1、高考物理万有引力定律的应用提高训练及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间 t 的变化规律如图乙所示 F1 、F2 已知，引力常量为G，忽略各种阻力求：（ 1）星球表面的重力加速度；（ 2）卫星绕该星的第一宇宙速度；（ 3）星球的密度F1F2（ 2）( F1 F2 ) RF1 F2【答案】 （1） g6m(3)6m8 GmR【解析】【分析】【详解】（1）由图知：小
2、球做圆周运动在最高点拉力为 F2，在最低点拉力为 F1 设最高点速度为 v2 ，最低点速度为 v1 ，绳长为 l在最高点： F2mgmv22l在最低点： F1mgmv12l由机械能守恒定律，得1mv12mg 2l1mv2222由，解得gF1 F26mGMm（2）R2mgGMmmv2R2=R两式联立得：v=(F1 F2 )R6mGMm（3）在星球表面：R2mg星球密度：MV由，解得F1F28 GmR点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由
3、密度公式求出星球的密度2 已知地球的自转周期和半径分别为T 和 R，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h卫星 B沿半径为 r（ rh）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同求：（ 1）卫星 B 做圆周运动的周期；（ 2）卫星 A 和 B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）【答案】 （1） ( r ) 3/2 T（ 2）r 3/2(arcsinR +arcsinR )T(h3/2r 3/2h)hr【解析】试题分析：（ 1）设卫星 B 绕地心转动的周期为 T，地球质量为 M ，卫星 A、 B 的质量分别为 m、 m，根据万有引力定律和圆周运动的规律有：G Mm
4、 mh 4 2h2T 2Mm4 2G mrr 2T 2联立 两式解得： T ( r )3/2 T h（2）设卫星 A 和 B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔t，在时间间隔t 内，卫星 A 和 B绕地心转过的角度分别为tt和，则： 2， 2 TT若不考虑卫星 A 的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B 的位置应在下图中B 点和 B点之间，图中内圆表示地球的赤道由图中几何关系得： BOB 2（ arcsin R arcsin R ） hr由 式知，当rh 时，卫星B 比卫星 A 转得快，考虑卫星A 的公转后应有：BOB由式联立解得： t r 3/2r 3/2 )（ arcsin R arcsin
5、R ） T( h3/2hr考点：本题主要考查了万有引力定律的应用和空间想象能力问题，属于中档偏高题3 一宇航员登上某星球表面，在高为2m 处，以水平初速度5m/s抛出一物体，物体水平射程为 5m ，且物体只受该星球引力作用求：（ 1 ）该星球表面重力加速度（ 2 ）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍【答案】（ 1 ） 4m/s 2 ；（ 2） 1 ；10【解析】（1）根据平抛运动的规律：xv0t得 t x 5 s1s v0 5由 h 1 gt22得： g 22h 2 2 2 m / s24m / s2t1G M 星 m（2）根据星球表面物体重力等于万有引力：m
6、gR星2G M 地 m地球表面物体重力等于万有引力：mgR地2M 星gR星241)21则2 =(210M 地g R地10点睛：此题是平抛运动与万有引力定律的综合题，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；知道平抛运动的研究方法和星球表面的物体的重力等于万有引力4 木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v0 时，上升的最大高度可达 h已知艾奥的半径为R，引力常量为G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：（1）艾奥表面的重力加速度大小g 和艾奥的质量M；（ 2）距艾奥表面高度为 2R 处的重力加速度大小 g；（ 3）艾奥的第一宇宙速度 v【答案】（ 1） MR2v02
7、；（ 2） g2hGv2R0 ；（ 3） vv018h2h【解析】【分析】【详解】（1）岩块做竖直上抛运动有22gh ，解得 gv020 v02h忽略艾奥的自转有GMmmg ，解得MR2 v02R22hG（2）距艾奥表面高度为 2RGMm2 m g ，解得 g v02处有2R)18h(R（3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时mg mv2，解得vRRv0 2h【点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式Mmv2m2r4 2G2mm2 r ma 在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后rrT弄清楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所
8、以需要细心计算5 人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20 余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。(2)天文观测发现，在银河系
9、中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为 T，两颗恒星之间的距离为 d，引力常量为 G。求此双星系统的总质量。(3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，由全球 200 多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。同学们在查阅相关资料后知道：黑洞具有非常强的引力，即使以8310m/s 的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。地球的逃逸速度是第一宇宙速度的2 倍，这个关系对于其他天体也是正确的。地球质量2422me =6.0 10kg，引力常量G= 6.67
10、101N?- m / kg。请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）【答案】 (1)r 3Gms4 2 d 3-3T24 2 (2)GT 2(3) 9m10【解析】【详解】设太阳质量为 ms，地球质量为 me，地球绕太阳公转的半径为 r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力根据万有引力定律和牛顿运动定律G msme42mrr 2e T 2解得常量r 3GmsT 242设双星的质量分别为 m1、 m2 ，轨道半径分别为r1
11、、 r2根据万有引力定律及牛顿运动定律m mm14 2G 12 2T2r1dG m1m2m4 2rd 22T 22且有r1 +r2d双星总质量m总 =m1 m242d 3GT 2设地球质量为 me，地球半径为R。质量为 m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为 v1由万有引力定律和牛顿第二定律Gm mv2em 1R2R解得Gmev1R逃逸速度2Gmev2R假如地球变为黑洞v2c代入数据解得地球半径的最大值-3R=9 10m6 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直
12、线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G， 则 :（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?【答案】（ 1） 4L3（ 2）3Gm5Gm3L【解析】【分析】（ 1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；（ 2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度；【详解】（ 1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万
13、有引力的合力等于向心力，则：Gm2Gm222(2 L)2L2m( T ) LL3T45Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗星，满足： 2 Gm22Lcos30m ( 2 )Lcos30解得：=3Gm3L7 从在某星球表面一倾角为的山坡上以初速度v0 平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上已知该星球的半径为R，一切阻力不计，引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度的大小g（ 2）该星球的质量 M2v0 tan2v0 R2 tan【答案】 (1)(2)tGt【解析】【分析】（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度（2）物体在小球
14、的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出【详解】（1）物体做平抛运动，水平方向：x v0t ，竖直方向： y1gt 22由几何关系可知：ygttan2v0x解得： g2v0 tantMmmg（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：GR2可得： MgR22v0R 2tanGGt【点睛】本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用8 某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有
15、引力常量为G 不考虑阻力和行星自转的因素，求：（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度【答案】 (1)GMv02R =（ ） h22gg【解析】（1）对行星表面的某物体，有：mgGMm-R2GM得： R =g（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：0v022ghv02得： h2g9 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的
16、周期为 T 4 2( h R) 3【答案】 lgT【解析】【分析】【详解】设卫星周期为 T1 ,那么 :GMm4 2m( R h), ( R h)2T12又MmG R2mg , 由得T12( h R) 3R.g设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则Tl2R .T1所以2 RT14 2(h R)3lT.Tg【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根
17、据弧长与圆心角的关系求解10 2003 年 10 月 15 日，我国神舟五号载人飞船成功发射标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平飞船在绕地球飞行的第5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求：(1)地球的质量；(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期TgR 2(R h)3【答案】 (1) M(2) T 2GgR2【解析】【详解】Mm(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有G R2mggR2解得： MG(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r，则据题意有：rR hMm2飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：4Gr 2m T 2 r( Rh)3解得：T2gR2
