1、专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的旧教材相比 ,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作 ,向学生介绍“鸽巢问题” ,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化” ,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中 ,有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中 ,只需要确定某个物体 (或某个人 )的存在就可以了 ,并不需要指出是哪个物体 (或人 ) 。这类问题依据的理论 ,我们称之为“抽屉原理” 。“抽屉原理”最先是由19 世界的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的 ,所以又称 “狄利克雷原理” ,也称为
2、“鸽巢问题” 。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂 ,甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的 ,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。“抽屉原理”的变式很多 ,在生活中运用广泛 ,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时 , 要引导学生先判断某个问题是否属于 “抽屉原理” 可以解决的范畴。 能不能将这个问题同 “抽屉原理”结合起来 ,是本次教学能否成功的关键。所以 ,在教学中 ,应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型” 。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度
3、。教材选取的是学生熟悉的 ,易于理解的生活实例 ,将具体实际与数学原理结合起来 ,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。2.提高学生解决简单的实际问题的能力。3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理” 。通过“说理”的方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式 ,有助于提高学生的逻辑思维能力 ,为以后学习较严密的数学证明做准备。
4、2.有意识地培养学生的 “模型” 思想。当我们面对一个具体问题时 ,能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来 ,能否找到该问题中的具体情境与“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西” ,什么是 “抽屉” ,是解决该问题的关键。教学时 ,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程 ,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体现。3.要适当把握教学要求。 “抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。因此 ,用
5、“抽屉原理” 解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如 ,有时要找到实际问题与“抽屉原理” 之间的联系并不容易 ,即使找到了 ,也很难确定用什么作为 “抽屉” ,要用几个 “抽屉”。因此 ,教学时 ,不必过于要求学生 “说理” 的严密性 ,只要能结合具体问题 ,把大致意思说出来就可以了 ,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。1 鸽巢问题 1 课时2“鸽巢问题”的具体应用1 课时鸽巢问题教材第 68、第 69 页。1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激
6、发学生的学习兴趣 ,使学生感受数学的魅力。重点 :引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点 :找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。铅笔、笔筒、书等。师 :同学们 ,老师给大家表演一个“魔术” 。一副牌 ,取出大小王 ,还剩 52 张牌 ,请 5 个同学上来 ,每人随意抽一张 ,我知道至少有 2 人抽到的是同花色的 ,相信吗 ?试一试。师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。师 :想知道这是为什么吗 ?通过今天的学习 ,你就能解释这个现象了。 下面我们就来研究这类问题 ,我们先从简单的情况入手研究。【设计意图 :紧紧扣住学生的好奇心 ,从学生喜欢的扑克牌 “小魔术” 开始 ,激活认知热情。
7、使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】1. 讲授例 1。(1)认识“抽屉原理” 。 (课件出示例题 )把 4 支铅笔放进3 个笔筒中 ,那么总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔。学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。教师指出 :上面这个问题 ,同学们不难想出其中的道理 ,但要完全清楚地说明白 ,就需给出证明。(2)学生分小组活动进行证明。活动要求 : 学生先独立思考。 把自己的想法和小组内的同学交流。 如果需要动手操作 ,要分工并全面考虑问题。 (谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉” 、谁记录等 ) 在全班交流汇报。(3)汇报。师 :哪个小组愿
8、意说说你们是怎样证明的? 列举法证明。学生证明后 ,教师提问 :把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里 ,共有几种不同的放法?(共有 4 种不同的放法。 在这里只考虑存在性问题 ,即把 4 支铅笔不管放进哪个笔筒,都视为同一种情况 )根据以上 4 种不同的放法 ,你能得出什么结论 ?(总有一个至少放进 2 支铅笔 )数的分解法证明。可以把 4 分解成三个数 ,共有四种情况 :(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2 的。反证法 (或假设法 )证明。让学生试着说一说 ,教师适时指点 :假设先在每个笔筒里放1 支铅笔。那么 ,3 个笔筒
9、里就放了 3 支铅笔。还剩下 1支铅笔 ,放进任意一个笔筒里 ,那么这个笔筒里就有 2 支铅笔。(4)揭示规律。请同学们继续思考 :把 5 支铅笔放进 4个笔筒中 ,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么 ?如果把 6 支铅笔放进 5 个笔筒中 ,结果是否一样呢 ?把 7 支铅笔放进6 个笔筒中呢 ?把10 支铅笔放进9 个笔筒中呢 ?把 100 支铅笔放进99 个笔筒中呢 ?学生回答的同时教师板书:数量 ( 支 )笔筒数 (个)结果5 总有一个笔筒里提问 :观察板书 ,你有什么发现? 小组讨论 ,引导学生得出一般性结论。(只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔
10、)追问 :如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多 3,多 4 呢?学生根据具体情况思考并解决此类问题。 教师小结。上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理” ,可以概括为 :把 m 个物体任意放到 m-1 个抽屉里 ,那么总有一个抽屉中至少放进了2 个物体。2.教学例 2。师 :把 7 本书放进3 个抽屉 ,不管怎么放 ,总有一个抽屉里至少放进3 本书。为什么?自己想一想 ,再跟小组的同学交流。学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。组织全班交流,学生可能会说:?我们可以动手操作,选用列举的方法:第一个抽屉765433第二个抽屉011112第三个抽屉001232通过操作 ,我们把?
