1、第八章 立体几何第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题一、选择题1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. 23 B. 423 C. 23 D. 234【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 ,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 ,四棱锥的底面边长为 2，高为 3，所以体积为 21所以该几何体的体积为 3.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力 ,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m）为（A）48+
2、12 2 （B ）48+24 2 （C）36+12 （D ）36+24 23.正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在区间-1，1上随机取一个数 x， cos的值介于 0 到 1之间的概率为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 A. 31 B. 2 C. 1 D. 32 【解析】:在区间-1，1 上随机取一个数 x,即 1,x时 , 2x, 0cos12x区间长度为 1, 而 cos2x的值介于 0 到 2之间的区间长度为 ,所以概率为
3、 21.故选 C答案 C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值 csx的范围,再由长度型几何概型求得.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12。则该集合体的俯视图可以是答案: C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选 B7.如图，在半径为 3 的球面上有 ,AC三点，90,ABC， 球心 O到平面 的距离是 32，则 B、
4、两点的球面距离是A. 3 B. C. 4 D. 2答案 B8若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为A. 26 B. 3 C. 3 D. 23答案 C9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B二、填空题10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3，则 a=_答案 311.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，则 a_12若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 139，上面的长
5、方体体积为19，因此其几何体的体积为 1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m） 。则该几何体的体积为 3m答案 414. 直三棱柱 1ABC的各顶点都在同一球面上，若2, 0，则此球的表面积等于 。解:在 中 , 12BAC,可得 23B,由正弦定理,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 ，在 RTO中，易得球半径 5R，故此球的表面积为 240R.15正三棱柱 1ABC内接于半径为 2的球，若 ,AB两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 816体积为 的一个正方体，其全面积与球 O的表面积相等，则球 O的体积等于 答案 617如图球 O 的半径为
6、2，圆 1是一小圆， 12，A、B是圆 1上两点，若 A，B 两点间的球面距离为 3，则 1O= .答案 218.已知三个球的半径 1R， 2， 3满足 321R，则它们的表面积 1S，2S， 3，满足的等量关系是_.答案 321SS19.若球 O1、O 2 表示面积之比 421，则它们的半径之比 21R=_.答案 2三、解答题20 （本小题满分 13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH。图 5、图 6 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积
7、；（3）证明：直线 BD平面 PEG.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为： PEFGHABCDEFGHV2214060320643 2cm（）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知, O平面 EFGH , O又 EGHF 平面 PEG又 BDP 平面 PEG； 20052008 年高考题一、选择题1.(2008 广东）将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 ABC， ， 分别是 GHI 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）答案 A2.（2008 海南、宁夏
8、理）某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A 2 B 23 C 4 D 25答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为 ,mnk，由题意得227mnk， 261n1a， 1b，所以 22()()6ab28b， 2 2()816ab4当且仅当 时取等号。3.（2008 山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D12EFDIAH GB CEFDAB C侧视图 1
9、图 2BEABEBBECBED nmk答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 241213.S3. (2007 宁夏理8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ） 340cm 380cm 320c 340cm答案 B 4. （2007 陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A 43 B 3 C 43 D 23 答案 B5.（2006 安徽）表面积为 2 的正八面体的各个顶点都在同一个球面
10、上，则此球的体积为A 23 B 13 C 23 D 23答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由284a知，2020正视图20侧视图101020俯视图1a，则此球的直径为 2，故选 A。6.（2006 福建）已知正方体外接球的体积是 32，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 2 B. 3 C. 4 D. 34答案 D【解析】正方体外接球的体积是 2，则外接球的半径 R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于 3，选 D.7.（ 2006 湖南卷）过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60则该截面的面积是 ( )A B.2
11、C.3 D. 32答案 A【解析】过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60，则截面圆的半径是 1R=1，该截面的面积是 ，选 A.8.（2006 山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 3 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【解析】设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为 2a，它的外接球的半径为 32a，故所求的比为 13 ，选 C.9.（2005 全国卷）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为 ( )A. 28 B. 8 C. 24 D. 4答案 B10.（2005 全国卷）如图
12、，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且CFADE、均为正三角形，EFAB，EF=2 ，则该多面体的体积为 ( )A. 32 B. 3C. 4 D. 2二、填空题11.（2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为 3，则这个球的体积为 答案 4【解析】令球的半径为 R，六棱柱的底面边长为 a，高为 h，显然有 2()haR，且213962483aVahR34VR.12.（2008 海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一
13、个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为_答案 43【解析】正六边形周长为，得边长为 12，故其主对角线为，从而球的直径21R 球的体积 43V.13. （2007 天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 答案 414.（2007 全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 215.（2006 辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_答案 67【解析】显然
14、正六棱锥 PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为 2，又正六棱锥 的高依题意可得为 2，依此可求得 67.ABCPDEF第二部分 三年联考汇编2009 年联考题一、选择题1.（2009 枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A 361aB 321aC 2 D 65 答案 D2.（2009 天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为 2a2,则左视图的面积为（ ）A2a 2 Ba 2 C 3 D 43答案 C3. （2009 青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有( )A3 块 B4 块 C5 块 D6 块答案 B4. （2009 台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 32，且一个内角为 60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A.23 B. 43 a正视图 侧视图俯视图
