1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参
2、赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 16019013 所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学万方科技学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 赵志领 2. 王京广 3. 郭涛 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 冯广庆 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
3、如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：0创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用 MATLAB 进行模型求解。针对问题一，本文建立了模型动态
4、变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用 MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度 ，三维空间桌脚边缘线。iK针对问题二，本文建立模型设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度 和长方形平板面积 必须S达到最小，对于任意给定的高度 和圆形桌面直径 确定：HR决策变量： （桌面最外侧木条的半长）， （最外侧桌腿的竖直偏角）， （最1a1p外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）目标函数 : (开槽总长度)， 长方形木板面积KS用 MATLAB 求解出多组方
5、案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。针对问题三，本文建立了模型软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：圆形桌面，圆弧和矩形组合桌面，“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型；对于组合桌面，可在模型的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的1a直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型的基础上改动来实现。关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK11.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋
6、将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计
7、加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。2.问题分析2.1 问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形
8、平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用 MATLAB 对模型求解得出设计加工参数，用 EXLINK 导出每根桌腿转过的角度。2.2 问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析2模型确定决策变量和目标函数，用 MATLAB 确定最优设计加工参数。2.3 问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌
9、脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。3.模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响4.问题一模型的建立与求解4.1 符号说明：符号 符号说明iL第 根桌腿腿长ia第 根桌面木条的半长i第 根桌腿与竖直方向的夹角i第 根桌腿动态变化转过的角度iH第 根桌腿底部距地面的高度iR桌面外接圆半径h钢筋位置距桌面高度im第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距
10、离ib第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离iK第 根木条开槽长度4.2 模型的建立（数据单位均为 ）cm根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的 10 根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿 ，其桌面木条的半长为 ，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系1L1a（见图 1）3图 1根据问题一所给尺寸计算出：第一根桌腿：腿长 1160aL第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离 1tanHb桌腿与竖直方向的夹角 1120arcos钢筋位置到桌子竖直对称面距离 12506am钢筋位置距桌面高度 25h图 24图 3根据图 2 和图 3 计算可以得出：第 根桌面木条的半长 i 22115.5iai桌面外接
11、圆半径 2R第 根桌腿腿长i iiL60第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离 iiam1第 根桌腿的竖直夹角i hiiarctn第 根桌腿钢筋位置以上长度i iilos第 根桌腿底部距地面的高度i iiiLHc第 根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离 iiiiaSsn桌腿底部坐标 iiiiZYSbX5.2为了得出每根木条的开槽长度 ，利用第 根桌腿钢筋位置以上长度 减去桌子平iKi il铺时候钢筋位置与折叠点的距离即： iial304.3 模型的求解5根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长 为 3，用1aMATLAB 编程进行求解，程序见附录一通过 EXLINK 导出桌面
