1、第一章 线性规划,线性规划(Linear Programming，简记为LP)运筹学的一个重要分支运筹学中研究较早，发展较快，应用较广且比较成熟的一个重要分支,本章介绍一般线性规划问题的特征和标准型式等基本概念以及建立简单应用问题规划模型、图解法求解等基本方法，其基本要求为： -1. 理解线性规划问题的三个基本特征 2. 掌握建立线性规划模型的基本步骤 3. 熟悉线性规划问题的标准型式 4. 了解可行域、等值线等概念 5. 能建立简单实际问题的线性规划模型并会用图解法求解,第一节 线性规划问题的数学模型,1.1 实例 例1. 某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台
2、时和A、B两种原材料的消耗以及资源的限制情况，如表所示：,问工厂应分别生产多少个产品和产品才能使工厂获利最大？,分析：,（2）问题的限制条件,原材料限量： 2 X1 +X2 400,台时数限制： X1 +X2 300,X2 250,X1 0， X2 0,决策变量 X1=生产产品的数量；,（1）确定决策变量,决策变量 X2=生产产品的数量,X1 、X2取非负数,（3）总利润： z= 50 X1 + 100 X2 最大利润记为： max z= 50 X1 + 100 X2,（4）数学模型：,max z= 50 X1 + 100 X2,X1 +X2 300,2 X1 +X2 400,X2 250,X
3、1 0， X2 0,s.t,其中，s.t是“subject to”的缩写，意思为“受约束于”,例2 合理下料问题 假定现有一批某种型号的钢筋长8m，需要裁取长2.5m的钢筋100根、长1.3m的钢筋200根问应该怎样选择下料方式，才能既满足需要，又使总的用料最少?,根据判断，可先将各种可能的搭配方案列出来，如表所示,设决策变量xj (jl、2、3、4)表示第j种下料方式所用的原材料根数数学模型为：,Min Zx1x2 x3 x4,3x12x2x3100,2x24x36x4200,xj 0 (j1、2、3、4),s.t,例 某建筑设计院设计每万办公建筑和工业厂房需要的建筑师、结构工程师、设备工程
4、师和电气工程师的平均人数列在表。问该院应如何安排设计任务，才能使设计费收入最大?,解 设办公建筑和工业厂房各承揽、万。根据题意 max Z36x120x25 x1x228s.t 3 x12x2282 x1x212x12x210x1 、x2 0,例 某房地产公司欲开发一七通一平空地，总面积2500m2。公司原计划开发商业楼1000m2，住宅楼5250m2。请根据下列前提条件，确定其是否最佳开发方式。 (1)根据规划要求：沿马路建商业房，为4层楼框架结构，其余为砖混住宅，为6层楼；容积率为2.5，建筑密度50%。 (2)开发日期为2003年12月，建筑物完成时间不超过一年半。 (3)根据预测，一年
5、半以后商业楼平均造价为1400元/m2，砖混住宅平均造价为950元/m2 ，不计土地成本。 (4)预计建筑物完成后商业楼及住宅均可全部售出，商业楼出售当时的平均售价为2400元/m2 ，住宅楼出售当时的平均售价为1700元/m2 。 (5)物业出售时的税费为总额的5%。 (6)公司投入资金不超过650万元。,线性规划模型具有以下特征：1、每个问题都追求一个目标f（x）= anxn+an-1xn-1+a1x1+a2、问题中有若干个约束条件anxn+an-1xn-1+a1x1+a（、=、）b 3、所有的决策变量均非负,max z= 50 X1 + 100 X2,X1 +X2 300,2 X1 +X
6、2 400,X2 250,X1 0， X2 0,xj0,建立线性规划问题数学模型的一般步骤为： 1确定决策变量确定合适的决策变量是能否成功的建立数学模型的关键。2确定目标函数 3 确定约束条件方程,12 线性规划问题的数学模型规划问题的数学模型包含三个组成要素： （1）决策变量xj 指决策者为实现规划目标采取的方案、 措施，是问题要确定的未知量； （2）目标函数 指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数； (3)约束条件 指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为各决策变量表达的等式或不等式。 当决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，这类模型称作为线性规划问题的数学
7、模型。,1、线性规划问题一般形式：maxZ（或minZ）c1x1十c2x2十十cnxn；a11x1a12x2十十a1nxn（或、或）b1a21x1a22x2十十a2nxn（或、或）b2 am1x1am2x2十十amnxn（或、或）bmxj0 (jl、2、，n) 其中： aij 、bi、cj（i1，2，m；j1，2，n）为已知常数。Cj：当求最大值时，cj也称为价值系数或利润系数；当求最小值时， cj也称为成本系数或支付系数; aij称为约束系数; bi称为约束常数。,约束条件,目标函数,2线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式为maxZc1x1十c2x2十十cnxn； (LP) st
