1、,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,某型号电视机的平均寿命 18000小时200小时,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,我们先介绍随机变量的数学期望.,在这些数字特征中，最常用的是,期望和方差,随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均概念.,我们从离散型随机变量的数学期望开始.,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：
2、,某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？,我们来看第一个问题.,若统计100天,例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品
3、，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,这是 以频率为权的加权平均,由频率和概率的关系,不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,这样做是否合理呢？,不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:,有一个箱子，里面装有10
4、个大小，形状完全相同的球，号码如图.,规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.,记X为所取出的球的号码(对应废品数) . X为随机变量，X的概率函数为,对试验次数(即天数)n,及小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算,与,进行比较.,则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.,由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:,对于一个随机变量，若它可能取的值是X1, X2, , 相应的概率为 p1, p2, ,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值
5、接近,定义1 设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.,解: 设试开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,n,E(X),于是,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1b. 现在的问题是：a究竟应比b大多少，才能做到公正？,解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，,
6、依题意,解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，,为对双方公正,应有,依题意,E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)p,bp-aq=aq-bp=0,故,期望与风险并存数学家从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策,例如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)； 如经营工艺品，风险小但获利少(95会赚，但利润为1000元)究竟该如何决策？,所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高,于是计算期望值：,若经营西瓜，期望值E1=0.72000=1400元,而经营工艺品期望值E20.951000950元,我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,