12、与竖直方向夹角 ，制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表 1）桌腿 第 1 根 第 2 根 第 3 根 第 4 根桌腿与竖直方向夹 28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿动态变化转过的角度 61.305677.8523689486.82477429 93.25075828第 5 根 第 6 根 第 7 根 第 8 根 第 9 根 第 10 根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.05908868 101.69189 104.4120373
13、 106.3886066 107.7321829108.5126221表 1用 MATLAB 画出桌脚边缘线（见图 3），程序见附录二图 4桌脚边缘线各点坐标参数如下表：X 0.0000 3.7833 7.5603 9.6053 10.6861 Y 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000 12.5000 Z 0.0000 2.3931 5.3657 8.1713 10.6166 X 11.2054 11.4070 11.4441 11.4135 11.3740 Y 15.0000 17.5000 20.0000 22.5000 25.0000 6Z 12.6489 14.26
14、94 15.4976 16.3561 16.8632 表 2用 EXLINK 导出设计加工参数：桌面外接圆半径 1794.52aR桌腿开槽长度见下表：桌腿 第 1 根 第 2 根 第 3 根 第 4 根 第 5 根 第 6 根 第 7 根开槽长度 K0 6.88 10.34 13.14 15.47 17.39 18.92 第 8 根 第 9 根 第 10 根20.10 20.92 21.42 表 3开槽位置见下表：表 44.问题二模型的建立与求解5.1 符号说明：符号 符号说明S长方形平板面积iK第 根桌腿的槽长iL长方形木板长度d长方木形板宽度H桌子高度p最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与
15、桌腿的长度比值h第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离im第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离ia第 根桌面木条的半长il第 根桌腿长度id桌子宽度if第 根桌腿钢筋位置以上长度1最外侧桌腿的竖直偏角R桌面直径桌腿 第 2 根 第 3 根 第 4 根 第 5 根 第 6 根 第 7 根 第 8 根 第 9 根 第 10 根il25.57 25.04 25.04 25.25 25.53 25.81 26.06 26.25 26.36 75.2 模型的建立（数据单位均为 ）cm采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度 和长方形平板面积 必须达到最小，对于任意给定的高度
16、 和圆形桌面直径 确KS HR定最优设计加工参数，即输入桌高 及桌面直径 得出最优加工参数开槽长度 以及HRK所需长方木板长 和宽Ld由问题一中图 1 解得第一根桌腿长度 ,设最外侧桌腿钢筋的位置到折叠211aLl处的长度与桌腿的长度比值为 p根据图 1 和图 2 得出第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离 ，桌宽pHh，124aRd第 根桌面木条的半长为i 2215.4idRai第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离i ii ahplm21第 根桌腿钢筋位置以上长度 2iihf所以可求出第 根桌腿的槽长 ，即得出桌腿的总槽长 ，从i iii aLpK164iiK而有：决策变量： （桌面最外侧木条的
17、半长）， （最外侧桌腿的竖直偏角），1a1（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）p目标函数 21164aRLSKii长 方 形 平 板 的 面 积开 槽 长 度5.3 模型的求解根据题中所给的图和问题一中木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长 等1a于 3，用 MATLAB 求解出多组方案。8对折叠桌进行力学分析可得，当折叠桌的外侧桌腿垂直于地面时，折叠桌能承受的正压力是最大的，此时能承受的侧向压力是最小的。当桌腿未完全展开时，其抗侧压力性能强于抗正压力，若使折叠桌既能有较好的抗正压力和抗侧压力，则桌腿要与地面保持合适的夹角。通过对问题一中折叠桌支撑腿与竖直方向的夹角 约等于 2
18、8，并结合现实生活1中实际情况为使折叠桌的稳定性好， 不能过小或过大，假设1301由已知桌高 ,桌面直径 ,输入 , 的值，输出 ,方案如下表:70H80Rp1aKSdL,方案 p1aLd1 0.4 1 163.66 79.97 13088.55 847.752 0.4 2 165.66 79.90 13236.07 865.323 0.4 3 167.65 79.77 13374.87 882.174 0.4 4 169.66 79.60 13504.61 898.165 0.5 1 163.66 79.97 13088.55 979.546 0.5 2 165.66 79.90 13236
19、.07 999.287 0.5 3 167.66 79.77 13374.87 1018.198 0.5 4 169.66 79.60 13504.61 1036.149 0.6 1 163.66 79.97 13088.55 1078.3710 0.6 2 165.66 79.90 13236.07 1099.6411 0.6 3 167.66 79.77 13374.87 1120.1212 0.6 4 169.66 79.60 13504.61 1139.6513 0.7 1 163.66 79.97 13088.55 1149.0414 0.7 2 165.66 79.90 13236
