1、【物理】物理万有引力定律的应用专项一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为 3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？【答案】 （1） 2R ， 16R （ 2）速度之比为2 ；8Rgg7g【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力
2、做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（ 1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，对地面上的物体由黄金代换式G MmmgR2GMm4 2a 卫星R2m Ta2 R解得 Ta2Rgb 卫星 GMmm 4 24R(4 R)2Tb2解得 Tb16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，GMmmva2a 卫星R2R解得 vaGMRb 卫星 b 卫星 G Mmm v2(4 R)24R解得 v bGM4RVa2所以Vb2 2（ 3）最远的条件 Ta Tb解得 t8R7g2 一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为 G，行星半径为求：(1
3、)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度g ；(3)行星的第一宇宙速度v【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出 :(3)在行星表面求出 :【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力32019 年 3 月 3 日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走 ”即将收官，我国对月球的探索将进人新的征程。若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。(1)已知地球表面处的重力加速度为 g，地球半径为 R，月心地心间的距
4、离为 r，求月球绕地球一周的时间 Tm；(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间Tm27.4d，地球绕太阳运动的周期Te 365d， 求地球上的观察者相继两次看到满月满月的时间间隔t 。【答案】 (1) Tm 2r 32 (2)29.6gR【解析】【详解】（ 1）设地球的质量为 M ，月球的质量为 m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则2Mm2G2mrrTm地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则GMm 0m0 gR2Tmr 3解得2gR2（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2 ，即mt2et而2mTm2e
5、Te解得t29.6天4 一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3R已知 R 为地球半径，地球表面处重力加速度为（ 1）求该卫星的运行周期（ 2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度0某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？3RVt2g【答案】（ 1） T6（2）1g33R0【解析】【分析】【详解】（1）对卫星运用万有引力定律和牛顿运动定律可得G Mm m 4 23R3R2T2地球表面的物体受到重力等于万有引力mg G MmR2联立解得 T63R；g（ 2）以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方
6、时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少 21t -0t=2，222Vtg；所以1021T0033R5 一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，离地高度为h已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G求：（ 1）地球的质量；（ 2）卫星绕地球运动的线速度 .【答案】 （1） gR2（2） RgGR h【解析】【详解】（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：GMmR2 mg解得：gR2MG（2）根据GMmmv2其中MgR2， r=R+hr 2rG解得vgRRh6 我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030 年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员
7、在月球上着陆后，自高h 处以初速度v0 水平抛出小球，测量出小球的水平射程为 L(这时月球表面可以看成是平坦的 )，已知月球半径为 R，万有引力常量为 G。(1)试求月球表面处的重力加速度g.(2)试求月球的质量M(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T，试求月球的平均密度 .2223【答案】（ 1）g2hv0（ 2）M2hv0 R（ 3）2L2GL2GT【解析】【详解】（1）根据题目可得小球做平抛运动,水平位移 : v0t=L1gt2竖直位移 :h=2联立可得 : g2hv02L2（2）根据万有引力黄金代换式G mMmg ，R2gR22hv02 R2可得 MGL
8、2G（3）根据万有引力公式G mM m 42R ；可得 M4 2R3，R2T 2GT 2而星球密度M , V4 R3V3联立可得3GT 27 某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G 不考虑阻力和行星自转的因素，求：（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度【答案】 (1) R =GMv02（ 2） h2gg【解析】（1）对行星表面的某物体，有：mgGMm-R2得： R =GMg（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：0v022gh得： hv022g8
9、我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、 M2 ( 万有引力常量为 G)试计算：12双星的轨道半径双星运动的周期M 2L，M 1L ；2 ?2 LL【答案】 1 ?M 2；M 1 M 2M 1G M 1 M 2【解析】设行星转动的角速度为，周期为T1 如图，对星球 M 1 ，由向心力公式可得：G M 1 M 2M 1 R12L2同理对星 M 2，有： G M 1M 2M 2R 2 2L2两式相除得：R1M 2 ，R 2M 1( 即轨道半径与质量成反比 )又因为 L R 1 R 2所以得：
10、R 1M 2L ， R 2M 1LM 1M 2M 1 M 22 有上式得到： 1G M 1M 2LL因为 T2T2LL，所以有：G M 1 M 2答： 1双星的轨道半径分别是M 2L ， M 1L ；M 1 M 2M 1 M 22 双星的运行周期是2LLG M 1M 2点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期9 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重
11、力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。10 已知某行星半径为 ，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为同步卫星的运行速度为 .求，该行星上发射的（ 1）同步卫星距行星表面的高度为多少？（ 2）该行星的自转周期为多少？【答案】（ 1）（ 2）【解析】【分析】【详解】（1）设同步卫星距地面高度为，则：，以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R，则联立解得：（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期
