1、75附录 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验 1 多元函数微积分（基础实验）实验目的 掌握利用 Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质 . 掌握利用Mathematica 计算二重积分方法; 提高应用重积分解决实际问题的能力.求多元函数的偏导数与全微分例 1.1 (教材 例 1.1) 设 求),(cos)sin(2xyz.,2yxzz输入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y则输出所求结果.例 1.2 设 求 和全微分 dz.,)1(yx
2、zz,输入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y则有输出 1)1(12xyLogxyyy再输入Dtz则得到输出 11)()1( xyLogDtxyttxy例 1.3 (教材 例 1.2) 设 其中 a 是常数, 求 dz.,(az输入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants-a/Simplify则输出结果:76(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants-a+Dty,Constants-a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中 Dtx,Constants-a就是 dx, Dty,Constants-a就是 dy. 可以用代换命令“/.”把
3、它们换掉. 输入wf/.Dtx,Constants-a-dx,Dty,Constants-a-dy输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy)例 1.4 (教材 例 1.3) 设 ,求vueyvuexcos,sin .,yvxu输入eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v(*第一个方程两边对 x 求导数, 把 u,v 看成 x,y 的函数*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v(*第二个方程两边对 x 求导数, 把 u,v 看成 x,y 的函数*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonCons
4、tants-u,v,Dv,x,NonConstants-u,v/Simplify(*解求导以后由 eq1,eq2 组成的方程组*)则输出vSinECos1(uv,tsanNoC,xvD,ivi,t,u uu其中 Du,x,NonConstants-u,v表示 u 对 x 的偏导数, 而 Dv,x,NonCosnstants-u,v表示 v对 x 的偏导数 . 类似地可求得 u,v 对 y 的偏导数.多元函数的极值例 1.5 (教材 例 1.4) 求 的极值.xyxxf 93),(23输入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycri
5、tpts=Solvefx=0,fy=0则分别输出所求偏导数和驻点: 2369yxx-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-2再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2输出为判别式函数 的形式:2xyxff(6+6x)(6-6y)再输入77data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings-None, “x “, “y “, “fxx “, “disc “, “f “最后我们得到了四个驻点处的判别式与
6、 的值并以表格形式列出.xfX y fxx disc f-3 0 -12 -72 27-3 2 -12 72 311 0 12 72 -51 2 12 -72 -1易见,当 时 判别式 disc=72, 函数有极大值 31;,3yx,1xf当 时 判别式 disc=72, 函数有极小值-5;,f当 和 时, 判别式 disc=-72, 函数在这些点没有极值.0注:在项目一的实验 4 中,我们曾用命令 FindMinimum 来求一元函数的极值, 实际上,也可以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1则输出
7、-5.,x-1.,y-2.3660310-8从中看到在 的附近函数 有极小值-5, 但 y 的精度不够好 .0,1yx),(yxf*例 1.6 求函数 在条件 下的极值.2xz012x输入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,Dlax,y,r,r=0得到输出 )31(2),31(2),3(1 ,yxr再输入fx,y/.extpts/Simplify得到两个可能是条件极值的函数值 但是否真的取到条件极值呢? .,可利用等高线
8、作图来判断.输入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle-PointSize0.03,DisplayFunction-Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours-20,PlotPoints-60,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,78AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoin
9、ts-60,Contours-0,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,ContourStyle-Dashing0.01,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio-1,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为 )31(2,)31(2,及图 1.1. 从图可见，在极值可疑点 ,1 ,处, 函数 的等高线与曲线 (虚线) 相切. 函数 的等高)(yxfz0(yxg ),(yxfz线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增
10、大, 在 的312),31(2x附近观察, 可以得出 取条件极大的结论. 在 )(fz ),(的附近观察, 可以得出 取条件极小的结论.)31(2y ),(yxfz-2 -1 1 2-2-112图 1.1计算重积分79例 1.7 (教材 例 1.5) 计算 其中 为由 所围成的有,2dxyD ,2yxy2界区域.先作出区域 的草图, 易直接确定积分限,且应先对 积分, 因此,输入DIntegratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty则输出所求二重积分的计算结果 .12093例 1.8 (教材 例 1.6) 计算 其中 为,)(2dxyeDD.12yx如果用直角坐标计算, 输入Clea
11、rf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2则输出为dx1Erfe21x2其中 Erf 是误差函数 . 显然积分遇到了困难. 如果改用极坐标来计算, 可用手工确定积分限, 输入Integrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出所求二重积分的计算结果e如果输入NIntegrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出积分的近似值1.98587*实验 2 最小二乘拟合（基础实验）实验目的 了解曲线拟合问题
12、与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理给定平面上的一组点 ,2,1),(nkyx寻求一条曲线 使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲)(xfy线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求 使),(fnkkyx12达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式 ),()()()(10 xccxf m80其中 称为拟合函数的基底函数.为使 取到极小值, 将 的表达式)(,)(,10xxm )(xf代入, 对变量 求函数 的偏导数, 令其等于零, 就得到由 个方程组成的方程组, 从中ic 1m可解出 .,2i曲线拟合例 2.
