1、高中数学练习题 新人教 A 版选修 21如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1 F所截面而得到的，其中AB4, BC2, CC13, BE1（）求 BF 的长；（）求面AEC1F 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值（）求点 C 到平面 AEC1F 的距离 .2在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a, b, c . 已知向量 m2cos A ,sinA,22nAA求 cosA 的值 ; (2) 若 a2 3 , b 2, 求 c 的值 .cos , 2sin, m n1 . (1)223. 设 F1 ， F2分别为椭圆 C : x2y 21 (a b 0) 的左、
2、右焦点，过F2 的a2b2直线 l 与椭圆C相交于 A , B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 ， F1 到直线 l 的距离为 2 3 .（）求椭圆的焦距；（）如果AF22F2 B , 求椭圆 C的方程 .C4. 已知等差数列an满足： a37 ， a5a726 ， an 的前 n 项和为 Sn （）求 an 及 Sn ；（）令bn= an21 1 (n N * )，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 用心爱心专心11解： （I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B(2,4,0)A(2,0,0),C (0, 4,0), E(2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F
3、(0,0, z) . AEC1 F 为平行四边形，由 AEC1 F为平行四边形 ,由 AFEC1 得, (2,0, z) ( 2,0,2),z2.F (0,0,2).EF(2, 4,2).于是 | BF |2 6,即 BF的长为 26.（ II ）设 n1 为平面 AEC1F 的法向量，显然 n1不垂直于平面 ADF , 故可设 n1( x, y,1)由 n1 AE0,得 0 x 4 y 1 0n1AF0,2x0y 20即 4 y10,x1,0,1 ) 为平面 ABCD 的法向量，y1n1(1,14 ,1) n 2(0,2x 20,.4cos n1 , n243343333所以面 AEC1F
4、与底面 ABCD 所成二面角的余弦值为33（）由上一问求得n1(1,41 ,1) 又CC1( 0,0,3), 设 CC1与n1 的夹角为，则cosCC1n13433.| CC1 | n1 |13331116 C 到平面 AEC1F 的距离为 d| CC1 | cos3433433 .3311（ dCC1 n134 33 .）| n1 |11111162. 解 : m2cos A ,sin A, ncos A ,2sin A, m n1 ,2222 2cos 2A2sin 2A1. cos A1.(2)解 :由 (1) 知 cos A1, 且 0 A,2222用心爱心专心2A2. a2 3, b
5、 2 ,由正弦定理得ab, 即2323sin Asin B2,sinsin B3 sin B1 0B, BA B.CAB. cb2 .2663.解：（）设焦距为2c ，由已知可得 F1 到直线 l 的距离3c23, 故 c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.（）设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知 y1 0, y20, 直线 l的方程为 y3( x2).y3( x2),联立x2y2得 (3a2b2 ) y243b2 y3b40.1a2b2解得 y13b2 (2 2a) , y23b2 (22a). 因为AF2F B,所以y2 y.3a223a222212bb即3b2 (2
6、2a)23b2 (2 2a) .得 a3.而 a2b24,所以 b5.3a2b23a2b2故椭圆 C 的方程为 x2y21.954.【解析】（）设等差数列an 的公差为 d，因为 a37 ， a5a7 26 ，所以有a12d7，解得 a13,d2 ，2a110d26所以an321)=2n+1； Snn(n-1)2（ n= 3n+22 = n +2n 。（）由（）知an2n+1 ，所以 bn=1=11= 11=1( 1 -1 ) ，an21 （2n+1) 24n(n+1)4nn+1所以 Tn = 1 (1- 1 + 11 + + 1 - 1 ) = 1 (1- 1 )=n，4223nn+14n+14(n+1)即数列 bn的前 n 项和 Tn =n。4(n+1)用心爱心专心3