8、a11x1a12x2十十a1nxnb1 a21x1a22x2十十a2nxnb2am1x1am2x2十十amnxnbmxj0 (jl、2、，n)并且假设bi0 (i1，2，m) 否则将方程两边同乘以（1)，将右端常数化为非负数并简称为(LP)问题。,x1x2x33,x1x2x33,线性规划问题的标准形式具有的下特征： (1) 目标函数为求极大值 (也可用求极小值问题作为标准形式，这里以大值问题为主)； (2)所有的约束条件(非负约束条件除外)都是等式 即它们是内含有n个未知数(决策变量)的m个方程组成的线性方程组，且右端常数均非负； (3)所有的决策变量均非负,1）简记形式,sT ,(i1，2，
9、m),(j1，2，n),maxZc1x1十c2x2十十cnxn； (LP) st a11x1a12x2十十a1nxnb1 a21x1a22x2十十a2nxnb2am1x1am2x2十十amnxnbmxj0 (jl、2、，n),（2）矩阵形式,sT ,（3）向量形式,其中C（c1，c2，cn）为行向量,为mn阶矩阵,maxZc1x1十c2x2十十cnxn； st a11x1a12x2十十a1nxnb1 a21x1a22x2十十a2nxnb2am1x1am2x2十十amnxnbmxj0 (jl、2、，n),X（x1，x2，xn）T b（b1，b2，bn）T均为列向量； “T”表示向量转置。 “0”
10、表示向量。 称A为约束条件的系数矩阵、简称为约束矩阵 cj（j1，2，n）为目标函数的系数，又称为价值系数； C为价值向量； bi(i1，2，n)为第i个约束条件的右端常数； b为右端向量； xj(j1，2，n)为决策变量； Pj(j1，2，n)为A的第j列向量。,(1)目标函数的转换,目标函数是求极小值，即求,将函数乘以(一1)，化为求极大值问题即求,3线性规划问题的一般形式化为标准形式 有以下几种情况：,min Zx12x23x3,max Zx12x23x3,引入松弛变量xni或剩余变量xni 、化为,(2)约束条件的转换 如果某一约束条件是线性不等式,或,或,其中,一般地说，松弛变量和多
11、余变量的目标函数系数为零,解：约束条件不符合标准型 为此引入非负的松弛变量 分别加到第一和第二个不等式的左边,即得标准型,max Z2 x13x2x3,x1x2x3x4=3,x14x2 7x3 x5=9,s.t,x1 、x2 、x3 、x4 、 x5 0,注意，所加松弛变量x4、x5表示没有被利用的资源， 当然也没有利润，所以在目标函数中x4、x5的系数应为零。,例 把下面线性规划模型化为标准型： max Z2 x13x2x3x1x2x33s.t x14x2 7x39x1 、x2 、x3 0,(3)决策变量的标准化 1）xj符号不受限制,称“自由变量”,令 xj = xj-xj,引入两个非负的
12、新变量 xj、xj,xj、xj0,代入原问题，将自由变量代换掉,2) xj0,令xj = -xj xj0,例、 max Zx12x23x3x1x2x37s.t x1x2 4x323 x1x22x35x10、 x2为自由变量、 x30,X3 x3,令 x2x4-x5,其中x3 、x4、x50,例、将下面线性规划问题化为标准型： min Z一x12x23x3x1x2x37s.t x1x2 4x323 x1x22x35x10、x20 x3为自由变量,解：令z= -z，把求min z 改为求 max z,用x4-x5替换x3，其中x4、x50,第一个约束的号的左边加入松弛变量,max Zx12x23（
13、x4x5）0x60x7,第二个约束的号的左边减去剩余变量,标准型为：,x1x2（x4x5）x67,s.t,x1x2 4（x4x5）x72,3 x1x22（x4x5）5,x1 、x2 、x4 、x5 、x6、x70,例 将性规划问题化为标准形式 min Z一2 x1x23x35x12x2x37s.t x1x2 4x323 x1x22x35x10、x20 x3为自由变量,引入松弛变量x4、x5,再令自由变量x3x3x3”,将第3个约束方根两边乘以（1）,将极小值问题反号、转化为求极大值问题,得标准形式max Z一Z2 x1x23x3x3”,解：,5x12x2x3x3”x47,s.t,x1x2 4
14、x34x3” x52,3 x1x22x3+2x3” 5,x1 、x2 、x3 、x4 、x50,对于只有两个变量的线性规划问题，可以用在平面上作图的方法求解，图解法比较简单、直观 1、基本概念 定义1 在问题(LP)中，凡满足所有约束条件的解X（x1，x2，xn）T 称为问题(LP)的可行解 所有可行解的集合称为可行解集(或可行域)，记作,第二节 线性规划的图解,maxZc1x1十c2x2十十cnxn； st a11x1a12x2十十a1nxnb1 a21x1a22x2十十a2nxnb2am1x1am2x2十十amnxnbmxj0 (jl、2、，n),定义2 设问题(LP)的可行域为D，若存在
