1、v=（R+h1） ，高中物理专题汇编物理万有引力定律的应用( 一)一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使 21 世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010 年诺贝尔物理学奖用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯 ”的梦想有望在本世纪实现科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换 （1）若“太空电梯 ”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1 的同步轨道站，求轨道站内质量为 m1的货物相对地心运动的动能设地球自转的角速度为，地
2、球半径为 R（2）当电梯仓停在距地面高度h 2=4R 的站点时，求仓内质量m2=50kg 的人对水平地板的压力大小取地面附近的重力加速度2-5g=10m/s ，地球自转的角速度 =7.3 10rad/s，地球半3径 R=6.410km【答案】 （1） 12(R h1 )22 m1；（ 2）11.5N【解析】试题分析：（ 1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，根据轨道半径求出轨道站的线速度，从而得出轨道站内货物相对地心运动的动能（ 2）根据向心加速度的大小，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出人对水平地板的压力大小解：（ 1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，则轨道站的线速度货物相
3、对地心的动能（2）根据，因为 a=，联立解得N= 11 5N根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为115N2 探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，我国航天事业向更深更远的太空迈进。（ 1） 2018 年 12 月 27 日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共 35 颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为 h，地球质量为 Me，地球半径为 R，引力常量为 G。a.求该同步卫星绕地球运动的速度v 的大小；b.如图
4、所示， O 点为地球的球心，P 点处有一颗地球同步卫星，P 点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h= 5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？（cos81= 0.15, sin810.99）（2）今年年初上映的中国首部科幻电影流浪地球引发全球热议。根据量子理论，每个光子动量大小phh（为普朗克常数，为光子的波长）。当光照射到物体表面时将产生持续的压力。设有一质量为m 的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。已知引力常量为 G，光速为 c，太阳质量为 Ms，太阳单位时间辐射的总能量为E。若以太阳光对飞行器光帆的
5、撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器”。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的最小面积 s0。（忽略其他星体对飞行器的引力）【答案】（1） a. vGM eb至少需要 3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行Rh器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积s0【解析】【详解】（1） a设卫星的质量为 m。由牛顿第二定律 GM em2m v2，R hRhGM e得 vhRb如答图所示，设P 点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2，至少需要 N 颗地球同步卫星才能覆盖全球。由直角三角形函数关系 cosR， h= 5.6 R
6、，得 = 81。Rh所以 1 颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2 =162 N 360 =2.22所以， N = 3，即至少需要3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，当飞行器与太阳距离为r 时，光帆受到太阳光的压力 F 与太阳对飞行器的引力大小关系，有M smF G2r设光帆对太阳光子的力为F，根据牛顿第三定律F = F设t 时间内太阳光照射到光帆的光子数为n ，根据动量定理：F t2n ht 时间内太阳辐射的光子数为N，则 NEt设hc设光帆面积为s， nsN4 r 2当 F =G M sm时，得最小面积 s02 cGM smr 2E由
7、上式可知， s0 和飞行器与太阳距离 r 无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积 s0。3 牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都被赋予了相互引力的原理”任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力定律F万 =G m1m2计r 2算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为 Ep =-G m1m2，其中 m1、m2 为两个物体的质量， r 为两个质r点间的距离（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离），G 为引力常量设有一个质量分布均匀的星球，质量为M，半径为 R（ 1）该星
8、球的第一宇宙速度是多少？（ 2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式类比电场强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强度是多大？（3）该星球的第二宇宙速度是多少？（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q（该带电实心球可看作电荷集中在球心处的点电荷），半径为R， P 为球外一点，与球心间的距离为r，静电力常量为 k现将一个点电荷 -q（该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近移动到 p 点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功【答案】（ 1）v1GM ；（ 2） E引 =G M；（ 3）v22GM ；
9、（ 4）RR2RW kQq( 11 )rR【解析】【分析】【详解】(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为v1 ，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力G mMm v12R2R解得： v1GM ；RF(2)电场强度的定义式Eq设质量为m 的质点距离星球中心的距离为r，质点受到该星球的万有引力MmF引 =Gr 2F引质点所在处的引力场强度E引 =mM得 E引 =G r 2M该星球表面处的引力场强度E引 = G(3)设该星球表面一物体以初速度v2 向外抛出，恰好能飞到无穷远，根据能量守恒定律1 mv22G mM02R解得： v22GM ；R(4)点电荷 -q 在带电实心球表面处的电势能E
