1、（本科） 微积分练习三答案一、填空题1设 ，则 Axf)(0 xffx )(3(lim00 A32函数 在点 处的导数 03 3根据导数定义，函数 在点 处的导数 不存在1f 1f4函数 在点 处的导数 不存在xfsin00f5设函数 （其中 为正整数） ，则 )()3(2)1(nx )(f6曲线 在点 处的切线方程为 eyy 12xnk1!7设 ，则 2xfxf 28设 ，且 ，则 )(y36)2()lim00hfh 0|xdydx99 ，则 xe2(“y 310设 ， ，则 )sin(ta)cos1ta2x 2)cos1(ta11设 ，则 10xrin(xd dxxrcsin1(12求曲线
2、 在 处的切线方程 32ty )5(38y13设 ，则其反函数 的导数 1x)(yx)(y2114设 ，则导数 在点 处的值为 2arctn)ln(d4x4arctn715设需求函数 ，则边际收益 bPQQR Qb16某商品的需求量 与价格 的关系为 ，则需求量 对价格 的弹性是 55PP17设某商品的需求函数为 ，其中 为价格， 为需求量，则该商品的收210益弹性 ER 10218某商品的需求函数为 ，其中 为价格， 为需求量，则销售该商品的边际收益为 Q Q50bPa19某商品的需求量 与价格 之间的关系为 ，则该商品的收益弹性 PbPaER二、单项选择题1设 是可导函数，且 ，则 为 )
3、(xf 12)(lim00hxfxfh )(0xf1 2 1 22设 在 处可导，且 ，则 )(f1)(f ffx(li0（本科） 微积分练习三答案 12433函数 在 处满足下列哪个结论 3xf0极限不存在 极限存在，不连续 连续，不可导 可导4函数 在区间 内连续是 在 内可导的 ba,xfba,充分但非必要条件 必要但非充分条件充分必要条件 既非充分又非必要条件5设 为奇函数，则其导数 的奇偶性为 )(xf )(f奇函数 偶函数 非奇非偶 奇偶性不定6设函数 可导，记 ，则导数 为 xfxgxg奇函数 偶函数 非奇非偶 奇偶性不定7设函数 有 ，则当 ，该函数在点 处的微分 是 )(fy
4、21)0f 00dy与 等价的无穷小 与 同阶的无穷小，但不等价 xx与 低阶的无穷小 与 高阶的无穷小 8函数 ，在 处 01)(xef不连续 连续但不可导 可导，且 可导，且0)(f 1)0(f9设 在 处可导，且 ，则 xfln)(02(0xfx 0e12e10设 为 的导函数，则 xe2f )f 0x2xe2411设 ，则当 时， 是 的 (0)f0()f低阶无穷小量 同阶无穷小量 高阶无穷小量 等价无穷小量三、求下列导数或微分1设 ，求 （ ）xydy xx21212设 ，求 （ ）1sin cossin3 ，求 （=2 ）xeyxco0xy4 ，求 （ ）lslsidxdlcos2
5、5 ，求 ( )21ar16设 ，求 （ ）xxy3siny xxx 3sinlco33lnsin27设 ，求 （ ）2l1arct 1arct（本科） 微积分练习三答案8设 （ ） ，求1xy（ ）d dxx12)(9设 ，求 （=100！）)0()f )(f10设 ，求 （ ）xy1sindy dxx2)1(cossin11 ，求 （ ） e e12设 （ ） ，求 （ ）1ln)2arct(3xxy|y 1)2(13x13设 ，求 （ ）61y 6)(326xx14设 ，求 （ ）324)(xy )2(3)(41)(324 x15设 （ ） ，求 （ ）10y 1lnx16设 ，求 （
6、）xysin2)(d dx22sin2 si)l(co)1(17由 确定 是 的函数 ，求1lyexyxyx)(2218已知 ，求 ( ) ye xye19已知 ，求 （ ）x ln20已知 ，求 （ ）)cot(y )(sc221已知 ，求 （ ）0ln 1xy22由 确定 是 的函数 ，求5)si(2xeyx x)(y)(xco2yy23设函数 由方程 确定，求 （=1）)(xxyxsin)ln(320xdy24设方程 确定了 ，求 （ ）0arcty)(2125求由方程 （ ）确定的隐函数 的微分33xxa)(yydya2（本科） 微积分练习三答案26已知 是由方程 所确家的隐函数，求