11、我们可以用数的分解法7 本书放进 3 个抽屉:把 7 分解成三个数,总有一个抽屉至少放进3 本书。,有 (7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2) 六种情况。在任何一种情况中, 有一个数不小于3。师 :同学 ,通 上面两种方法 ,我 知道了把 7 本 放 3 个抽 ,不管怎么放 , 有 1 个抽 里至少放 3 本 。但随着 的本 增多 ,数据 大 ,如果有 8 本 会怎 呢 ?10 本呢 ?甚至更多呢 ?用列 法、数的分解法会怎 ?(繁 )我 能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢 ? 同学 自己想一想。学生 行独立思考。师 :假 把 尽量的
12、“平均分” 各个抽 ,看每个抽 能分到多少本 ,你 能用什么算式表示 一平均分的 程呢 ?生 :73=2 1师 :有余数的除法算式 明了什么 ?生 :把 7 本 平均放 3 个抽 ,每个抽 放2 本 , 剩 1 本 ;把剩下的 1 本不管放到哪个抽 , 有一个抽 至少放3 本 。师 :如果有 8 本 会怎 呢 ?生 :83=2 2,可以知道把8 本 平均放 3 个抽 ,每个抽 放2 本 , 剩 2 本 ;把剩下的 2 本中的 1 本不管放到哪个抽 , 有一个抽 至少放3 本 。师 :10 本 呢 ?生 :103=3 1,可知把 10 本 平均放 3 个抽 ,每个抽 放 3 本 , 剩 1 本
13、;把剩下的 1 本不管放到哪个抽 , 有一个抽 至少放 4 本 。师 :你 了什么 ? 生共同小 :要把 a 个物体放 n 个抽 ,如果 an=b c( c 0),那么一定有一个抽 至少放 (b+1)个物体。【 意 :在渗透研究 、探索 律 ,先从 的情况开始研究。 明 程中 ,展示了不同学生的 明方法和思 水平 ,使学生既互相学 、触 旁通 ,又建立“建模”思想 ,突出了学 方法】师 :通 今天的学 ,你有什么收 ?生 :物体数除以抽 数,那么 会有一个抽 里放 比商多1 的物体个数。师 :你能在生活中找出 的例子 ?学生 例 明。师 :之所以把 个 律称之 “原理”,是因 在我 的生活中存
14、在着 多能用 个原理解决的 ,研究出 个 律是非常有价 的。同学 努力吧!【 意 :研究的 来源于生活 , 要 原到生活中去。 在教学的最后 , 学生 学会的 律 ,再 学生 一些能用 “ 巢 ” 解 的生活 象 ,以达到巩固 用的目的】 巢 1.学生 “至少”理解不 , “建模” 来了一定的 度。2.培养学生的 意 ,借助直 操作和假 法,将 化成“有余数的除法”形式,可以使学生更好地理解“抽 原理”的一般思路。3. 将具体 “数学化”的 程,有利于提高学生的数学思 能力, 学生在运用新学知 灵活巧妙地解决 的 程中 , 一步体 数学的价 ,感受数学的魅力 ,培养学 数学的 趣A 类1.10
15、01至少有 (只 子 )只 子。50 个 舍 ,无 怎么 ,我 一定能找到一个 子最多的 舍,它里面2.从8 个抽 中拿出17 个苹果 ,无 怎么拿,我 一定能找到一个拿出苹果最多的抽 ,从它里面至少拿出了()个苹果。3.从 ()(填最大数)个抽 中拿出25 个苹果,才能保 一定能找到一个抽 ,从它当中至少拿了7 个苹果。(考 知 点 : 巢 ;能力要求 :灵活运用所学知 解决 的具体 )B 类你能 明在任意的37 人中 ,至少有 4 人的属相相同 ? 明理由。(考 知 点 : 巢 ;能力要求 :灵活运用所学知 解决生活中的 ) 堂作 新 A 类 :1. 212. 33. 4B 类:把 12
16、个属相看作37 12=3 112 个抽 。3+1=4即在任意的37 人中 ,至少有4 人属相相同。教材 第 68 “做一做”1.我 可以假 3 只 子分 了三个 ,那么剩余的2 只 子无 哪个 ,都会出 “ 有一个 至少 了2 只 子” 个 果。2.因 5 人抽 4种花色的扑克牌,假 其中的4 人每人分 抽到其中一种花色,那么剩下的 1 个人无 抽到什么花色 ,就出 “至少有 2 牌是同花色” 个 果。第 69 “做一做”1. 114=2(只 ) 3( 只),可知如果每个 2 只 子 ,剩下的3 只 子 其中任意3 个 2. 5,那么至少有 3 只 子 了一个 。4=1(人) 1(人 ),可知