20、.07 1171.4615 0.7 3 167.66 79.77 13374.87 1193.2216 0.7 4 169.66 79.60 13504.61 1214.1517 0.8 1 163.66 79.97 13088.55 1197.7718 0.8 2 165.66 79.90 13236.07 1221.1319 0.8 3 167.66 79.77 13374.87 1244.0920 0.8 4 169.66 79.60 13504.61 1266.45表 49图 5实际情况中，桌面直径和每根木条的宽度是定量，所以 不可能很小，满足1a，由上表数据计算得当 时，方案无效。4
21、21dRa 21或a当桌面平铺时，钢筋必须在圆形桌面以外，即 ,可以得出 ,根据上表LpRpLR数据计算，当 0.5 时，方案无效。p综上所述，上表中灰色部分全为无效方案，剩余全为有效方案，即方案7、8、11、12、15、16、19、20,经比较得出，方案 7 为最优方案。用 EXLINK 导出设计加工参数:桌腿 第一根 第二根 第三根 第四根 第五根 第六根 第七根 第八根开槽长度 0.00 7.29 10.42 12.73 14.55 15.98 17.10 17.96 第九根 第十根 第十一根 第十二根 第十三根 第十四根 第十五根 第十六根18.62 19.13 19.53 19.84
22、 20.09 20.28 20.45 20.58 表 55.问题三模型的建立与求解6.1 符号说明：符号 符号说明S长方形平板面积iK第 根桌腿的槽长iL长方形木板长度d长方木形板宽度H桌子高度10p最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值h第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离im第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离ia第 根桌面木条的半长il第 根桌腿长度id桌子宽度if第 根桌腿钢筋位置以上长度1最外侧桌腿的竖直偏角R桌面直径6.2 模型的建立（数据单位均为 ）cm根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为折叠桌设计软件提供数学模型，现为客户提供三种桌面形状：圆形桌面 圆弧和矩形组合
23、桌面 “8”字形桌面(1).圆形桌面直接参照模型中最优方案的 为最优钢筋位置， 第一根桌腿长度5.0p301，211aLl桌面木条根数 5.2Rn第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离 ，桌宽 ，pHh214aRd第 根桌面木条的半长为i 2215.4idRai第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离i ii ahplm21第 根桌腿钢筋位置以上长度 2iihf所以可求出第 根桌腿的槽长i iii aLK(2).圆弧和矩形组合桌面为使桌面呈现圆弧和矩形的组合，最外侧桌面木条的长度 要较大，现规定当1a时为组合桌面。51a， ，依旧参照模型.0p3151a11桌面木条根数 5.2dn第一根桌腿长度 ，第
24、一根桌腿钢筋位置距桌面的距离 ，桌宽11aLl pHh，214aRd第 根桌面木条的半长为i 2215.4idRai第 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离i ii ahplm21第 根桌腿钢筋位置以上长度 2iihf所以可求出第 根桌腿的槽长i iii aLK(3).“8”字形桌面， ，5.0p3151a桌面木条的根数 只需研究桌子一侧前 的桌腿.2dn41由于“8”字形桌面的桌子是由两个组合桌子链接起来的，所以设计加工研究参数即为组合桌面桌子参数。6.2 模型的求解针对圆弧和矩形组合桌面图 6现要加工高 ， ，用 MATLAB 和 EXLINK 解出设计加工参数如下：60H1a90R，5.
25、18L83.74d第 根桌腿开槽长度：i12桌腿 第 1 根 第 2 根 第 3 根 第 4 根 第 5 根 第 6 根 第 7 根开槽长度 0.00 1.81 4.01 10.39 16.29 19.44 21.88 第 8 根 第 9 根 第 10 根 第 11 根 第 12 根 第 13 根 第 14 根 第 15 根23.73 25.07 26.04 26.74 27.25 27.64 27.95 28.18 表 6开槽位置：桌腿 第 2 根 第 3 根 第 4 根 第 5 根 第 6 根 第 7 根 第 8 根if19.99 20.35 20.79 21.35 22.06 22.98
26、 24.19 表 7针对与“8”字形桌面图 7现要加工高 ， ，用 MATLAB 和 EXLINK 解出设计加工参数如下：80H21a80R，75.24L.69d第 根桌腿开槽长度：i桌腿 第 1 根 第 2 根 第 3 根 第 4 根 第 5 根 第 6 根 第 7 根开槽长度 0.00 0.21 5.73 12.63 15.64 18.18 20.36 第 8 根 第 9 根 第 10 根 第 11 根 第 12 根 第 13 根 第 14 根22.26 23.89 25.27 26.43 27.38 28.17 28.81 表 8第 9 根 第 10 根 第 11 根 第 12 根 第
27、13 根 第 14 根 第 15 根25.74 27.67 29.92 32.35 32.88 30.07 30.22 13开槽位置：桌腿 第 2 根 第 3 根 第 4 根 第 5 根 第 6 根 第 7 根 第 8 根if30.40 31.30 32.35 33.55 34.92 36.44 38.08第 9 根 第 10 根 第 11 根 第 12 根 第 13 根 第 14 根39.80 41.55 43.30 45.01 42.92 40.67 表 9由 flash 软件制作得“8”字形桌面动态示意图图 86.误差分析误差分析：7.模型评价、改进、推广模型评价：模型推广：147.参考文献1房少梅.2014.数学建模理论、方法及应用.北京：科学出版社2姜启源，谢金星,叶俊.2003.数学建模.3 版.北京：高等教育出版社3谢金星，薛毅，2007.优化建模与 LINDO/LINGO 软件.北京：清华大学出版社4张志涌，杨祖樱，2013.MATLAB 教程.北京：北京航空航天大学出版社创意桌展开图06121824303642485415
