1、第3章 离散时间信号与系统的时域分析,3.1 引言,1、离散时间信号与系统分析方法的发展,2、与连续时间系统相比，离散时间系统的优点,易于实现、便于大规模集成、可靠性更好； 在足够字长的条件下，可以设计更高的精度。 由可编程器件和软件来实现，系统实现更灵活、系统的升级维护更简单,并非离散时间系统可以完全取代连续时间系统,3.2 离散时间信号,离散时间信号是指在某些不连续的时刻有定义，而在其它时刻没有定义的信号，简称离散信号 。,数值的离散时间间隔通常是均匀的，设间隔为,，则离散时间,，如图所示。,信号可表示为,只在,上有定义，在其它时刻没有定义，,而不是幅度为零。,3.2.1 离散时间信号的描
2、述方法,对于离散时间信号的描述，常采用以下三种形式,解析形式,序列形式,图形形式,3.2.2 离散时间信号的基本运算,1序列的移位,2序列的反折,设某一序列为,，则,是以,为对称轴将序列,水平翻转。,解：根据序列求和定义，得,3序列的求和,【例3-2-1】,已知,，,求,4序列的乘积,解：根据序列乘积的定义，得,【例3-2-2】,已知,求,5序列的差分运算,前向差分运算定义为：,后向差分运算定义为：,称为前向差分算子,称为后向差分算子,前向差分与后向差分的关系为：,还可以定义二阶差分运算,解：根据前向差分的定义，得,根据后向差分的定义，得,，,6序列的累加运算,【例3-2-4】,已知,，求,。
3、,解：,7序列的时间尺度变换,（1）抽取。,（2）零值插入。,的,零值插入就是在,相邻的两个,样点之间插入,个零值样点。,3.2.3 典型的离散时间信号,1单位取样序列,不是一个物理量，只是一个数学抽象。,任何序列都可以用一些延迟的单位取样序列的加权和来表示，即,【例3-2-6】,已知序列,如图所示，,利用单位取样序列,写出,的数学表达式,解：由图可得,2单位阶跃序列,或,3矩形序列,4实指数序列,，,通常，单边实指数序列应用更广。单边实指数序列定义为,或,，序列是发散的。,，序列是收敛的,5复指数序列,复指数序列可以表示为实部和虚部的形式，即,也可以表示为极坐标的形式，即,其中，,，,。,6
4、正弦型序列,和,统称为正弦型序列。,由欧拉（Euler）公式可将正弦型序列表示为复指数序列的形式,所以,又称为归一化频率。,（ , N为整数）,3.2.4 序列的周期性,下面讨论正弦序列 的周期性。,正弦序列是周期序列，其周期为,不一定为整数，即正弦序列不一定是周期序列。,讨论正弦序列在何种情况下是周期序列,同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列 的情况相同。,【例3-2-6】判断下列序列是否为周期序列，并确定其最小周期。,（1）,（2）,（3）,从上述的分析可知，连续时间周期信号经间隔采样所得的序列不一定是周期序列,须为有理数,为连续信号的周期,3.3 离散时间系统,上式表示由输入
5、序列计算输出序列的某种规则或数学公式。,系统还可以用图形来表示,3.3.1 离散时间系统的描述,差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具,下面举例说明。,【例3-3-2】某种植物第一天长高3cm，之后每天新长的高度是前一天的1/2，建立描述该植物高度的方程。,即,或,即,这是一个二阶常系统前向差分方程，前向差分方程与后向差分方程没有本质的区别。【例3-3-2】也可以写成后向差分方程的形式，即,或,考虑到离散时间系统的输入多数是因果序列，即,，,所以，在系统分析中一般写成后向差分方程的形式。,如果输入信号,不能用解析表达式描述，我们无法利用第2章,所介绍的方法求解微分方程,这时，可以用差分方程近
6、似微分方程，借助数值计算的方法来求解微分方程。,当采样周期 足够小时，信号的差分可近似信号的微分，即,则微分方程近似为,整理，得,离散时间系统差分方程的基本数学运算包括延时（移位）、与标量相乘、序列相加三种运算，也即为离散时间系统可用延时（移位）器、标量乘法器、序列加法来实现。其方框图和流程图两种图形表示，分别如下图所示。,差分方程描述的离散时间系统均可以用方框图或流程图形式来表示。如差分方程 可用下图描述。,反之，由方框图或流程图也可以写出离散时间系统的差分方程。,3.3.2 线性时不变系统,离散时间线性系统同时满足叠加性和均匀性，系统对输入的线性组合所产生的响应是原来各个输入单独产生的响应
