1、4.3(2)离散型随机变量的 期望与方差,选拔选手!,红,明,思考：选拔标准是什么？是不是看最高分？,资料表明：,运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,红,明,你能根据得分分布律来预测一下两位队员在比赛中的平均得分吗?,P(=3)n=,_次得3分,_次得4分,_次得9分,0.02n,0.04n,0.22n,P(=4)n=,P(=9)n=,则红n次比赛中总分数为,30.02n+40.04n+90.22n,=n(30.02+40.04+90.22),则n次比赛中平均分数等于：,30.02+40.04+90.22,=7.32,设进行n次 比赛,=E,E= 30.02+40.04+90.22 =7.3
2、2,40.11+50.03+100.01,小红胜出,=7.11,E=,如何确定一个随机变量的数学期望？,随机变量数学期望,一般地，若随机变量的概率分布律为,P(=x),则称,为随机变量的数学期望,它反映了随机变量取值的平均水平,或称随机变量的均值,它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数,加权平均数是不同比重数据的平均数,即是把原始数据按合理比例来计算平均数,说明： 1）“权”的英文是weight，表示数据的重要程度。即数据的权能反映数据的相对“重要程度”。2）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。,“加权”就是考虑到不同变量在总体中的比例
3、份额。,例2：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚中球的概率为0.7，求他罚一次的得分的期望。,解：运动员所得分数的概率分布律为,E=,00.3+10.7=0.7,步骤：,(1)列出相应的随机变量的概率分布律,(2)利用数学期望公式,0.3,0.7,一般地，若离散型随机变量的概率分布律为,则称,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,2)期望与算术平均值是有差异的,是概率意义下的平均。,3)E是一个实数,由的分布律唯一确定，,即随机变量是可变的，,而E是不变的。,即随机变量取值与相应概率值乘积的和。,说明,为随机变量的数学期望,或称随机变量的均值,1.随机抛一个骰子
4、，求所得的点数的期望。,解：抛掷 骰子所得点数的概率分布律为,练习：,2.一种填字彩票，彩民花一元买一张小卡，购买者在卡上填10以内的三个数字（可重复），如果三个数字一次与开奖的三个有序的数字分别相等，得奖金600元，只要有一个数字不符（大小或次序），无奖金，求购买一张彩票收益的期望。,解：彩民所得收益的概率分布律为,E=,5990.001+（-1）0.999=,0.001,- 0.4,599,-1,0.999,练习：,3.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止,否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数的期望
5、(结果保留三个有效数字),解：抽查次数的分布律为,0.15,=5.35,E=10.15+2 +10,解:(1)购买一注 “双色球”福利彩票的收益为随机变量,0.0671,0.9329,例3：现有两种彩票，求购买一注的期望收益 （1）“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元； （2）“天天彩”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为1%，一注彩票的奖金额为50元,(2)购买一注 “天天彩”福利彩票的收益为随机变量,0.01,0.99,例3：现有两种彩票，求购买一注的期望收益 （1）“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平
6、均奖金额为14.9元； （2）“天天彩”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为1%，一注彩票的奖金额为50元,（3）同时购买两种彩票各一注，期望收益是多少 ？,-1.00021元,-1.5元,(3)同时购买两种彩票各一注的收益为随机变量,例3：现有两种彩票，求购买一注的期望收益 （1）“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元； （2）“天天彩”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为1%，一注彩票的奖金额为50元,（3）同时购买两种彩票各一注，期望收益是多少 ？,推 广,数学期望的性质1,-1.00021元,-1.5元,-2.50021元,数学期望的
7、性质,例3：现有两种彩票，求购买一注的期望收益 （1）“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元； （2）“天天彩”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为1%，一注彩票的奖金额为50元,（3）同时购买两种彩票各一注，期望收益是多少 ？,（4）购买“双色球”彩票5注，期望收益是多少 ？,-1.00021元,-1.5元,(4)购买 “双色球”福利彩票5注的收益为随机变量,小结：,1、数学期望的含义：,3、求期望的步骤 ：,(1)列出相应的随机变量的概率分布律,(2)利用数学期望公式,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,2、数学期望公式：,例4:两名射
8、手在同一条件下进行射击，分布列如下:,射手红,射手明,用击中环数的期望分析比较两名射手的射击水平,E1=,8x0.2+9x0.6+10x0.2,=9,E2=,8x0.4+9x0.2+10x0.4,=9,该怎么办呢?,说明随机变量的均植即数学期望并不能表示随机变量取值的全部特征,一般地，若随机变量的概率分布律为,则称,为随机变量的方差。,随机变量的方差的概念,它反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散程度。,例4:两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下:,射手小红,射手小明,用击中环数的期望分析比较两名射手的射击水平,E1=,8x0.2+9x0.6+10x0.2,=9,D1=,(89)2x0
9、.2 + (9 9)2x0.6 + (10 9)2x0.2,=0.4,E2=,8x0.4+9x0.2+10x0.4,=9,D2=,(89)2x0.4+ (9 9)2x0.2+ (10 9)2x0.4,=0.8,由上知,E1= E2，,D1D2,随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。,例5： 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？,商场促销问题,解：设商场在商场外的促销活动中
10、获得经济效益为 万元，则 的分布律为,E = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元,故应选择在商场外搞促销活动。,2万,例5： 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？,商场促销问题,变式1：若下雨的概率为0.6呢?,在商场外获利的数学期望为1.6万2万,故应选择在商场内搞促销活动。,商场促销问题,变式2:下雨的概率为多少时，在商场内、外搞促销没有区别。,例5： 假如你 是一位商场经理
11、，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？,例6.目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事故频频发生。据统计，一年 中一辆车受损的概率为0.03.现保险公司拟开设 一年期租车保险,一辆车一年的保费为1000元,若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿3000元,求保险公司收益的期望。,解：保险公司收益的概率分布律为,答:,变式：若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的7%，则保险公司应将最大赔偿金额定为多少元？,E = 10000.03a0.07a,得a10000,答:保险公司最大赔偿金额定为10000元。,