15、，使得任意都有则称 为问题的最优解，相应的目标函数值称为最优值，记作 。即,maxZc1x1十c2x2十十cnxn； st a11x1a12x2十十a1nxnb1 a21x1a22x2十十a2nxnb2am1x1am2x2十十amnxnbmxj0 (jl、2、，n),max z=x1+3x2 s.t. x1+ x26-x1+2x28x1 0, x20,可行域,目标函数等值线,最优解,6,4,-8,6,0,x1,x2,最优解 X14/3 X214/3 X（ 4/3 ， 14/3 ）z= 4/3 +314/346/3 为极大值,斜率为：k1/3,x1+3x2= a,下面通过例子说明图解法,x1+
16、x2=6,-x1+2x2=8,例max z= 50 X1 + 100 X2X1 +X2 3002 X1 +X2 400X2 250X1 0， X2 0,最优解 X（50，250）max z2750,（50，250）,目标函数等值线的斜率为：k1/2,例min z= 50 X1 + 100 X2X1 +X2 3002 X1 +X2 400X2 250X1 0， X2 0,最优解 X（0，0）min z0,（0，0）,目标函数等值线的斜率为：k1/2,例、某企业的生产共需要A、B两种原料至少350吨（A、B两种原料有一定的替代性），其中A原料至少购进125吨。但由于A、B两种原料的规格不同，各自所
17、需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2小时，加工每吨B原料需要1小时，而企业总共有600个小时的加工时间。已知每吨A原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在企业加工能力的范围内，如何购买A、B两种原料，使得购进成本最低？,解：设 x1为购进原料A的吨数x2为购进原料B的吨数 线性规划的数学模型：,min Z= 2 X1 + 3 X2X1 X2 350X1 1252X1 X2600X1 0， X2 0,min Z= 2 X1 + 3 X2X1 X2 350X1 1252X1 X2600X1 0， X2 0,对此线性规划问题的最优解进行分析，可知购买的原
18、料A与原料B的总量为350吨，正好达到约束条件的最低限；所需的加工时间为600小时，也正好达到加工的最高限。但原料A的购进量250吨则比其限制条件的最低限125吨要多购进125吨。这个超过量在线性规划中称为剩余量。,求出最优解 x1=250 ，x2=100 即购买A原料250吨 购买B原料100吨 最小总成本为：2250+3100=800万元,对一般线性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：,则可见代表目标函数的直线平移到最优位置后将和直线x1+ x2 =300重合。此时，不仅顶点B，C都代表了最优解，而且线段BC上的所有点都代表了最优解。这个线性规划问题有无穷多最优解，当然这些最优解都对
19、应着相同的最优值: max z= 50x1+ 50x2=15000。,（1）多重最优解 max z= 50x1+ 50x2X1 X2 300X2 2502X1 X2400X1 0， X2 0,B,C,（2）无界解max z= 2 X1 + 2 X2X1 X2 1X1 +2X2 0X1 0， X2 0,用图解法求解结果见图，从图中可以看出，由于可行域是无界区域，当等值线沿箭头方向无限增大时，始终与无界区域相交，此时，目标函数值无上界，因此无最优解，也称最优解无界。,（3）无可行解max z= 3 X1 + 2 X2X1 X2 2X1 X2 5X1 0， X2 0由图可以看出，同时满足所有约束条件
20、的点不存在，即可行域为空集，也就是没有可行解，也不存在最优解。,例 maxZc1x1c2x2 3x15x215s.t 6x12x224x10、x20 目标函数的变量系数怎样改变时，满足约束条件可行域的每一个顶点，都有可能使目标函数值达到最优。,A1,A2,A3,3x15x215,6x12x224,第三节 线性规划的基本概念 线性规划问题的标准形式为(LP) sT 其中 C（c1，c2，cn）为mn阶矩阵X（x1，x2，xn）T b（b1，b2，bn）T b0 A（aij）mn为mn矩阵，且A的禾失为m，mn,定义3 在问题(LP)中，约束方程组的系数矩阵A的任意一个mm阶的非奇异的子方阵B，称
21、为线性规划问题的一个基矩阵 基矩阵B是由矩阵A中m个线性无关的列向量组成的，假设基矩阵B称Pi（i1、2、m)为基向量 与基向量相对应的变量xi(i1，2，m)称为基变量 不在B中的列向量Pjjm十1，,n)称为非基向量，与非基向量相对的变量xj(jm十1，,n)称为非基变量并记,系数矩阵A写成分块形式A(B，N) 将基变量和非基变量组成的向量分别记为XB（x1，x2，xn）T XN（xm+1，x m+2，xn）T 向量X也可以写成分块形式代入约束方程,得,即B为非奇异子阵，B1存在，上式两边同乘B1得,约束方程组的一个解,称为基本解,约束方程组的特殊形式的解,定义4 在约束方程组中，对于选定