10、P1qQkR点电荷 -q 在 P 点的电势能EP 2qQkr点电荷 -q 从球面附近移动到P 点，电场力所做的功W( EP 2 EP1 )11解得： WkQq () 4 某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为 R1，周期为 T1，已知万有引力常量为 G。求：(1)行星的质量；(2)若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度大小；(3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，
11、其运动半径为R2，周期为 T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】 （1）根据万有引力提供向心力得：解得行星质量为：M=（2）由得第一宇宙速度为：（ 3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：所以行星和其他卫星的总质量M 总所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：M 点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体5 为了测量某行星的质量和半径,宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T,登陆舱在行星表
12、面着陆后 ,用弹簧测力计称量一个质量为 m 的砝码 ,读数为 F. 已知引力常量为 G.求该行星的半径 R 和质量 M 。【答案】；【解析】【详解】在星球表面时用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码,读数为F，则知登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T,则知结合以上两个公式可以求解出星球的半径为根据万有引力提供向心力可求得解得：综上所述本题答案是：；【点睛】登陆舱在该行星表面做圆周运动,根据牛顿第二定律列式;在星球表面,用弹簧称称量一个质量为m 的砝码读数为F,根据重力等于万有引力列式;联立求解出质量和半径;6 从在某星球表面一倾角为的山坡上以初速度v0 平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上已知
13、该星球的半径为R，一切阻力不计，引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度的大小g（ 2）该星球的质量 M2v0 tan2v0 R2 tan【答案】 (1)(2)tGt【解析】【分析】（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度（ 2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出【详解】（1）物体做平抛运动，水平方向：x v0t ，竖直方向： y1 gt 22ygt由几何关系可知： tan2v0x解得： g2v0 tant（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：GMmmgR2gR22v0R 2tan可得： MGtG【点睛】本题是一道万有引力定律应用与运动
14、学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用7 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L若抛出时的初速度增大到2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为 G，求该星球的质量M【答案】2 3LR 2M3Gt 2【解析】【详解】两次平抛运动，竖直方向h1 gt 2 ，水平方向 xv0t ，根据勾股定理可得：2L2h2( v t)2 ，抛出速度变为 2 倍：(3L )2h2(
15、2v0t )2 ，联立解得： h1 L ，032LG Mm2LR2g，在星球表面：mg，解得： M3t2R23t 2G8 某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G 不考虑阻力和行星自转的因素，求：（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度【答案】 (1) R =GMv02（ 2） h2gg【解析】（1）对行星表面的某物体，有：mgGMm-R2GM得： R =g（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方向为正方向，有：0v022gh得： hv022g9“嫦娥一号 ”探月卫星
16、在空中的运动可简化为如图 5 所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道 .已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和 R1，地球半径为r ，月球半径为 r1，地球表面重力加速度为g，月球表面重力加速度为.求：(1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小；(2)卫星在工作轨道上运行的周期.【答案】 (1)(2)【解析】（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度；物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得；（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有，在月球
17、表面上，有，得，联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期10 “神舟 ”十号飞船于 2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80 后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后 kF称为载荷值已知地球mg6g 9.8m/s2）的半径为 R 6.4 10m（地球表面的重力加速度为(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k 6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）(2)求地球的笫一宇宙速度；(3
18、)神“舟 ”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出 “神十 ”绕地球飞 行一圈需要的时间（2g）【答案】 (1) a 5g (2) v7.92 103 m/s (3)T=5420s【解析】【分析】(1)由 k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值【详解】(1)由即：k 6 可知， F 6mg ，由牛顿第二定律可得：6mg - mg maF- mg ma解得：a 5g(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，由万有引力提供向心力得：mgm v2R所以： vgR9.86.4 106 m/s7.92 103 m/s(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：G Mmm( 2 )2r 2T在地面上万有引力等于重力： G MmmgR242r 34 (6.7106 )3s 5420s解得： T2(6.462gR10 )【点睛】本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力
