题、案例分析、程序编制 讨论 http:/， 运筹学（建工），密码lmc 考试 闭卷考试+平时成绩,课程说明,运筹学讨论学习：QQ群：64508321（运筹学-
2、天大建工08级）需要验证：所在班级+姓名 （例如：水电1班班军）进群后要求将群名片修改为自己的姓名。,课程说明,4、课程内容（32学时）,课程说明,绪论（1学时）第一章 线性规划（6学时）第二章 对偶理论与灵敏度分析（4学时）第三章 整数规划（2学时）第四章 动态规划（4学时）第五章 图与网络分析（6学时）第六章 排队论（4学时）第七章 决策论（2学时）,复习（1学时）考试（2学时）,绪论Introduction,运 筹 学Operations Research,绪论,一、运筹学的产生与发展,运筹学的萌芽可以追朔到20世纪初期，但主要产生于20世纪40年代中期的二战期间。创建阶段（194519
3、51）,1947年美国Dantzig提出了单纯形法1948年英国运筹学会（OR Club）成立1950年英国伯明翰大学正式开设运筹学课程 运筹学季刊在英国创刊1951年美国Morse等著的运筹学方法一书出版,绪论,成长阶段（19521959）,计算机技术的发展促进了运筹学的推广应用美国已有约半数的大公司应用运筹学解决管理运营中的生产计划、资源分配等问题更多学会和刊物的出现：10个国家、6种刊物1957年英国牛津大学召开第一次国际运筹学会议1959年成立国际运筹学联合会（International Federation of Operational Research Societies，IFOR
4、S，http:/www.ifors.org）,绪论,普及发展阶段（1960 ）,进一步细分为各个分支：线性规划、动态规划专业学术团体、期刊、书籍迅速增多运筹学课程更多地被纳入教学计划,运筹学的广泛实际背景促使其不断发展并在经济管理、系统工程和工程建设等多领域中发挥着令人瞩目的重要作用。,绪论,我国运筹学的发展,20世纪50年代中期由钱学森等引入，1957年正式定名为运筹学（“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”史记）。1970年后，在华罗庚的直接指导下，全国范围内推广统筹法和优选法，并取得了卓著成效。1980年，中国运筹学会于成立，1982年作为正式成员加入了国际运筹学联合会（IFORS）。,绪论,
5、二、运筹学的特性,运筹学是一门以定量方法为管理决策提供科学依据的应用科学。基本特性,以管理决策为基点以科学方法论为依据以系统观点为指导以数学模型为主要工具,绪论,三、运筹学的应用与软件,运筹学在水利水电和港口工程中的应用,土石方调配水文计算混凝土浇筑施工场地布置场内交通分析水库调度,绪论,运筹学常用软件,MS Excel SolverLINDO、LINGOCPLEX运筹学软件包Matlab,第一章 线性规划Linear Programming,运 筹 学Operations Research,1.1 线性规划模型1.2 图解法1.3 单纯形法,1.1 线性规划模型,一、线性规划问题,第一章 线
6、性规划,在生产和经营等管理工作中，需要经常进行计划或规划，共同需要解决的问题可归结为： 在现有各项资源条件的限制下，如何确定相应的方案，合理利用资源，使预期目标达到最优。,第一章 线性规划,例1 某工厂要生产甲、乙两种产品，需消耗A、B、C三种资源。现将有关数据列表如下：,试拟订使总利润最大的生产计划方案。,第一章 线性规划,解：设安排甲、乙产量分别为x1、x2，总收入为z，则模型为：,第一章 线性规划,例2 某施工工地有3个不同土区，按工期要求和碾压条件所限，各土区所需土料和装运费情况如下表：,求使装运费用最节省的土方调配方案。,第一章 线性规划,解：设3个土区每天取土次数分别为x1、x2
7、、x3 ，总费用为z，则模型为：,第一章 线性规划,例3 某工厂要为生产产品需购买材料来获取A、B、C、D四种物质，市场上可选择的材料有M、N两种。有关数据如下表：,试决定买M与N二种材料料各多少kg而使支出的总费用为最少？,第一章 线性规划,解：设M、N材料分别购买x1、x2 （kg） ，总费用为z，则模型为：,第一章 线性规划,练习1 A、B两水电站均属调节电站， 同时从C水库引水发电，枯水期平均流量0.52 m3/s，按规定A、B两站厂用电量不得超过0.9万 kWh，其它有关指标如下：,求枯水期上网电量最大的电站出力调度方案。,第一章 线性规划,解：设A、B电站出力分别为x1、x2 （k