22、的基B，令所有的非基变量等于零，即令 ，得到的解，称为相应于基B的基本解。基B是A的一个mm阶的非奇异子方阵即它的列是从A的n列中选出的线性无关的m列，其选法最多共有种基的个数:最多Cnm个 基本解:最多Cnm个 基本解满足约束方程组，但不一定满足非负约束条件于是又有下面的定义,定义5 在基本解中若XB=B-1b0 则称此基本解为基本可行解，简称基可行解这时对应的基B称为可行基 显然，一个线性规划问题的基可行解的个数最多也不会超过Cnm个另外，由于矩阵A的禾失为m，故对于选定的基B，基变量共有m个，非基变量共有nm个这样在一个基本解中取零值的变量就至少有nm个，而取非零值的变量最多就只有m个,
23、定义6 在问题(LP)的一个基可行解中如果它的所有的基变量都取正值(即非零分量恰为m个)、则称它是非退化的解；反之、如果有的基变量也取零值，则称它是退化的解一个问题(LP)，如果它的所有基可行解都是非退化的，就称该问题是非退化的，否则就称它是退化的,例 线性规划的基本概念,线性规划的基矩阵、基变量、非基变量,=,=,目标函数,约束条件,行列式0 基矩阵,右边常数,基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6,基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（5，3，1，0，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。 目标函数值为：z=20,基变量x1、x2、x4，非基变量x3、x5、x
24、6,基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（27/5，12/5，0，2/5，0，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。 目标函数值为：z=18,基变量x1、x2、x5，非基变量x3、x4、x6,基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（6，3，0，0，-3，0） 是基础解，但不是可行解，不是一个极点。,基变量x1、x2、x6，非基变量x3、x4、x5,基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（3，4，0，0，0，4） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。 目标函数值为：z=18,基变量x2、x3、x4，非基变量x1、x5、x6,基础解为 （x1，x2，x3，x4
25、，x5，x6）=（0，21/2，27/2，30，0，0） 是基础解，但不是可行解。,基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6,基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，3，6，0，15，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。 目标函数值为：z=15,基变量x1、x2、x3，非基变量x4、x5、x6,基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，11/2，-3/2，0，0，10） 是基础解但不是可行解。,基础解、基础可行解（图示）,max z=x1+3x2 D s.t. x1+ x2+x3 =6 B-x1+2x2 +x4 =8 x4=0 C x3=0x1, x2
26、,x3,x40 x1=0E O x2=0 A,x1,x2,解的关系 1.可行解：满足约束条件 （包括xj0）的解 2.非可行解： xj0的解 3.基解：非基变量等于0的解 4.基可行解：满足约束条件、 非基变量等于0、 且xj0 5. 最优解:在线性规划问题 的可行解中，使目标函数 值达到最优的解。,maxZc1x1十c2x2十十cnxn； a11x1a12x2十十a1nxnb1 a21x1a22x2十十a2nxn b2am1x1am2x2十十amnxn bmxj0 (jl、2、，n),例 已知线性规划问题maxZ2x1x2 x1x25s.t -x1x206x12x221x10、x20 试求其
27、基本解，基可行解，并判别是否为退化解？ 解 引入松弛变量x3、x4、x5，将问题化为标准形式maxZ2x1x2 x1x2 x35s.t -x1x2x406x12x2x521xj0 （j1，2，3，4，5）,故约束方程组的系数矩阵为取令x1x20得基本解它也是一个基可行解，但是是一个退化的解，因为其中有一个基变量x40,maxZ2x1x2 x1x2 x35s.t -x1x2x406x12x2x521xj0 （j1，2，3，4）,还可以取 为基令x4x50，得是对应于基B1的一个基本解，因其中有x3一1/40、故不是基本可行解。类似地，也可求出其它的基本解,maxZ2x1x2 x1x2 x35s.
