1、高考物理易错题专题三物理万有引力定律的应用( 含解析 ) 含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间 t 的变化规律如图乙所示 F1 、F2 已知，引力常量为G，忽略各种阻力求：（ 1）星球表面的重力加速度；（ 2）卫星绕该星的第一宇宙速度；（ 3）星球的密度F1F2（ 2）( F1 F2 ) RF1 F2【答案】 （1） g6m(3)6m8 GmR【解析】【分析】
2、【详解】（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为 F2，在最低点拉力为 F1 设最高点速度为 v2 ，最低点速度为 v1 ，绳长为 l在最高点： F2mgmv22l在最低点： F1mgmv12l由机械能守恒定律，得1mv12mg 2l1mv2222由，解得gF1 F26mGMm（2）R2mgGMmmv2R2=R两式联立得：v=(F1 F2 )R6mGMm（3）在星球表面：R2mg星球密度：MV由，解得F1F28 GmR点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星
3、球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度2 已知某半径与地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的1 倍地球表面的重力加速度2为 g 在这个星球上用细线把小球悬挂在墙壁上的钉子O 上，小球绕悬点O 在竖直平面内做圆周运动小球质量为 m ，绳长为 L ，悬点距地面高度为 H 小球运动至最低点时，绳恰被拉断，小球着地时水平位移为 S 求：(1)星球表面的重力加速度？(2)细线刚被拉断时，小球抛出的速度多大？(3)细线所能承受的最大拉力？【答案】 (1)1(2) v0s2 g0(3)T1s2g星 = g04H L1 mg0442( H L) L【解析】【分析】【详解】2（1）由万有引力等于向心力可知
4、G Mmm vR2RMmGR2mg可得 gv2R则 g星 1 g0 4（2）由平抛运动的规律：HL1g星t22s v0t解得 vs2g004HL（3）由牛顿定律 ，在最低点时 ： Tmg星 m v2L解得 ： T1 12( Hs2mg04L )L【点睛】本题考查了万有引力定律、圆周运动和平抛运动的综合，联系三个问题的物理量是重力加速度 g0；知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键3 某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半
5、径为 R1，周期为 T1，已知万有引力常量为 G。求：(1)行星的质量；(2)若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度大小；(3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R2，周期为 T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。【答案】 （1）（ 2）（ 3）【解析】 （1）根据万有引力提供向心力得：解得行星质量为：M=（2）由得第一宇宙速度为：（ 3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：所以行星和其他卫星的总质量M 总所以靠近
6、该行星周围的众多卫星的总质量为：M 点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体4 如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的两侧，引力常量为 G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和 B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,mL3【答案】 （1） R=r=L,（ 2） 2mm Mm MG M【解析】（1）令 A 星的轨道
7、半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L rR两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：G mMmR 4 2Mr 4 2L2T 2T 2可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmRL ；MmMm（2）根据（ 1）可以得到 ：mM4 24 2MGL2m T 2 Rm T 2M m L42L32L3则： Tm GG mMM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 5 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L若抛出时的初速度增大到
8、2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为 G，求该星球的质量M2【答案】 M2 3LR23Gt【解析】【详解】两次平抛运动，竖直方向h1 gt 2 ，水平方向 xv0t ，根据勾股定理可得：2L2h2( v0 t)2，抛出速度变为 2倍： (3L )2h2(2v0t )2 ，联立解得： h1L ，32L2g，在星球表面：G Mmmg，解得： M2LR3t2R23t 2G6 在月球表面上沿竖直方向以初速度已知该月球半径为R，万有引力常量为v0 抛出一个小球，测得小球经时间G，月球质量分布均匀。求：t 落回抛出点，(1)月球的密度 ；(
9、2)月球的第一宇宙速度。【答案】（ 1）3v02v0R2（ 2） vtRGt【解析】【详解】(1) 根据竖直上抛运动的特点可知：v1 gt002所以： g= 2v0t设月球的半径为R,月球的质量为M, 则： GMmmgR2体积与质量的关系： MV4 R33联立得：3v02 RGt（ 2）由万有引力提供向心力得GMmm v2R2R解得 ; v2v0 Rt综上所述本题答案是：（1）3v02v0 R2 RGt（ 2） vt【点睛】会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于vgR 。72016 年 2 月 11 日，美国 “激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发
10、现了引力波，这个引力波来自于距离地球13 亿光年之外一个双黑洞系统的合并已知光在真空中传播的速度为 c，太阳的质量为 M0 ，万有引力常量为G（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26 倍和 39倍，合并后为太阳质量的62 倍利用所学知识，求此次合并所释放的能量（ 2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体a因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为 r 0 的匀速圆周运动由此推测，圆
11、周轨道的中心可能有个黑洞利用所学知识求此黑洞的质量M；b严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、 m2 的质点相距为 r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为E pG m1m2（规定无穷远处r势能为零）请你利用所学知识，推测质量为M的黑洞，之所以能够成为“黑 ”洞，其半径R 最大不能超过多少？24 2r032GM【答案】（ 1） 3M 0c（ 2） MGT 2； Rc2【解析】【分析】【详解】（1）合并后的质量亏损m(2639) M 062M 03M 0根据爱因斯坦质能方程E2mc得合
12、并所释放的能量E3M 0c2（2） a小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m根据万有引力定律和牛顿第二定律G Mmm 22r0r2T0解得M4 2 r032GTb设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律1 mv2G Mm02R解得2GMRv2因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过2GMRc28 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。已知月球和地球之间的距离为 r，运行周期为 T，引
13、力常量为 G，求地球和月球的质量之和。23【答案】4rGT 2【解析】【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度应用牛顿第二定律列方程求解【详解】对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：G MmM2 r1 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2r2 ；其中21+r2；， r=rT三式联立解得： M4 2r 3m2GT【点睛】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度以及会用万有引力提供向心力进行求解9“神舟 ”十号飞船于2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80 后女航大员王亚平
14、将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力 F 与在地球表面时重力 mg 的比值后 kF称为载荷值已知地球的mg62）半径为 R 6.4 10g 9.8m/sm（地球表面的重力加速度为(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k 6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）(2)求地球的笫一宇宙速度；(3)神“舟 ”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出 “神十 ”绕地球飞 行一圈需要的时间（2g）【答案】 (1) a 5g (2) v7.92 103 m/
15、s (3) T=5420s【解析】【分析】(1)由 k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值【详解】(1)由即：k 6 可知， F 6mg ，由牛顿第二定律可得：6mg - mg maF- mg ma解得：a 5g(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，由万有引力提供向心力得：mgv2mR所以： vgR9.86.4 106
16、m/s7.92 103 m/s(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：G Mmm( 2 )2r 2T在地面上万有引力等于重力： GMmmgR242r 34 (6.7106 )3s 5420s解得： T2(6.462gR10 )【点睛】本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力10 已知火星半径为R，火星表面重力加速度为g，万有引力常量为G，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R，忽略火星自转的影响。求：（1）火星的质量；（2）火星的第一宇宙速度；（3）人造卫星的运行周期。2gR （3） 4R2【答案】（ 1） g R （ 2）Gg【解析】【详解】（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：GMmmg2R2得火星的质量 Mg R ；G（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据mg得 vgR ；（3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得4R2联立得 T。g2m vR2GMmm222R2RT