8、W） ，总上网电量为z，则模型为：,第一章 线性规划,练习2 某港口某年生产经营指标如下表。该年吞吐量不超过880万吨，其中：煤炭吞吐量至少630万吨；木材需求在10万吨以上，二码头通过能力难以突破32万吨；矿石吞吐量至少130万吨，化肥货源预计在45万吨以下，三码头实际通过能力难以突破300万吨。,以码头通过能力和货源预测为约束条件求得最佳货种搭配，以取得最大营业收入。,第一章 线性规划,第一章 线性规划,二、线性规划数学模型,一般形式如下（以max型、约束为例）：,第一章 线性规划,矩阵形式：,X决策变量向量C价格系数向量A技术系数矩阵b资源限制向量,？为什么将A称为技术系数矩阵？技术系数
9、：生产一定量某种产品所需要的各种生产要素的配合比例。,第一章 线性规划,第一章 线性规划,线性规划模型的一个基本特点：,目标和约束均为变量的线性表达式,若模型中出现非线性表达式，如：,则不属于线性规划，而是非线性规划。,1.2 图解法,第一章 线性规划,图解法是用画图的方式求解线性规划的一种方法。它虽然只能用于解二维（两个变量）的问题，但其主要作用并不在于求解，而是在于能够直观地说明线性规划解的一些重要性质。 分三步进行：,第一章 线性规划,1、作约束的图形先做非负约束的图形；再做资源约束的图形。以例1为例，其约束为：,x1,x2,0,3,4,4,8,可行域,第一章 线性规划,2、作目标的图形
10、对于目标函数：,x2,任给两个不同的z值，可作相应的两条直线，用虚线表示。 z 6 z 12可以看出z增大的方向。,第一章 线性规划,3、求最优解将目标直线向使目标优化的方向移，直至可行域的边界为止，这时其与可行域的“切”点 X* 即最优解。例1中的最优解：X*（4，2）T,X*,第一章 线性规划,由图解法的结果得到例1的最优解，即： x14，x22。将其代入目标函数求得相应的最优目标值：z 14。说明该厂最优生产计划方案为：当生产甲产品4件，乙产品2件时，可获得最大的利润14元。,第一章 线性规划,练习 用图解法求解下列线性规划问题：,X*（0.5，0）T，z*=3,X*,第一章 线性规划,
11、思考,线性规划的可行域是一个什么形状？ 多边形，而且是“凸”形的多边形。 最优解在什么位置获得？ 在边界，而且是在某个顶点获得。,第一章 线性规划,由图解法得到线性规划解的一些特性：,（1）线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多面体。凸多面体是凸集的一种，所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属此集。试判断下面的图形是否凸集：凸集中的“极点”，又称顶点或角点，是指它属于凸集，但不能表示成集中某二点连线的内点，如多边形顶点。,第一章 线性规划,（2）线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行域的顶点获得。由图解法可知，只有当目标直线平移到边界时，才能使目标 z 达到最大限度的优化。问题：本性质有何重要意
12、义？,第一章 线性规划,（3）线性规划解的几种情形a）唯一解c）无可行解,注：出现c）、d）情况时，建模有问题。,b）无穷多最优解（多重最优解）d）无界解（无有限最优解）,矛盾的约束条件,缺乏必要的约束条件,1.3 单纯形法,第一章 线性规划,单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Dantzig）提出。 尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场”占有率。,第一章 线性规划,一、预备知识,1、线性规划问题的标准型式,标准型式特点：max型、等式约束、非负约束,Amn的秩为m(mn)，b0,第一章 线性规划