7、同样的线性组合,解：由于,，,因此,故该系统不是线性系统。,1线性系统,2时不变系统,如果系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则称该系统是时不变系统。,解：因为,所以,故该系统是时变的。,3线性时不变系统的性质,单位取样响应（或单位冲激响应） ，即,则,，,由定义可以证明，离散卷积和满足交换律、结合律和分配律 。,（1）交换律,（2）结合律,两个线性时不变子系统级联所构成的系统还是一个线性时不变系统，它的单位取样响应是原来各子系统单位取样响应的卷积和，与子系统级联次序无关，,（3）分配律,两个线性时不变子系统并联所构成的系统还是一个线性时不变系统，它的单位取样响应是原来各个子系统单位取样响应
8、之和,3.3.3稳定系统,则,3.3.4因果系统,对于线性时不变系统，它是因果系统的充要条件是,，,解：（1）判断稳定性,所以，系统是稳定的。,常将具有这种特征的系统称为逆因果系统。还将系统因果性的概念,推广到序列。,3.4 离散LTI系统常系数差分方程的求解,离散线性时不变系统的差分方程是常系数差分方程，一般形式为,求解常系统差分方程的方法有以下几种：,迭代法,时域经典解法,零输入响应和零状态响应,变换域求解方法,3.4.1 迭代法,变形为：,和输入，就可以用迭代法求得,所以,的数值解，,3.4.2 经典求解法,差分方程的时域经典求解法是将响应的完全解分为齐次解和特解两部分，即,1齐次解,令
9、差分方程的右边为零，得差分方程的齐次方程为,对应的特征方程为,特征方程的根称为特征根 ，记为 （ ），根据特征根的不同情况，差分方程的齐次解具有不同的形式。,，,（1）特征根无重根。,差分方程的齐次解为,由初始条件,，,，,，,确定。,2特解。特解 的形式与激励信号的形式有关。将激励 代入差分方程并化简，所得到的右端式子称为自由项，特解的形式由自由项决定。如下表所示（其中， 为待定系数 ）,3完全解,差分方程的完全解为齐次解与特解之和，按以上方法求出齐次解和特解，将它们代入到,得到完全解的表达式，该表达式仍包含齐次解的待定系数。,解：（1）齐次解,齐次方程为,可得其对应的特征方程,差分方程的特
10、征根为,，,所以，差分方程的齐次解为,（2）特解,即,（3）完全解为,得,解方程组，可得,所以，系统的完全解为,系统的齐次解与激励信号 无关，仅依赖于系统本身的特征。因此，齐次解称为系统的固有响应；而特解的形式取决于激励信号 ，特解称为系统的强迫响应。,3.4.3 零输入响应和零状态响应,离散时间LTI系统的完全响应可以看作是零输入响应和零状态响应的叠加，即,1零输入响应,它与经典求解法中系统的初始条件 不同。,2零状态响应,零状态响应 是指系统的起始状态为零，即,由激励信号单独作用于系统而产生的响应。,须由零状态的起始状态,经迭代获得。,解：（1）求零输入响应,差分方程的零输入响应为,将,，
11、,代,解得,则系统的零输入响应为,（2）求零状态响应,其中， 为待定系数。,得初始条件,再将初始条件代入,得,解得,则系统的零状态响应为,3单位取样响应,零状态响应 可采用经典方法求解，但求解过程比较繁琐，且不利于计算机编程实现，所以，在实践中较少应用,求零状态响应常用的方法是卷积和。对于线性时不变系统,要利用卷积和分析系统的零状态响应，首先应求解系统的单位取样响应 ，常用差分方程的经典求解法求,解：系统的齐次方程为,，特征方程为,右端为零。所以，系统的单位取样响应与差分方程的齐次解有相同的形式,，,代入差分方程,得,解得,所以,是线性时不变的，所以,3.5 卷积和与解卷积,线性时不变系统,本
12、节将详细介绍卷积和的计算过程，并简要说明卷积逆运算解卷积及其应用。,3.5.1 卷积和,离散序列的卷积可以通过画图来辅助计算，称为图解法求卷积。图解法求卷积的步骤如下：,（2）移位。,，右移,，左移,（5）重复（2）、（3）、（4）步骤，可计算 的所有样点。,图解法计算序列的卷积和，一般不是逐个样点计算 ，而是分几个区间分别考虑。,（5）综合以上结果，得,如图所示。,对于两个长度较短的有限长序列，求它们的卷积和还有一种更简便的方法，这种方法称为“竖乘法”，计算过程与两个整数的乘法过程相类似，实质上是以数的排列将图解法中反折和移位两个步骤巧妙地取代了。,，,两序列的样值右端对齐，如下排列，写出竖
13、式并计算,“竖乘法”求卷积的计算过程与两个整数的乘法过程类似，但同一列的数值累加过程中不进位。,（2）确定卷积结果的起点和终点,本例中,所以,利用图解法和“竖乘法”可以求出一些常用序列的卷积和，列于下表,表3-5-1续,利用上表中常用序列的卷积和可求一些较复杂序列的卷积，方法是将卷积的两序列分解成表中常用序列的形式，再利用卷积的结合率、分配率和交换率计算卷积。,解：,第6章将介绍基于 变换或傅里叶变换的卷积计算方法，变换域的卷积计算更加简便，而且可以推导出卷积计算的快速算法。,3.5.2 解卷积,卷积和的计算公式为,写成矩阵运算的形式为,综合上式，可归纳为,利用计算机编程很容易完成解卷积运算。,解卷积的应用,控制工程领域的“系统辨识”,
