1、4高中数学 第二章 推理与证明2.2.1综合法与分析法课堂探究新人教B版选修1-2探究一 应用综合法证明命题1 .综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是： A=B=B2=A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“，.”或“ 二.2 .综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规 律，才能保证结论的正确性.11【典型例题1 设数列an满足a1=0,且=二床=1.求an的通项公式;1 an+ 1 、一 rr(2)设 bn=圣 ,记 S= b1 + b2+
2、 bn,证明：Si 1.思路分析：(1)构造数列，7证明其是等差数列.1 an(2)对bn进行拆分，这1便于求出S,最后再与1进行比较.1111 =11 a1(1)解：由题设厂不二二a=1,知仁aJ是公差为1的等差数列an=1-1n(2)证明：由(1)得 bn =1 / an+1jn + 1 7 n 1,S=b1+b2+ bn = 1 -1- 1=1-j=（a+b）.思路分析：对a+bwo时的情形单独证明， 再用分析法证明a+b0时的情形，注意均 值不等式的正确使用.证明：当 a+bwo 时ab b20,-a + b 2a a+ b）成立.当a + b0时，用分析法证明如下：要证 Ja2+ b
3、2 潟 a+ b）, 2只需证（yja，+ b2）2 乎（a+b） 2,即证 a2+b22（a2+ b2+2ab）,即证 a2+b2n2ab.a2+b22ab对一切实数恒成立，1- a2 + b2 乎 a+ b）成立.综上所述，不等式得证.探究三分析法与综合法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P,若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立.一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明.【典型例题3】 在 ABC,若/ A： / B： / C= 4 ： 2 ： 1, a, b, c
4、分别为/ A, / B,11 1/C的对边.求证：一十1=二 a b c分析：已知条件是角的关系，求证的结论是边的关系，很难直接建立二者的关系，可结合正（余）弦定理进行证明.证明：设/ C= a ,则/ B= 2a, / A= 4 a ,且 a+2a+4a=7a = Tt.欲证:1 11a+ b- C可证：bc+ac = ab,即 ab bc=ac. ac因而只需证：c=?.下面我们考虑找出线段 a-c的关系来，可在 BC上取一点D,使AD=AB仰图）.由角的关系并注意到 7兀，可有DC=AD=AB=c故 BD=a-c.因而只需证BD=ac即可. b在4ABD中，由正弦定理，得 BD = AB
5、 ,csin 3：从而BD=sin 2 1又 7=兀，故 sin 3 a =sin 4, csin 4.：a ,故 BD= =2ccos 2 a .故只需证cos 2 a=a-即可.2ba b由于要证的结论中含有a, b,需考虑 ABC由正弦定理，有= ，由于sin 4： sin 2;sin 4 a =2sin 2 a cos 2 a .故有cos 2 a =,所以有+1 = 1 .2ba b c点评 本题将分析法与综合法交错使用，我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来， 那样会更简洁，但必须在分析之后.探究四易错辨析易错点1：忽视不等式性质的使用前提而致误【典型例题4】 求证： 木-邓 C小
6、-木.错误证法：要证 -乖小-乖,需证（啦如）2（。3m）2,需证7 2V10V9 218,需证2小0 22/18,需证寸18巾0V 1,需证 282/1801,需证 27 2/180, 需证729 720,这与事实不相符，故原不等式不成立.错因分析：av ga2V b2的前提是：a, b都是大于0的实数.由于没注意到这一点， 从而造成逻辑上的错误.正确证法：要证寸2。5木乖，需证 J2+ 乖 C木+乖，需证8+2ji2v8+25, 需证班#5,即证12V15,这是事实，故原不等式成立.易错点2:证明不等式却误用了结论本身而致误【典型例题5】 求证：y/2 + 52平.错误证法：#+V10v2y6,并且娘+ 产和2m都是正数，所以（出+严）2 （2m）2, 即12+4乖24, 乖3,所以5V9.因为5V9成立，所以不等式 淄十502，6成立.错因分析：把，2 + #0246看成了条件去推理，不符合分析法的要求.正确证法：因为 木十木0和246都是正数，所以要证 娘+ /246,只需证明（偿+30）2（2，6）2,展开，得 12 + 44524,即453,故只需证 5V9.因为5V 9显然成立，所以不等式 42 + 产2叱6成立.