13、,标准模型是基于理性决策的假设前提得到的。什么是理性决策（Making Rational Decisions）？,人是目标最大化的经济动物，即决策者是理性的（好事越多越好，坏事越少越好）；每个可行决策方案可能产生的结果，或者至少是结果的概率和收益都已知；决策者有着明确的偏好顺序，能够对结果进行排序（从最好到最坏）。,第一章 线性规划,线性规划问题的一般型式如何转化为标准型式？引入符号和变量,（2）约束条件：不等式，引入松弛变量或剩余变量,x3称为松弛变量。问：其实际意义是什么？,第一章 线性规划,（3）对于取值无约束的变量 xk ：,（4）对于右端项 bi 0的情况：,等式两端同时乘以1即可。
14、,（5）对于xi 0 ，则转入下一步。,问题：计算上一步所求得X0的每个xj的检验数， 并判断X0是否为最优解？,第一章 线性规划,3、寻找更优的基本可行解,由于基本可行解与基对应，即寻找一个新的基可行解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此，本步骤也称为基变换。,第一章 线性规划,寻找方法：,i 称为检验比。,问题：接上一步，确定进基、出基，换基计算下一个基本可行解、再检验，直至最优。当模型规模较大时，计算量很大。,事实上，单纯形法的实现是在单纯形表上完成的。,第一章 线性规划,线性规划解的相关概念,可行域、可行解、最优解、最优值,基、可行基 基向量、基变量、非基变量,基解、基可
15、行解,第一章 线性规划,【例6】,P3, P4, P5是三个基向量,与P3, P4, P5相对应的三个变量x3, x4, x5是基变量,XB = x3, x4, x5T,XN = x1, x2T,得到XB = x3, x4, x5T = 8, 12, 36T,其也是基可行解,此时，z = 0,(1),第一章 线性规划,P = (P3, P4, P2) =,XB = x3, x4, x2T,XN = x1, x5T,得到XB = x3, x4, x2T = 8, 10, 3T,其也是基可行解,此时，z = 15,x2进基，x5出基,(2),第一章 线性规划,用P2替换P5，则,P3, P4, P
16、2是三个基向量,z=15为最优值,第一章 线性规划,三、单纯形表,单纯形表是基于单纯形法的计算步骤设计的计算格式，是单纯形法的具体实现。,过程：,单纯形表的主体内容是：B-1(b A)，即,第一章 线性规划,问题：（1）第一张表的B-1=？（2）检验数的公式是什么？（3） B-1Pj在表格哪里？,单纯形表的结构形式：,第一章 线性规划,例7 采用单纯形表求解例1的线性规划问题。,初始单纯形表：,初始基本可行解X0=？z0=？,第一章 线性规划,以4为主元素进行初等行变换：,新的基本可行解X1=？ z1=？,第一章 线性规划,以1为主元素进行初等行变换：,新的基本可行解X2=？ z2=？,第一章
17、 线性规划,以2为主元素进行初等行变换：,最优解X*=？ z*=？,第一章 线性规划,单纯形表中的信息分析：（1）每一列的含义；（2）表中的B和B-1的查找；（3）终表分析最优基B* 和(B*)-1的查找。,第一章 线性规划,练习 采用单纯形法求解下列线性规划问题。,第一章 线性规划,最优解X*=？ z*=？,第一章 线性规划,四、人工变量法（大M法）,例8 采用单纯形法求解下列线性规划问题。,第一章 线性规划,问题：,方法：,增加人工变量 XR=（xn+1，xn+m）TXR在目标函数中的系数为M（M为充分大正数）。,于是原问题化为：,求解：单纯形法,最优基变量中不含XR，则所得解的前n个分量
18、即为X*，否则无解。,A中不含I。,第一章 线性规划,解： 增加人工变量x5、x6， 模型标准化为,第一章 线性规划,单纯形表：,第一章 线性规划,第一章 线性规划,练习 采用大M法求解下列线性规划问题。,第一章 线性规划,单纯形表：,第一章 线性规划,五、单纯形法总结,（1）Min型单纯形表与Max型的区别仅在于： 令k=minj0的xk进基，当所有j0时最优。,（2）解的几种情况及其在单纯形表上的体现（Max型）,唯一最优解,j 0,非基0但B-1Pk 0,无可行解,用大M法求解，最优基中含有XR,退化解,最优解中某基变量为0,第一章 线性规划,作业,（1）系统地学习PPT和教材，两者相结合，同时要 注意理论公式与实例的结合。,（2）P44：1.4。（3）P45：1.6（1）、（2）；只要求用大M法求解。 有兴趣的可以求解（3）、（4）。（4）P45：1.8。（5）P46：1.11（只要求建模，不要求求解）。,