17、如果每把椅子上坐1 人 ,剩下的1 人再生其中任意的1 把椅子上,那么至少有1 把椅子上坐了2 人。“鸽巢问题”的具体应用教材第 70、第 71 页。1.在了解简单的“抽屉原理”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3.通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。引导学生把具体问题转化为“抽屉问题” ,找出这里的“抽屉”是什么 ,“抽屉”有几个 , 再利用“抽屉原理”进行反向推理。课件、纸盒1 个 ,红球、蓝球各4 个。1.讲月黑风高穿袜子的故事。一天晚上 ,毛毛房间的电灯忽然坏了 ,伸手不见五指。
18、这时他又要出去 ,于是他就摸床底下的袜子。 他有蓝、 白、灰色的袜子各一双 ,由于他平时做事随便 ,袜子乱丢 ,在黑暗中 ,无法知道哪两只是颜色相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少应该拿几只袜子出去吗?2.在学生猜测的基础上揭示课题。教师 :这节课我们利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。(板书 :“抽屉原理”的具体应用)1.课件出示例3。盒子里有同样大小的红球和蓝球各4 个 ,要想摸出的球一定有2 个同色的 ,至少要摸出几个球 ?2.学生自由猜测。可能出现 :摸 2 个、 3 个、 4 个、 5 个等。说说你的理由。3.学生摸球验证。?按猜 的不同
19、情况逐一 , 明理由。摸 2 个球可能出 的情况 :1 红 1 蓝 ;2 个 球 ;2 个 球。摸 3 个球可能出 的情况 :2 红 1 蓝 ;2 蓝 1 红 ;3 红 ;3 。摸 4 个球可能出 的情况 :2 红 2 蓝 ;3 蓝 1 红 ;3 红 1 蓝 ;4 红 ;4 。摸 5 个球可能出 的情况 :4 红 1 蓝 ;3 蓝 2 红 ;3 红 2 蓝 ;4 蓝 1 。教 :通 , 你 得出了什么 。小 :盒子里有同 大小的 球和 球各4 个。要想摸出的球一定有2 个同色的 ,至少要摸 3 个球。4.引 学生把具体 化 “抽 ”。教 :生活中像 的例子很多,我 不能 是猜 或 手 吧,能不
20、能把 道 与前面所 的“抽 原理” 系起来 行思考呢?(1)思考。 “摸球 ”与“抽 原理”有怎 的 系? 把什么看成“抽 ”?有几个“抽 ”?要分放的 西是什么? 得出什么 ?(2)小 。(3)学生 ,引 学生把具体 化 “抽 ”。教 解 :因 一共有 、 两种 色的球,可以把两种“ 色”看成两个“抽 ”,“同色”就意味着“同一抽 ”。 ,把“摸球 ” 化成“抽 ”,即“只要分的物体个数比抽 个数多,就能保 有一个抽 至少有2 个球”。从最特殊的情况想起,假 两种 色的球各拿了1 个 ,也就是在两个“抽 ”里各拿了1个球 ,不管从哪个“抽 ”里再拿1 个球 ,都有2 个球是同色的,假 最少要
21、摸a 个球 ,即(a)2=1 ( b),当 b=1 时 ,a 就最小。所以一次至少 拿出12+1=3(个 )球 ,就能保 有2 个球同色。结论 :要保 摸出2 个同色的球 ,摸出的球的数量至少要比 色种数多1。【 意 :在 和“ 巢 ”之 架起一座 梁并不是一件容易的事。因此教 有意 地引 学生朝 个方向思考,慢慢去感悟。 逐步引 学生把具体 化 巢 ” ,并找出 里的“ 巢”是什么,“ 巢”有几个】,“ 师 :在本 的学 中 ,你有哪些收 学生自由交流各自的收 、体会。“抽 原理”的具体 用1.在思考 把什么看成抽 ,要分放的 西是什么 ,学生一开始可能会缺乏思考的方向,很 找到切入点。2.
