1、1,2019/4/11,概率论与数理统计 第14讲,2,2019/4/11,概率论发展初期：分赌本的问题 甲乙各出同等数目的赌注,比如说1元，然后进行博弈。每一局甲或乙胜的概率均为0.5,二人约定谁先胜a局，谁取走2元。甲胜b次，乙胜c次 两人继续赌下去，至多不超过a-b+a-c-1次见分晓。设a=4,b=2,c=1， 16局可能： 甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙甲甲乙 乙甲乙甲 乙乙甲甲 甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙,3,2019/4/11,第四章 随机变量的数字特征,通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事 更关心用一
2、些数字来表示随机变量的特点 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数.,4,2019/4/11,1 数学期望,数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征,英文是expectation, 另一种叫法为均值(mean or everage value),5,2019/4/11,例:假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其岁数, 则观察到的岁数X为一随机变量, 不难求出X的分布律如下表所示.,6,2019/4/11,计算学生的平均年龄: 第一种办法,7,2019/4/
3、11,第二种办法：统计平均值对随机变量X(年龄)进行n次重复试验, 每次抽查一个人，而获得了18,19,20这三个年龄的次数分别为n18, n19, n20次,8,2019/4/11,当然, 统计平均值X与准确计算的平均值E(X)还可能有差距, 但是当试验次数趋向于无穷时, 统计平均值X就趋近于数学期望E(X)了.,9,2019/4/11,定义 假设离散型随机变量X有概率函数PX=xk=pk (k=1,2,.), 若级数,绝对收敛, 则称这级数为X的数学期望, 简称期望或均值, 记为E(X), 即,10,2019/4/11,级数 绝对收敛, 是因为当X只取有限多个值时 不存在是否收敛的问题，而
4、当X取可列无穷多个值的时候， 是一个无穷级数。一方面在分布律中任意交换xi的先后次序，并不改变X的分布;另一方面若X的数学期望E(X)是存在的,任意交换 中xipi的先后次序，而保持级数的和不变，则由无穷级数的性质，在该级数绝对收敛时，才能做到这一点。,11,2019/4/11,例1 若X服从0-1分布, 其概率函数为PX=k=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求E(X)。 解 E(X)=0(1-p)+1p=p,“平均”的含义,12,2019/4/11,数学期望表征的是随机变量取值的“平均”，这一平均不是简单的算术平均，而是加“权”平均,如上例为：0(1-p)+1p,值0,1的“权”是不
5、一样的，这“权”就是它们对应的概率。数学期望具有非常重要和直观的实际意义，如我国北方的年平均气温低于南方的年平均气温。,13,2019/4/11,例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用X, Y表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两射手的技术.,解 E(X)=10.4+20.1+30.5=2.1E(Y)=10.1+20.6+30.3=2.2 这表明, 如果进行多次射击, 他们得分的平均值分别是2.1和2.2, 故乙射手较甲射手的技术好.,14,2019/4/11,例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种, 相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06, 及0.04,
6、若其产值分别为6元,5.4元, 5元,4元及0元. 求产品的平均产值.,解: 产品产值X是一个随机变量, 其分布如下表:因此, E(X)=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04=5.48(元),15,2019/4/11,连续型随机变量,16,2019/4/11,现在来讨论连续型随机变量.在实际应用中, 严格地讲是不存在连续型随机变量的, 尤其是在经济学领域, 现在广泛采用计算机来存储数据, 而计算机是无法存储一无限不循环小数的, 因此实际上的值只能是有限多个. 而之所以还使用连续型随机变量, 是因为它构成了很好的对非常密集的离散型随机变量的近似.此外, 我们也可以反过来用离散
7、型随机变量来近似连续型的随机变量.,17,2019/4/11,假设连续型的随机变量X的概率密度为f(x),PxkXxk+1近似PX=xk,18,2019/4/11,假设连续型的随机变量X的概率密度为f(x),当试验的结果是落在第k个小区间里时, 近似认为是X等于此小区间的端点xk的事件发生了, 这样就将PX=xk转化为了f(x)dx, 如果dx的值越小, 这样的近似越准确.,19,2019/4/11,在这种情况下我们计算X的数学期望, 可得,20,2019/4/11,定义 设连续型随机变量X有概率密度f(x), 若积分,21,2019/4/11,例4 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量X
8、的数学期望. 解 依题意,22,2019/4/11,随机变量函数 的数学期望随机变量X的分布已知,Y是X的函数,Y=g(X),需要求E(Y),即Eg(X).,23,2019/4/11,一维随机变量X的函数g(X)的数学期望.数学期望总是可以通过对X进行反复试验来近似获得, 试验n次得到了n个数,将这n个数进行算术平均就得到了E(X)的近似值, 当n趋于无穷时这就成为准确值. 假设这n个数中有n1个是取值为x1的, n2个是取值为x2的, ., 等等, 那么看作是对g(X)的试验, 也就是有n1个是取值为g(x1)的, n2个是取值g(x2)的, ., 因此按照对g(X)进行反复试验的统计就有,
