1、物理万有引力与航天练习全集一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，质量分别为m 和M的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L已知A、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧，引力常量为G求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)两星球做圆周运动的周期ML,r=mL,（ 2） 2L3【答案】 （1） R=m Mm MG M m【解析】（1）令 A 星的轨道半径为R， B 星的轨道半径为r，则由题意有 L r R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：GmM4 242L2mR2
2、Mr2TT可得 R M ，又因为 LRrrm所以可以解得：ML , rmL ；RMmMm（2）根据（ 1）可以得到 ： GmM4242ML2m2 Rm2MLTTm42L32L3则： Tm GG mMM点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径 2 据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地 ”行星 . 假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星 “北极 ”距该行星地面附近 h 处自由释放 - 个小球 ( 引力视为恒力 ) ，落地时间为
3、t. 已知该行星半径为 R，万有引力常量为 G，求：1 该行星的第一宇宙速度；2 该行星的平均密度【答案】 12hR ?2 ?3h22t2Gt R【解析】【分析】根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求M出质量与运动的周期，再利用，从而即可求解V【详解】1 根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度h1 gt 222h解得： gt 2v2则由 mg mR求得：星球的第一宇宙速度vgR2hR ，t22 由 G Mmmg m 2hR2t22hR2有： M2Gt所以星球的密度M3hV2Gt 2 R【点睛】本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万
4、有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解3 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为 R，万有引力常量为G，求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的质量。2v0 tan2v0 R2tan【答案】 （1） g（2 ）tGt【解析】【分析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量；【详解】(1)根据平抛运动知识可得y1 gt22gttanv0t2v0x2v0 t
5、an解得 gtGMm(2)根据万有引力等于重力，则有R2mggR22v0 R2tan解得 MGGt4a、 b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为 3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：（ 1） a、 b 两颗卫星周期分别是多少？（ 2） a、 b 两颗卫星速度之比是多少？（ 3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同 -点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？【答案】 （1） 2R ， 16R （ 2）速度之比为2 ；8Rgg7g【解析】【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速
6、圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；解：（ 1）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，对地面上的物体由黄金代换式G MmmgR2GMm4 2Ra 卫星2m 2RTa解得 Ta2Rgb 卫星 GMmm 4 24R(4 R)2Tb2解得 Tb16Rg（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向 ，GMmmva2a 卫星RR2GM解得 vaRb 卫星 b 卫星 G Mmm v2(4 R)24RGM解得 v b4RVa所以2Vb2 2（ 3）最远的条件 Ta Tb解得 t8R7g5 土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。图示为2017 年 7 月 13 日朱诺号
7、飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋( 大红斑 ) ，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h。土星视为球体，已知土星质量为M，半径为R，万有引力常量为G. 求：1 土星表面的重力加速度 g；2 朱诺号的运行速度v；3 朱诺号的运行周期T。GMGMR h【答案】1 ?R22 ?3 ?2 R hR hGM【解析】【分析】土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。【详解】Mm（1）土星表面的重力等于万有引力：G R2mgGM可得 gR2（2）由万有引力提供向心力：Mmmv2Gh)2Rh( RGM可得： vhR（3）由万
8、有引力提供向心力：GMmm Rh ( 2 )2( Rh) 2T可得： T 2RhR hGM6 宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中 O 为抛出点。若该星球半径为4000km ，引力常量 112G=6.67 10N?m ?kg2试求：(1)该行星表面处的重力加速度的大小g 行 ；(2)该行星的第一宇宙速度的大小v；(3)该行星的质量M 的大小（保留1 位有效数字）。【答案】 (1)4m/s224(2)4km/s(3)1kg10【解析】【详解】(1)由平抛运动的分位移公式，有：x=v0t1y=g 行 t 22联立解得：t=1sg 行 =4m/
9、s2；(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有：2mMvG R2 mg行 m R可得第一宇宙速度为：vg行 R44000103 m/s4.0km/s(3)据mMG R2 mg行可得：g行 R24 (4000 103 )21 1024kgM6.67 10 11kgG7“嫦娥一号 ”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道随后，“嫦娥一号 ”经过变轨和制动成功进入环月轨道如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道 上作匀速圆周运动，在圆轨道 上飞行 n 圈所用时间为t，到达 A 点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道 ，在到达轨道 近月点
10、B 点时再次点火变速，进入近月圆形轨道，而后飞船在轨道 上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道 上飞行 n 圈所用时间为 不考虑其它星体对飞船的影响，求：（ 1）月球的平均密度是多少？（ 2）如果在 、 轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？【答案】（ 1） 192n2mt1，2，3；（ 2） t）（ mGt 27n【解析】试题分析：（ 1）在圆轨道 上的周期： T3t，由万有引力提供向心力有：8nG Mm2m 2RR2T又： M4 R3，联立得：3192 n23GT32Gt2（2）
11、设飞船在轨道I 上的角速度为1 、在轨道 III 上的角速度为23 ，有：1T123t 1t2m 所以有：所以3设飞飞船再经过 t 时间相距最近，有：T3tmtm， ）（7n1 2 3考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系【名师点睛】本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用同时根据万有引力提供向心力列式计算8 我国的火星探测器计划于2020 年前后发射，进行对火星的科学研究假设探测器到了火星上空，绕火星做匀速圆周运动，并测出探测器距火星表面的距离为h，以及其绕行周期 T 和绕行速率 V，不计其它天体对探测器的影响，引力常量为G，求：(1)火星的质量 M(2)若 hTVg 火 大小 ，
12、求火星表面的重力加速度4【答案】 （1） MTV 38 V（ 2） g火 =2 GT【解析】2rT(1)设探测器绕行的半径为 r ，则：V得： rTV2设探测器的质量为m，由万有引力提供向心力得：GMmm V 2r 2r得： MTV 32 G(2)设火星半径为 R，则有 r RhTVTV又 h得： R44火星表面根据黄金代换公式有：g火GM=R28 V得： g火 =T【点睛】（ 1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；（2）根据黄金代换公式可以求出9 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期
13、相同的匀速圆周运动已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，求两颗星的质量之和23【答案】4rGT 2【解析】【详解】对双星系统，角速度相同，则：G MmM2r1 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2 r2 ；其中2， r=r 1+r2；T42r 3三式联立解得：MmGT 210 2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内的冯 卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。设搭载探测器的轨道舱绕月球运行半径为r，月球表面重力加速度为g，月球半径为R，引力常量为G，求：（1）月球的质量M 和平均密度 ；（2）轨道舱绕月球的速度v 和周期 T.【答案】（ 1）MgR23ggR2，T2r 3，22G4 RG（ ） vgRr【解析】【详解】（1）在月球表面：m gGMm0，则gR 22M0RG月球的密度：MgR2/ 4 R33gVG34 GR（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：Mmv2Gr 2m r解得： vgR2r2rr 3T2gR2v
