1、【物理】物理万有引力定律的应用提高训练及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 载人登月计划是我国的“探月工程 ”计划中实质性的目标假设宇航员登上月球后，以初速度 v0 竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t. 已知引力常量为G，月球的半径为 R，不考虑月球自转的影响，求：(1)月球表面的重力加速度大小g月 ；(2)月球的质量 M；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.【答案】 (1)2v0； (2)2R2v0； (3)2RttGt2v0【解析】【详解】(1) 小球在月球表面上做竖直上抛运动，有2v0tg月月球表面的重力加速度大小g月2v 0t(2)
2、 假设月球表面一物体质量为m，有MmG R2 =mg月月球的质量M2R2v0Gt(3) 飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有Mm2m2GRR2T飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期RtT22v02 一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3RR为地球半径，地球已知表面处重力加速度为（ 1）求该卫星的运行周期（ 2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度0某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？3Rt2【答案】（ 1） T6Vg（2）1g033R【解析】【分析】【详解】（1）对卫星运用万有引力定律
3、和牛顿运动定律可得G Mm m 4 23R3R2T2地球表面的物体受到重力等于万有引力mg G MmR2联立解得 T63R；g（ 2）以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少 21t -0t=2，222Vtg；所以1021T0033R3 一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，离地高度为h已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G求：（ 1）地球的质量；（ 2）卫星绕地球运动的线速度 .【答案】 （1） gR2（2） RgGR h【解析】【详解】（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：GMmR2 mg解得：gR2MG（2）根
4、据GMmmv2其中MgR2， r=R+hr 2rG解得vgRRh4双星系统由两颗彼此相距很近的两个恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的共同质量中心做周期相同的匀速圆周运动。现有一个天文观测活动小组为了测量一双星系统中的两个恒星的质量m1 和 m2，进行了如下测量：测出了该双星系统的周期T 和质量为 m1 和 m2 的两个恒星的运动半径r1 和 r2。是根据上述测量数据计算出两个恒星的质量 m1 和 m2。（万有引力恒量为 G）【答案】，【解析】试题分析：根据万有引力定律得：，解得：，考点：考查了万有引力定律的应用5 如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在
5、引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的两侧，引力常量为 G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和 B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,r=mL3【答案】 （1） R=L,（ 2） 2mm MmMG M【解析】（1）令 A 星的轨道半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L r R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：mM4 24 2GL2mR T 2MrT 2可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）
6、根据（ 1）可以得到 ： GmMm4 242ML2T2 Rm2MLTm42L32L3则： TMm GG mM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 6 据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地 ”行星 . 假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星 “北极 ”距该行星地面附近 h 处自由释放 - 个小球 ( 引力视为恒力 ) ，落地时间为 t. 已知该行星半径为 R，万有引力常量为 G，求：1 该行星的第一宇宙速度；2 该行星的平
7、均密度【答案】 12h R ?2 ? 3ht22Gt 2 R【解析】【分析】根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求M出质量与运动的周期，再利用，从而即可求解V【详解】1 根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度h1 gt 22解得： g2ht 2则由 mgm v2R求得：星球的第一宇宙速度vgR2h2R ，t2 由 GMm2hR2 mg mt2有： M2hR2Gt 2M3h所以星球的密度2Gt 2 RV【点睛】本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解7 在月球表面上沿竖直方向以初速度已知该
8、月球半径为R，万有引力常量为v0 抛出一个小球，测得小球经时间G，月球质量分布均匀。求：t 落回抛出点，(1)月球的密度 ；(2)月球的第一宇宙速度。【答案】（ 1）3v02v0R（ 2） vt2RGt【解析】【详解】(1) 根据竖直上抛运动的特点可知：v01 gt 02所以： g= 2v0tGMm设月球的半径为R,月球的质量为M, 则：mg体积与质量的关系：MV4R33联立得：3v02 RGt（ 2）由万有引力提供向心力得GMmmv2R2R解得 ; v2v0 Rt综上所述本题答案是：（3v02v0 R1）（ 2） v2 RGtt【点睛】会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一
9、宇宙速度等于vgR 。8 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星
10、运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。9 设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x，已知弹簧的劲度系数为k，火星的半径为R，万有引力常量为 G，忽略火星自转的影响。（ 1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；（ 2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。【答案】（ 1） g= kx， M= kxR 2； （ 2） v=kxR ，2 mRmGmmkx【解析】【详解】（1）物体静止时由平衡条件有: mg=kx，所以火星表明的重力加速度g= kx ；在火星表面m重力由万有引力产生：mg=
11、G mM ，解得火星的质量M= kxR 2。R2Gm（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg=m v2，解得卫星的线速度v= kxR ；Rm2R近地卫星的周期 T=2 mR 。vkx10 据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“ ”宜居 行星假设该行星质量约为地球质量的6 倍，半径约为地球半径的2 倍若某人在地球表面能举起60kg 的物体，试求：（ 1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？（ 2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？【答案】 （1） 40kg（2） 3 倍【解析】【详解】（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举起的物体重力相同，故有：GM 地 m mg地m g行 GM 行mR地2R行2；所以，m M 地R行21 240kg；M 行R地2m260kg6（2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：GMm mv2R2R所以， vGM；所以， v行 M 行R地 61 3；Rv地M 地R行2