9、24,2019/4/11,一维随机变量X的函数g(X)的数学期望.对X进行反复试验来近似获得,25,2019/4/11,当X为连续型的随机变量时, 假设概率密度为f(x), 则我们也可以用前面的办法用很小的区间宽度dx将其划分为xk, k=-1,0,1,2,.近似为离散型随机变量, PX=xk=f(x)dx, 假设进行了n次试验, 取值xk的有nk个, 则从对g(X)进行试验的观点看即取值为g(xk)的有nk个, 则,26,2019/4/11,当X为连续型的随机变量时, 用前面的办法，假设进行了n次试验, 取值xk的有nk个, 则从对g(X)进行试验的观点看即取值为g(xk)的有nk个, 则,
10、27,2019/4/11,无须求g(X)的分布因此极大地简化了数学期望的计算,28,2019/4/11,二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望X,Y为离散型的情况, 这时候有 P(X=xi,Y=yj)=pij,做了n次试验, 得到n组数, 假设正好取值为(xi,yj)的试验共发生了nij次, 则相应地从函数g(X,Y)的角度看即是g(xi,yj)发生了nij次, 因此,29,2019/4/11,再假设X,Y为连续型, 其概率密度为f(x,y)可以用两个很小的正数dx,dy将整个平面划分为格形, 如果试验结果落在某个格内就认为是X,Y取格的中心坐标xi,yj的事件发生了, 当然, 这
11、样的事件发生的概率近似为f(xi,yj)dxdy. 现n次重复试验落在(xi,yj)的次数为nij, 对g(X,Y)的数学期望进行统计得:,30,2019/4/11,二维随机变量X,Y的函数g(X,Y)的数学期望的公式为:,避免了求二维随机变量的函数的分布,31,2019/4/11,例5 二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下, Z=XY,求E(Z).,解： E(Z)=E(XY)=010.1+ 020.2+030.3+110+ 120.3+130.1=0.9,32,2019/4/11,例6 设随机变量(X,Y)的联合概率密度如下,求E(X+Y).,33,2019/4/11,数学期望的定义 数学
12、期望的实际意义 随机变量函数的期望的4个结论 数学期望的性质并归纳求数学期望的几种方法。,34,2019/4/11,数学期望的性质,常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c. 证 常量c可以看作是以概率1只取一个值c的随机变量, 所以 E(c)=c1=c,35,2019/4/11,(2) 随机变量X与常量c之和的数学期望等于X的期望与这个常量c的和, E(X+c)=E(X)+c 证 令Y=g(X)=X+c, 则,36,2019/4/11,(3) 常量c与随机变量X的乘积的数学期望等于这个常量与此随机变量的期望的乘积, E(cX)=cE(X) 证 令Z=g(X)=cX, 则,37,2019/
13、4/11,随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数, 即 E(kX+c)=kE(X)+c 证明: E(kX+c)=E(kX)+c=kE(X)+c,38,2019/4/11,(5) 两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 证 设g(X,Y)=X+Y, 则,39,2019/4/11,这个性质可推广到任意有限个随机变量的情况, 即对于n2也同样有 E(X1+X2+Xn) =E(X1) +E(X2)+.+E(Xn) 特别地, n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量, 其期望值等于这n个随机变量期望的算术平均数.,40,201
14、9/4/11,(6) 两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积, 即 E(XY)=E(X)E(Y) 证 设g(X,Y)=XY, 则,41,2019/4/11,例7 两相互独立的随机变量X, Y的分布如下面两表所示, 计算E(X+Y)和E(XY),例8 计算上式的E(Y2)。 解7 E(X)=90.3+100.5+110.2=9.9E(Y) =60.4+70.6=6.6 则E(X+Y)=E(X)+E(Y)=9.9+6.6=16.5 且因X与Y相互独立, 因此E(XY)=9.96.6=65.34 解8 E(Y2)=620.4+720.6=43.8,42,2019/4/11,例9 有
15、一队射手共9人, 技术不相上下, 每人射击中靶的概率均为0.8; 进行射击, 各自打中靶为止, 但限制每人最多只打3次, 问平均需为他们准备多少发子弹? 解 设Xi表示第i名射手所需的子弹数目,X表示9名射手所需的子弹数目, 则X=X1+.+X9, 且Xi有如下分布律:,E(Xi)=1.24 E(X)=E(X1)+.+E(X9)=91.24=11.16 则最少需为他们准备12发子弹.,43,2019/4/11,例10 某种无线电元件的使用寿命X是一个随机变量, 其概率密度为,其中l0, 求这种元件的平均使用寿命.,44,2019/4/11,例11 据统计, 一位40岁的健康(一般体检未发现病症
16、)者, 在5年之内活着或自杀死亡的概率为p(0a). b应如何定才能使公司可期望获益; 若有m人参加保险, 公司可期望(平均)从中收益多少?,45,2019/4/11,解 设Xi表示公司从第i个参加者身上所得的收益, 则Xi是一个随机变量, 其分布如下:,公司期望获益为E(Xi)0, 而E(Xi) =ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p) 因此, aba(1-p)-1. 对于m个人, 获益X元,46,2019/4/11,在上面的例子中,例9和例11所用的方法具有典型性,是把一个随机变量表示为几个随机变量的和,再由数学期望的性质,计算数学期望。 数学期望的计算主要有以下几种方法： 1) 利用数学期望的定义； 2) 利用数学期望的性质； 3) 利用随机变量函数的期望； 4) 利用例9和例11的特殊方法。,47,2019/4/11,结束,
