1、清华大学 姜启源 ,数学建模竞赛 赛题评析,近年的赛题与题目的特点2009年赛题“眼科病床的合理安排”评析2006年赛题“艾滋病疗法的评价 及疗效的预测”评析参加数学建模竞赛的三个阶段,题目的特点,题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题,题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深,题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容,解题所用的数学方法尽量多元化、综合化,可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献,兼顾数据的处理与数据的收集,眼科病床的合理安排,全国大学生数学建
2、模竞赛 2009年B题,医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双
3、眼是周一先做一只，周三再做另一只。,题 目,外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等
4、待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。,问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调
5、整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。,【附录】 2008-07-13到2008-09-11的病人信息,题目的背景,这是随机服务系统的优化问题，虽属于排队论研究的范畴，可以用到排队论的一些基本概念，但没有现成的模型和方法解决。,来自人们司空见惯的日常生活现象，问题浅显明白，几乎不需要任何专业知识。,希望得到对现有的病床安排FCFS方案的一个现实、合理的改进方案，很难追求最优解（实际上，不可能有“最优”的明确含义），目标是一
6、个实用效果令人满意的可行解。,从数据看, 目前住院排队处于超饱和的等待状态。,不考虑急诊（外伤），其他三类病人的手术时间以一周为周期。,现有病床安排FCFS方案的主要缺点：白内障病人术前等待时间长。,问题分析,解决问题的关键：减少术前住院无效等待时间，找出各类病人的最佳入院时间。,排队论的适用性：一般不满足排队论模型的条件；可以利用排队论的基本概念和简化后的模型。,适于采用仿真方法通过比较选取优化方案。,数据分析和处理（统计检验）,对3类病人分别检验和计算： 1）检验到达时间（门诊）服从泊松分布，计算平均到达率； 2）检验服务时间（术后住院）服从正态分布，计算平均服务率； 3）统计术前住院无效
7、等待时间。,应该主要考虑两个方面：效率；公平。,同学论文中提出许多指标：病床使用率，病床周转次数，平均住院时间，平均等待天数，平均等待队长，每天出院人数，平均拒绝率， ,效率指标平均术前住院时间，或病床有效利用率。 （白内障病人入院第2日、其他眼病第3日后的等待手术时间为无效时间）,评价病床安排模型的指标体系,只考虑效率指标会导致多接收白内障病人，对其他病人不公平。,公平性指标FCFS是最公平的。可以用与FCFS 的“差”，或者“延期入院” 人数占总人数的比例来度量不公平度。,评价模型的指标应该全面、合理，并非越多越好，实际上，各个指标应尽量相互独立。,评价病床安排模型的指标体系,由各个指标构
8、造综合指标没有确定的办法，用加权平均时权重也不易给出，只能具体问题具体分析。,主要目标：提高病床有效利用率以及提高公平度。,提高病床有效利用率：病人术后住院时间不可优化，只能改进术前等待时间。,主要方法：仿真与优化相结合。,相对合理的病床安排模型,对白内障病人的入院时间加以限制是提高效率的必然选择。,先确定若干种住院规则，然后根据仿真的统计结果选出较优规则；,先确定一个优化原则，然后在仿真时，对每一个排队病人按照该优化原则决定住院先后。,一种比较典型的仿真优化方法：对每一位等待入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综合排序，然后按排序结果安排当日入院
9、病人。按此方案进行仿真，统计各项评价指标值，并与FCFS方案作比较。,相对合理的病床安排模型,论文的主要问题：公平性考虑不足，有的队甚至完全不考虑公平性，未免过于脱离实际；主要优化目标不清晰，未抓住提高病床使用效率这个要害。,问题的根源是对题目的理解及对数据的分析不够透彻。,对于每一类病人，统计每天平均出院人数，按照等待住院人数，计算预约住院时间的平均值。,预约住院时间区间,要求给出一个满足一定置信度（例如90%）的预约住院时间区间，区间长度越短越好。,对于每一类病人，按照术后住院时间的分布，计算方差，在一定置信度下，给出预约住院时间的区间。,周六、周日不安排手术的调整方案,若仍采用“一三方案
10、”，效率较低，通过分析发现主要原因是对视网膜与青光眼病人而言，会造成病床使用效率降低。,通过几种方案的仿真可知，采用“二四方案” 或“三五方案”可使病床使用效率有所提高。前者效率与公平总体效果较好，后者效率较高，但公平性较差。,各类病人占用病床的比例大致固定条件下，平均逗留时间最短的病床分配模型,仿真计算模型：对于床位分配的有限种组合，通过仿真得到评价指标统计值，再比较得到最佳方案。此方案计算量较大，且通用性有一定局限。,服务强度平衡模型：当各分类系统的服务强度相等时，效果最佳。可以通过建立条件极值模型，利用拉格朗日方法证明这一结论。,排队论近似模型：通过经验公式将M/G/K系统近似为M/M/
11、K系统，然后利用排队论的现成结论写出优化模型。,综 合 评 述,数据检验是本问题必须做的，但被许多参赛队所忽略.,公平性指标被许多人忽略，效率指标也可以适当精简。,优化模型多样性是最大亮点，涌现许多意料之外的解法。,入院时间的预测区间完成不好，大部分队没有置信度概念，不少队给出的区间与当前队长无关。,最后一个的问题理论稍深，完成得好的不多。,存在模型与求解“两张皮”的现象，甚至捏造数据结果，反映出学风问题，计算能力的欠缺也是一个原因。,这类课题还没有现成的解决方法，可以作为一个排队论问题继续研究。,参加数学建模竞赛的三个阶段,赛前准备：学习有关知识、方法和软件；题目研讨（及模拟）；组队磨合。,
12、三天参赛：吃透题意，发挥正常，注意写作，同舟共济。,赛后继续：对有兴趣赛题的深入研讨；实际问题的数学建模。,数学建模竞赛的准备内容,1）建模的基本概念和方法（建模课程或教材的主要内容）,2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外), 主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。,只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。,3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述
13、方法的软件，如 MATLAB ,MATHEMATICA, LINGO等。,4）历届赛题的研讨。,5）撰写数学建模论文的练习。,数学建模竞赛的准备内容,参考资料,数学模型(第3版),姜启源等(高等教育出版社,2003年)大学数学实验, 姜启源等(清华大学出版社, 2005年)竞赛优秀论文,见(2001年起)及 (2001年前),数学建模竞赛的论文写作,吃透题意，确定题目；,充分、适度地查阅资料，引用他人文献要注明出处；,把握好用现成的模型和方法，与自己创新的模型和方法之间的关系；,保证基本模型和求解的完成，在此基础上完善改进；,可以增加、删除甚至修改题目的条件；,论文主体由一人完成，并及早开始写
14、作。,完整摘要；问题提出（用自己的语言）；问题分析；模型假设；模型建立；模型求解（算法设计和计算机实现）；结果（数据、图形）；结果分析和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性检验）；优缺点，改进方向等，附录（程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等。,摘要主要模型（名称）、方法和结果，解决了什么问题，有何特色等。,表述清晰、简明，给出数学符号的确切含义, 不随意堆积“新颖”、“高级”术语。,数学建模竞赛的论文写作,全国大学生数学建模竞赛组委会网址http:/ 组委会办公室地址: 100084 北京清华大学数学系(理科楼1201)胡明娅 电话: 62781785 资料订购、咨询等,愿同学们喜欢数学建模 在数学建模竞赛中取得好成绩 谢谢大家!,