22、不同 色的球的个数,很容易 学生造成干 。因此教学 ,教 要允 学生借助 物操作等直 方式 行猜 、 。A 类1.某班有个小 架,40个同学可以任意借 ,小 架上至少要有多少本 ,才能保 至少有一个同学能借到两本或两本以上的 ?2.有4 双不同 色的手套,至少拿几只手套才能保 有两只手套是成 的?(考 知 点: 巢 ;能力要求:运用“ 巢 ”的原理解决 )B 类有 色、 白色、黑色的筷子各 10 根混放在一起 ,如果 你 上眼睛去摸 ,你至少要摸出几根才能保 有 2 根筷子是同色的 ? 什么 ?至少摸出几根 ,才能保 有 4 根同色的筷子 ? 什么 ?(考 知 点 : 巢 ;能力要求 :运用“
23、 巢 ”的原理解决 ) 堂作 新 A 类 :1.将 40 个同学看作抽 中至少有两个物体40 个“抽 ” ,物体数至少 , 看作被分的物体,由“抽 原理”知:要保 有一个40+1=41(个 )。即小 架上至少要有41 本 。2. 5只B 类:把三种 色的筷子当作三个“抽 ”, 根据“抽 原理”可知:至少拿 4 根筷子 ,才能保 有2 根同色筷子。从最特殊的情况想起,假 三种 色的筷子各拿了3 根,也就是在三个“抽 ”里各拿了3 根筷子 ,不管在哪个“抽 ”里再拿1 根筷子 ,就有 4 根筷子是同色的,所以一次至少 拿出3 3+1=10(根 )筷子 ,才能保 有4 根筷子同色。教材 第 70 “
24、做一做”1. “六年 里至少有两人的生日是同一天”, 种 法是正确的。因 如果一年当中每天都有一名学生 生日( 年366 天), 最多有366 名学生的生日都不是在同一天, 剩下1名学生;剩下的 一名学生生日无 在哪一天,都一定会有两人的生日是相同的,即他 的生日在同一天。“六 (2)班中至少有5 人在同一个月出生的” 种 法是正确的。因 4912=4(人 ) 1(人 ),可知如果每4 人是同一个月出生的, 剩下 1 人。把剩下的1 人再定 其中任意一个月出生的 , 六 (2)班中至少有 5 人是同一个月出生的。2. 至少取 5 个球 ,可以保 取到两个 色相同的球。第 71 “ 十三”1.
25、若每个属相都有一位老 , 只有12 位老 ,所以第13 位老 的属相无 是什么,他 中至少有2 个人的属相是相同的。2.若每一镖都低于9 环 ,5镖的成绩最高是 40 环 ,因此至少有一镖不低于9 环。3.若每一种颜色涂得都少于3 个面 ,两种颜色涂得面的总数就少于6个面 ,因此至少有 3个面涂着的颜色相同。4.每次至少拿出4 根才能保证一定有 2 根同色的筷子 ;如果要保证有2 双筷子至少要拿出 6 根。5. 任意给出的 3 个不同的自然数 ,有 4 种可能 :奇数、奇数和偶数 ;奇数、偶数和偶数 ;奇数、奇数和奇数 ;偶数、偶数和偶数。而“奇数 +奇数 =偶数” ,“偶数 +偶数 =偶数” ,所以无论是哪种可能的情况下 ,都会出现这两种结果当中的一种 ,即任意给出 3 个不同的自然数 ,其中一定有 2 个数的和是偶数。6. 如果只涂两行的话,至少有三列的涂法是相同的。