13、1 (教材 例 2.1) 为研究某一化学反应过程中温度 对产品得率 的影响, )(Cx(%)y测得数据如下:x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89试求其拟合曲线.输入点的坐标, 作散点图, 即输入b2=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=ListPlotb2则输出题设数据的散点图.通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 可用直线拟合. 输入Fitb2,1,x,x (*用 Fit 作
14、拟合, 这里是线性拟合*)则输出拟合直线-2.73939+0.48303x作图观察拟合效果. 输入gp=Plot%,x,100,190,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity; (*作拟合曲线的图形 *)Showfp,gp,DisplayFunction-$DisplayFunction(*显示数据点与拟合曲线*)则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图 2-1）.120 140 160 18060708090图 2-1例 2.2 (教材 例 2.2) 给定平面上点的坐标如下表: 3627.105.94.708.43.6978.5.30.
15、5124.yx试求其拟合曲线.输入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=ListPlotdata;81则输出题设数据的散点图.观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数 输入.,12xf=Fitdata,1,x,x2,x则输出5.30661-1.83196x+8.17149x2再输入fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction-Identity;Showpd,fd,Display
16、Function-$DisplayFunction则输出平面上的点与拟合抛物线的图形.0.2 0.4 0.6 0.8 167891011图 2-2下面的例子说明 Fit 的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于 等.2,x例 2.3 (教材 例 2.3) 使用初等函数的组合进行拟合的例子.先计算一个数表. 输入ft=TableN1+2Exp-x/3,x,10则输出2.43306,2.02683,1.73576,1.52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用基函数 来做曲线拟合. 输入)exp(),3/(,sin1xFit
17、ft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x则输出拟合函数 10245.0489. 63/15 xSinx其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入Chop%则输出 3/.21xe实际上,我们正是用这个函数做的数表. 注:命令 Chop 的基本格式为Chopexpr, 其含义是去掉表达式 expr 的系数中绝对值小于 的项, 的默认值为 .10实验 3 水箱的流量问题（综合实验）实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察82测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.问题 (1991 年美国大学生数学建模竞赛的 A 题.
18、 问题中使用的长度单位为 E(英尺, 1E=30.24cm), 容积单位是 G(加仑, 1 G=3.785L).某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过 5%). 当水箱水位低于水位 L 时 , 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位 H 为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水 12 次, 每次约 2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t 流出水箱的流量并估计一天的总用水量.)(tf表 1
19、 给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为 57E, 高为 40E 的正圆柱体. 当水位落到 27E 以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至 35.5E 时, 水泵停止工作.表 1 时间/s 水位 E20时间/s 水位 E21003316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水3550344546636499535393657254605746455468535718547502179254826498596889
20、95393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等 . 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;(2) 水泵的灌水速度为常数;(3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求.(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等) 为基础的, 所以,可以认
21、为每天的用水量分布都是相似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.问题分析与模型建立为方便起见,记 V 表示水的容积; 表示时刻 (单位:h)水的容积; 表示流出水箱的iVit )(tf水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p 表示水泵的灌水速度(G/h).83先将表 1 中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积 ( 单,2hrV位: ). 输入G48.7E03tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57
22、254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N则输出下表.表 2 时间/h 水量/ G310时间/h 水量/ G3100.0.92111
23、11.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.29957
24、4.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.367648.477637.593由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表 2 的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度.平均流速=( 区间左端点的水量-区间右端点的水量)/ 时间区间长度输入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27则输出下表表 3 时间区间的中点值/h平均水流量/G/h310时间区间的中点值/h平均水流量/G/h3100.4605561.382082.39
25、6393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453313.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_data13.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41918.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data8410.939911.493512.4936no_data18.583319.676624.433525.447613.451411.8095模型求解为了作出时间 tt1 与平均水流量 vv1 之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令Identity;Showg1,fg,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出图 3.2.5 10 15 20 251000012000140001600018000图 3.2
