1、最新 料推荐2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、 公平性。如有
2、违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会， 可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示， 在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（ 8 位数字组成的编号）：27027006所属学校（请填写完整的全名） ：宝鸡文理学院参赛队员(打印并签名 ) ： 1.李思怡2.甘功伟3.史少阳指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )：李晓波（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对， 提交后将不再允许做任何修改。 如填写错误
3、， 论文可能被取消评奖资格。）日期： 2014 年 09 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1最新 料推荐2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2最新 料推荐对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长
4、度， 根据在折叠过程中， 钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564 、7.663 、10.3684 、 12.5926 、14.393 、15.8031 、16.8445 、17.5314 、17.8728 ，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验 。另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。对于问题二， 我们以用材最少为目标函数， 以稳固性好为约束条件， 通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满
5、足的条件是钢筋穿过 最长腿的 位置满足 一个不等式 。并且 ，当平板的 长为 163.4702cm, 宽为 80cm,厚度为 3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为 0.4186 时，木板的用材最小，其对应的体积V 为 392330 cm3 。对于问题三，为了满足客户需求， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。我们考虑了 “操场形 ”桌面和 “双曲线形 ”桌面，得到了 “操场形 ”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564 、7.6637、10.3684 、12.5926 、14.3930 、15.803
6、1 、16.8445 、17.5314 、17.8728;“曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位： cm）： 0、 1.5756 、 2.8917 、3.9886 、4.9005 、5.6532 、 6.2641 、6.7397 、7.0741 、 7.2501 。最后，给出了两种桌面的动态变化图。关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线1最新 料推荐一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子， 桌面呈圆形， 桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成， 分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上， 并且沿
7、木条有空槽以保证滑动的自由度。 桌子外形由直纹曲面构成， 造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。目标任务建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm ，每根木条宽 2.5 cm ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4 中红色曲线）的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求， 讨论长方形平板材料和折叠桌的最
8、优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型， 并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。二、问题分析针对问题一，对于给定某些参数的平板， 要建立模型来描述折叠桌的动态变化过程，就必须
9、确定未知参数， 如，折叠桌的各个桌腿长以及所穿钢筋所活动区域的卡槽长。 根据题意，可以了解到长方形平板的宽度即为圆桌桌面的直径， 因此，可以建立相应的空间直角坐标系， 利用一定的数学方程通过桌面直径以及桌腿（各木条） 的宽度计算出每个桌腿的长度， 进而利用其长度和已知的桌高求出个木条的开槽长度。 另外，折叠桌的动态变化过程可由钢筋在卡槽中的运动轨迹来描述。针对问题二，为了达到最优的加工方案，我们可以将多目标优化做一转化，选择以用材最少为目标函数， 即选择的木板所用的体积最少为目标，以稳固性好和加工方便为约束条件， 利用受力和几何图形分析， 将所需考虑的平板尺寸、 钢筋位置、开槽长度三个设计参数