7、，以及该方程所表示的曲)(xy0sinyxey线在点 处切线的斜率。 （ ， ）0, yxecos127设 由方程 所确定，其中 和 均可导，求)()(ygfyfg（ ）ygf128函数 由方程 确定，求)(xy0xyex 02xdy解 对方程两边关于 求导，得 ，两边关于 再求导，得2eyyx又当 时， ，于是 ，故 01)0(y202xdy29设 ，求 （ ）teyxt2sincodx ttcosincosi230设 由 和 所确定，试求 （ ）)(21)(s21)(sydxy2131设 ，求 （=1）teyx2sincodx32设 ，求 （ ）tti2y 22sinco)(ttet33若
8、参数方程为 ，求 在 时的值。 （ ）23textdxy0t 334设 ，求 （ ）lnsiteyx tetcos6)i(335设 ，求 （ ）t2dxy te)2（36设 ，求 （ ）teyx22 tte5432137设曲线方程为 ，求此曲线在点 处的切线方程，及tcosinx2dxy解 当 时， ， ， ， ，2x0t1ytdxcosin210tdy切线方程： ；)2(32 )cos(inttxty38设 ，求 （=63900）354)1(xxy)0(5四、应用题1 设生产某商品的固定成本为 20000 元，每生产一个单位产品，成本增加 100 元，总收（本科） 微积分练习三答案益函数为
9、（假设产销平衡） ，试求边际成本、边际收益及边际利润。2140)(xxR（ ， ， ）1C xL30)(2 一人以 2m/秒的速度通过一座高 20m 的桥，此人的正下方有一小船以 m/秒的速度与34桥垂直的方向前进，求第 5 秒末人与船相离的速率。解 设在时刻 人与船的距离为 ，则ts，222536014)(0tts （m/s）2536tdt 5tds答：第 5 秒末人与船相离的速率为 （m/s）1五、分析题1 设曲线 在 上可导，且 ，求)(xf1,0 )(cos)(sin22xfxfydy（ ）xfy)(cossin222 设曲线方程为 ，试求此曲线在横坐标为 的点09(3y1x处的切线方
10、程和法线方程。 （ ， ）)1(3xy)(32y3 设 ，求|)(xaf)(f（ ，且 在点 处不可导） axaxln)(fax4 讨论函数 在 处的可导性。01sin)(xf（ 在 处不连续，不可导）)(f5 设 ，当 为何值时，点 处可导；此时求出 。)l()(sinekxfxk0x)(xf（当 时， 在点 处可导；此时 ）1)(f0x 0cos1)(inxefx6 若 是奇函数且在点 处可导，则点 是函数 什么类型)(xfyxfF)(的间断点？说明理由。解 由 是奇函数，且在点 处可导，知 在点 处连续，)(xf 0)(xf，则 ，于是 存在，0)(f0 )0(lim)(li fxF故点
11、 是函数 第一类间断点（可去） 。x)(F7 试确定常数 的值，使得函数 处处可导。ba, 012)(xbxaef（本科） 微积分练习三答案解 为使 在点 处连续，必须 ，即)(xf0 )0(lim)(li00fxffxx ， ，所以 ，a2lim0 1)(lifx 1a为使 在点 处可导，必须 ，即)(f )(ff，2li0li00 xefxx，所以bf 2m)()(8 验证 （ ） ，满足方程 ty11t 023dxy解 ， ，即 。 tdx 322 )1()(ytttdxy 023dxy9 已知函数 在 上可导，求 和 的值。)(2xbaf ,ab解 为使 在点 处连续，必须 ，即x1)
12、1(lim)(li11fxffx， ，于是 ，)()(lim1ffbafx)(lim为使 在点 处可导，必须 ，即)(f，21li1li)(1ff xx，于是ab)(0 2故 ,2ba六、证明题1证明函数 在点 处连续，但不可导。01)(xxf 解 ， ， ，0)(f)(limfx 01lim)(li0xfxx即 ，所以 在 处连续。lix又因为 )1(lili0)(li)( 000 xxxff xx所以 在 处不可导。2设 （ ） ，其中 在 处连续，证明： 在 处)(sin)(0gxf1)(g0(f0x可导。证 00sin(limli00 xgxfxx （本科） 微积分练习三答案 10)()sin()(sin)(lim0010 xgxxgx在 处可导。)(xf0