28、t -x1x2x406x12x2x521xj0 （j1，2，3，4，）,第四节 解的基本性质 判别可行解是否为基可行解的准则定理1 问题(LP)的可行解又是基可行解的充要条件是它的非零分量所对应的列向量线性无关定理2 若一个(LP)问题有可行解，则它必有基可行解，定理3 若(LP)问题有最优解，则一定存在一个基可行解是它的最优解,例、在线性规划问题maxZ2x13x2 -x13x2 6x418s.t 2x2x33x424x2-x4x54xj0 （j1，2，3，4，5） 不难验证 X（0）(15，5，5，3，2)T是个可行解，但不是基本解 X（1）（一18，0，24，0，4)T是一个基本解，但不
29、是可行解(因其中有负分量)，最优解是 X*(0，14/3，38/3，2/3，0)T 它是一个非退化的基可行解 最优值 Z*14/3-32/3=8/3,第五节 线性规划问题解的几何意义 在线性规划的图解法中，我们已经看到，如果一个线性规划问题有最优解。则这个最优解一定可以在可行域的顶点上达到而上节的定理3又指出，如果线性规划问题有最优解，则一定存在一个基可行解是最优解可见， 线性规划问题的基可行解与可行域的顶点是相对应的 下面先介绍凸集和极点的概念 定义 设集合 (表示n维欧氏空间)，若对于任意的X(1)、X(2) C及 实数 都有则称C是一个凸集 凸集的几何意义是：若以集合中任意两点为端点的线
30、段仍在该集合中，则称该集合为凸集,凸集,不是凸集,定理4 问题(LP)的可行解集是凸集推论 若问题(LP)的可行域有界，则此问题的最优解一定可以在其可行域D的极点(或顶点)上达到解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值更优，如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更优的另一顶点，重复上述过程，一直到找出使目标函数值达到最优的顶点为止。,小结 可行域的性质,线性规划的可行域是凸集 线性规划的最优解在极点上,凸集,凸集,不是凸集,极点,本章总结：线性规划问题的解 1. 可行解: 满足线性规划问题全部约
31、束条件的解。所有可行解的集合称为可行域。 2. 最优解:在线性规划问题的可行解中，使目标函数值达到最优的解。 3. 基本解及基本可行解 4. 约束条件为AX=b，X0线性规划问题的可行解集是凸集。 5. 线性规划问题的可行解是基本可行解的充要条件是X的非零分量所对应的系数列向量线性无关。 6. 线性规划问题的基本可行解 X对应于可行域D的极点。 7. 线性规划问题若有可行解必有基本可行解。换句话说，线性规划问题的可行域D如为非空凸集，则必有极点。 8. 线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域D的极点上达到。,学习要求 本章介绍一般线性规划问题的特征和标准型等基本概念以及建立简单规划模型和图形求解等基本方法，其基本要求为：1、理解线性规划问题的三个基本特征。2、掌握建立线性规划模型的基本步骤。3、熟悉线性规划问题的标准型。4、了解可行域、等值线等概念。5、能建立简单实际问题的规划模型并能用图解法求解。6、基本解、可行解、基本可行解的概念,