10、用未知量表示，采用和问题一类似的数学方法计算未知量为何值时，目标函数的最小值。针对问题三，为了满足客户对于折叠桌样式与尺寸的需求， 我们可以采用与问题一与问题二中类似的分析方法， 给出其算法思想， 最后可以通过程序得出相应的设计参数和某些创意桌面的动态图。2最新 料推荐三、符号说明与问题假设符号说明符号意义i桌腿最外侧向内的顺序描述xi第 i 根桌角边缘线的长度si第 i 根桌腿的长度zi平面时第 i 根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离pi立体时第 i 根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离Qi第 i 根桌腿的卡槽长度H i第 i 根桌腿底端到圆桌平面的高度V平板体积大小模型假设1. 假设桌子
11、的高度包括桌子的厚度。2. 假设问题二中桌腿宽度为 2.5cm，木板厚度为 3cm。3. 假设在此问题中，忽略钢筋自身的直径。4. 假设桌脚与地面完全接触并且忽略各个木条间的缝隙。四、模型建立与求解问题一：模型建立根据问题首先我们可以建立几何模型1 对问题一进行求解。（ 1）计算每根桌腿的长度根据题目所给条件，组成桌腿的每根木条的宽度为2.5cm，另外，我们知道所给木板的宽度等于折叠后圆形桌的直径，即桌面直径为 50cm，也就是说，该圆桌左右两边共有 20 根木条。由于折叠后的圆桌关于平行于长方形木板的宽的一条直径对称， 因此折叠桌的相关性质我们只需考虑圆桌的左半边或右半边， 又由于，折叠后的
12、圆桌的一边也是互相对称的，故本文中只以圆桌的 1/4 为研究对象，即只研究 10 根木条的相关变化趋势。结合以上分析， 我们做出折叠前的长方形木板的俯视图，并且以圆桌的圆心为坐标原点， 以垂直于桌面的为 z 轴，平行于长方形宽的直径为 y 轴，垂直于该直径的为 x 轴，建立空间直角坐标系，如图 1 所示：3最新 料推荐yx图 1空间直角坐标系 于以上的坐 系，可以得到第i 根木条 度的中点落在y 的坐 yi(25, 25)(i1, 2, 3, ，10由于每根木条的 度相同， 然，yi 等差数列。由 1 及已知条件可知，每根木条的 度的中点在 上，所以y123.75 ，y223.752.5 ，
13、yi23.75(i1)2.5由于 (xi , yi ) 位于 周上，因此有xi 2yi 2252将 yi 代入上述 的方程中便可以得到xi 的 已知木板 120cm,即两 分 60cm， 第 i 条桌腿 si60xi ，因此，只需要求出各点在 上的坐 即可求出各个腿 。（ 2） 算每根桌腿的槽 大小由于 筋在旋 程中不 生任何形 ， 因此，通 折叠 程的分析可以知道，每根桌腿中的 条到所平行的 桌直径 其 条高度的距离是相同的， 桌高度是 53cm，厚度是 3cm，所以 桌高 是 50cm因 筋固定在桌腿最外 木条的中心位置，所以 筋固定点到 桌 的距离 p1s12根据三角形相似和勾股定理可得
14、， 最外 桌腿中的 条到 桌 其高度的距离 l12 h22，由上式即可解出 l1，并且 足 p1l14具体分析 如 2：4最新 料推荐ztxx1y1l1hx图 2 立体分析图最 外侧桌腿中 的钢条到 所平行的圆桌 直径对 应其钢条高度 的距离是d1l1x1，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为d1 ，则 li d1 xi平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离zi ： zisis12立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离pi ： pi2h2li24每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示Qipizi（ 3）桌角
15、边缘线的数学描述由（ 2）求得立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离pi ，每根桌腿钢条所在位距离圆桌的高度为h ，每根桌腿长为 si ，每根桌腿所在位置距离圆2桌的垂直高度为 H i ，如图所示利用相似三角形原理，可得pih 即 H ihsisi2H ipipih2H i图 3每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度示意图5最新 料推荐为了研究桌角边缘线的相关形式， 我们对 H i (i 1,2, ,10) ，即对桌角边缘点的三维坐标进行多项式拟合，其形式如下：za1 xa2 x2a3x3am xmb1 yb2 y2b3 y3bn ync问题一模型求解（1）由于桌腿的宽度为 2.5cm，且圆
16、形桌的直径等于木板的宽， 即为 50cm，所以以圆形桌两边对称，一边有 20 条桌腿，我们以桌面的 1/4 为研究对象，即共 10 条桌腿。根据所建立的直角坐标系， 利用等差数列下不同的yi 求解不同的圆桌边缘长xi，进而利用 si 60xi , i1,2, ,10 求得桌腿长。在2MATLAB 中进行编程得到10 条桌腿的长度分别为（单位：厘米）( 具体程序见附录 1)i12345678910si52.1946.8343.4641.00 39.1237.6736.5835.7935.2835.03表 1桌腿的长度表因为桌高 h 533 50 cm,由表 1 可知最外侧的桌腿长为52.19cm
17、，而最外侧桌腿一定与垂直方向存在夹角，故最长腿长度一定大于垂直高度，即52.1950，所以所得结果符合题意。（ 2）由题意可知立体时最外侧桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离p1s126.09292h最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度25 ，可以得到最外侧桌腿中2的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离 l1p12( h) 27.48652最外侧桌腿中 的钢条到 所平行的圆桌 直径对 应其钢条高度 的距离是d1l1x17. 8062根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的， 通过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体
18、时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差， 在 MATLAB中对 10 条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到 10 条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米） ( 具体程序见附录 2)i12345678910Qi04.357.6610.3612.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87表 2桌腿卡槽长度表6最新 料推荐（3）求解桌脚边缘点的坐标在 MATLAB中解出对每根桌腿所在位置距离圆桌的高度为H i ，即 20 根桌腿边缘点的三维坐标如下表3 所示：i12345678910xi22.7717.1314.3812.9912.3412
19、.1212.1112.1812.2712.32yi-23.75-21.25-18.75-16.25-13.75-11.25-8.75-6.25-3.75-1.25zi-50-46.66-43.41-40.55-38.17-36.26-34.78-33.71-33.01-32.66i11121314151617181920xi12.3212.2712.1812.1112.1212.3412.9814.3717.1322.77yi1.253.756.258.7511.2513.7516.2518.7521.2523.75zi-32.66-33.01-33.71-34.78-36.26 -38.17
20、 -40.55-43.41-46.66-50表 3桌腿最底端三维坐标表根据上述坐标，对其做散点图，图像如下：（具体程序见附录3）-32-34-36-38-40-42-44-46-48-50501214161820220-5024图 4 桌角边缘线示意图在 MATLAB中关于 x 与 y 进行拟合，由于三次拟合贴近度最高，所以我们采用三次进行拟合，得到拟合结果为z1.7219 x 0.0810 x20.0013 x 30.0294 y 221.3376（4）误差分析为了更好的说明拟合的贴近度， 我们在 MATLAB中作出拟合图像如下：（具体程序见附录 4）7最新 料推荐-30-35-40-45-
21、50-55500121416182022-2450图 5拟合图像与原图的对比图由 5 明 的可以看到， 原曲 和 合曲 合度很高， 另外，我 其做了 差分析， 利用方差的大小， 来判断 合 果是否合理， 最后 算得到方差 0.0356，所以 合 果是合适的。（5）桌脚 的 描述我 通 作出不同 刻的桌脚 的 像来反映其折叠的 程图 6 折叠桌动态变化过程图 二：模型建立a， ，厚度 c根据 目所 条件，我 我 出木板 cm.cmb cm知道 形桌的直径等于木板的 。由于桌腿的 度 2.5cm，所以以 形桌的 1/4 研究 象，共有16 条桌腿。（ 1） 算每根桌腿的 度我 如 所建立的坐 系
22、行分析得，yi (b , b) yi 等差数列 增2 2b由 于 每 根 木 条 的 宽 度 的 中 点 在 圆 上 ， 所 以y11.25 ，2b 1.25 2.5 ， yb 1.25y(i 1)2.522i2(b)2 的方程 xi2yi22将 yi 代入 的方程中解出xi8最新 料推荐因为木板长 a cm,即一边长 a cm，则桌腿长 siaxi22（ 2）计算每根桌腿的槽长大小我们令为最外侧钢筋位置到桌腿底端的距离与最外侧桌腿长之比每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的， 圆桌高度是 e cm，厚度是 c cm，所以实际桌高应该是（ e c ） cmp1(1) s
23、1根据三角形相似和勾股定理可得l1 ， l1 为最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离p12(1)h)2l12zyxx1s1l1hx图 7立体分析图由上式解出 l1 的值最外侧桌腿中 的钢条到 所平行的圆桌 直径对 应其钢条高度 的距离是d1l1x1，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为d1 ，则 li d1 xi平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离zi ： zi(1)s1x1xi立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离pi ： pi2(1) h) 2li2每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示Qip
24、izi（ 3）列出目标函数 3我们以用材最少为目标函数，即木板体积最小：min V a b c（ 4）约束条件的确定对最外侧桌腿和最内侧桌腿画出如图所示切面进行受力分析49最新 料推荐Fs1s16图 8受力分析图要使桌子的稳定性最好， 就是使桌子所受的桌面压力在桌腿上分力的合力是竖直向下的，则两个分桌腿所受的力是相同的， 根据物理学原理分析可得p1p16kx1(1) hk图 9几何分析图由图分析且在直角三角形中运用勾股定理我们可知k(1)s12h2 ，又因bbx1为 x1即 k22k22联立上述两式得到2 (s12h2 )(1 )bx12b为了描述清晰，我们令g，因为钢筋处到最短桌腿长的距离要
25、小于其桌2 (s12h2 )s1 sgaxg腿长，即约束条件为2bx12问题二：模型求解（ 1）由假设知桌腿宽度为2.5cm, 圆形桌的直径等于木板的宽，即为 b 80 cm，所以以圆形桌两边对称，一边有32 条桌腿，我们以桌面的 1/4 为研究对象，即共 16 条桌腿。根据所建立的直角坐标系， 利用等差数列下不同的yi 求解不同的 xi ，解得圆10最新 料推荐桌边缘长，桌腿长 sia在 MATLAB中进行编程得到16 条桌腿的xi i 1,2, ,162长度由外侧向内分别为 （单位：厘米）：80.3290 、73.3409 、 68.7811 、65.2819 、62.4399、60.06
26、89 、 58.0646、56.3620 、54.9174 、53.7001 、 52.6882 、51.8652 、51.2194、50.7419 、50.4268 、50.2701 ( 具体程序见附录 5)（ 2）由假设知木板高度c3 ，由题意可知桌高 e70 ，最外侧桌腿中的钢cmcm条到圆桌边缘对应其高度 (1)h (1 )(e c)因此，可以得 到最外侧 桌腿中的钢条 到圆桌 边 缘对应 其高度的距 离l1p12(1 )h) 2 . 最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是 d1l1x1根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的， 通过计算得到立
27、体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差， 在 MATLAB中对 16 条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到 16 条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米）0、1.4895 、2.8327 、 4.1484 、5.4526 、6.7368 、 7.9831 、 9.1703 、10.2772 、11.2846 、12.1757 、 12.9369 、 13.5574 、14.0294 、14.3470 、14.5067 ( 具体程序见附录 6)(3) 在 MATLAB中
28、解得当 a163.4702,0.4186 时，即平板的长为163.4702cm,宽为 80cm,厚度为 3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为 0.4186 时，木板的体积 V 最小为 392330cm3 （具体程序见附录 7）问题三：类似于前两问的分析方法，我们这里给出设计折叠桌的算法流程图：第一步：求解木桌边缘长第二步：求解木桌每根桌腿长第三步：求解木桌每根桌腿的槽长第四步：得到折叠桌的设计方案图 10算法流程图11最新 料推荐首先，我们以“操场形”折叠桌为例， 设计其最优参数并作出其动态变化图.图 11“操场形”折叠桌俯视图设计加工参数：木板的长为 150cm,宽为
29、50cm,厚度为 3cm,桌腿的宽度为 2.5cm, 每条桌腿的开槽长度如下表 4：i12345678910Qi04.357.6610.3612.5914.3915.8016.8417.5317.87表 4 “操场形”折叠桌每根桌腿的槽长表所做出的动态过程示意图如下，共8 张（具体程序见附录8）200-20-40-200204060-600-5-10200-20-40-200204060-600-10-20200-20-60-40-2002040600-10-20200-20-40-200204060-6012最新 料推荐0-10-20-30200-20-60-40-2002040600-10
30、-20-30200-20-60-40-2002040600-10-20-30-40200-20-50-40-30-20-10010203040500-5-10-15-20-25-30-35-40-45200-10010203040-20-30-20-40变化的过程总图如下：13最新 料推荐0-10-20-30-40200-20-60-40-200204060对于“操场型”桌面的折叠桌，形式比较大众，特点不突出，但是可以供人数较多的时候共同使用， 比如左右两端各坐一人， 中间的直边的长度越长， 可供使用的人数较多，实用性较强。另外，我们还设计了如下“双曲线形”折叠桌形状图 11 “双曲线形”折叠
31、桌俯视图设计加工参数：木板的长为 160cm,宽为 50cm,厚度为 3cm,桌腿的宽度为 2.5cm, 桌面高度为 48cm,每条桌腿的开槽长度如下表 5i12345678910Qi01.572.893.984.905.656.266.737.077.25表 5 “双曲线形”折叠桌每根桌腿的槽长表所做出的动态过程示意图如下，共8 张（具体程序见附录9）200-20-40-20020406080-60-8014最新 料推荐0-5200204060-20-40-200-600-5-1020060-20-40-2002040-600-5-10-15200-20-40-200204060-600-10-202004060-20-60-40-200
