1、第3章 连续信号与系统的频域分析,引言 周期信号的频谱傅立叶级数 非周期信号的频谱傅立叶变换 傅立叶变换的性质 傅立叶分析的应用举例 利用MATLAB进行系统的频域分析,引言,3.1 周期信号的频谱傅立叶级数,3.1.1 三角函数式傅立叶级数,若周期函数,(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点 (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即,满足狄里赫利条件:,可以展开为三角形式的傅立叶级数，为,式中,式中， 0=2/T是基波角频率， 有时也简称基波频率。 一般取t0=-T/2。,利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角形式化为标准的三角形式,两种三角形式系数的
2、关系为,例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。,解 将f(t)整理为标准形式,振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。,图 3.1-1 例3.1-1的频谱图(a) 振幅图； (b) 相位图,3.1.2 指数形式的傅里叶级数,利用欧拉公式,我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数,令c0=F0代入上式， 并将两个和式合并得到,这样f(t)指数形式为,其中系数,F(n0)是复常数， 通常简写为Fn。 Fn还可以表示成模和幅角的形式,(3.1-12),三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅， 但在指数形式中， Fn要与相对应的第-n项F-n合并， 构成第n次谐波分量的振幅
3、和相位。,指数形式与三角形式系数之间的关系为,例1的指数形式频谱图如下图所示。,例1的频谱图(a) 振幅图； (b) 相位图,3.1.3 傅立叶级数的存在性,傅立叶认为所有的周期信号都可以表示成正弦信号或者复指数信号形式，但是这些周期信号必须满足一定的条件。这个条件是：在一个周期内，信号的变差是有界的。这一条件也就是上文所述的狄里赫利条件。,3.1.4 傅里叶级数的性质,1. 线性性质,2对称特性,（1）偶对称。若,是关于纵轴对称的偶函数，即,，则其傅立叶系数有如下关系：,（2）奇对称。若,是关于原点对称的奇函数，即,，则其傅立叶系数有如下关系：,3时移特性,傅立叶级数的时移特性说明，傅立叶级
4、数的幅度只与信号的形状有关，而与信号在时间轴上的位置无关。即信号的超前或滞后只会影响傅立叶系数的相角，而不会改变其幅度。,4尺度变换特性,设,信号进行时间尺度变换后，其各次谐波的傅立叶系数保持不变，但基波频率要从,变为,。,5时域微分特性,3.2 非周期信号的频谱傅里叶变换,3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换若将非周期信号看作是周期信号T的极限情况， 非周期信号就可以表示为,以周期矩形脉冲为例， 当T时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。 随着T的增大， 离散谱线间隔0就变窄； 当T， 00， |Fn|0时， 离散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|0， 但其频谱分布规律依然存在， 它们之
5、间的相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入频谱密度函数。,已知周期函数的傅里叶级数为,式中,对上式两边取极限， 并乘以T， 使Fn不为零， 得到,(3.2-1),(3.2-2),式中, |F()|是振幅谱密度函数， 简称振幅谱； ()是相位谱密度函数， 简称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅里叶变换对关系也常用下述符号表示,或,傅里叶变换也简称傅氏变换， 用英文缩写FT或F表示； 傅里叶反变换用英文缩写IFT或F-1表示。 若f(t)为因果信号， 则傅
6、里叶变换式为,反变换同式(3.2-2)。,上式表示F(j)与f(t)具有一一对应关系， F(j)是f(t)的频谱密度函数， 而f(t)是F(j)的原函数。特别有,由傅里叶变换的推导过程表明， 信号傅里叶变换存在的条件与傅氏级数存在条件基本相同， 不同之处是时间范围由一个周期变为无限区间。 傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可积， 即,信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱F()是同一信号的两种不同的表现形式。 不过， f(t)显示了时间信息而隐藏了频率信息； F()显示了频率信息而隐藏了时间信息。,3.2.2 傅立叶变换的存在性,3.2.3 常用函数的傅里叶变换对1. 单边指数函
7、数(1) 单边因果指数函数,即,单边因果指数函数的波形f(t)、 振幅谱|F(j)|、 相位谱()如图所示。,图 3.3-1 单边指数函数的f(t), 振幅谱、 相位谱,（2） 单边非因果指数函数,即,单边非因果指数函数的波形f(t)、 振幅谱|F(j)|、 相位谱()如图3.3-2所示。,图 eatu(-t)波形及其振幅、 相位谱,2. 双边指数函数f(t)=e-a|t| -0或 f(t)=eatu(-t)+e-at u(t)利用以上单边指数函数的变换结果我们有,即,双边指数函数的波形f(t)、 频谱F(j)如图所示。,图 双边指数函数的波形、 频谱,3. 符号函数 符号函数也称正负函数，
8、记为sgn(t)， 表示式为,显然， 这个函数不满足绝对可积条件， 不能直接来求。 我们可用以下极限形式表示sngt函数,上式是两个单边指数函数的组合， 利用前面的结果， 并取极限可得,符号函数的波形f(t)、 振幅谱|F(j)|、 相位谱() 如图所示。,图 符号函数的波形f(t)及其振幅、 相位谱,4. 矩形脉冲信号g(t)g(t)是宽度为， 幅度为1的偶函数， 常常也被称为门函数， 表示式为,门函数的频谱函数、 振幅谱、 相位谱为,门函数的波形f(t)、 振幅谱|F(j)|、 相位谱()如图所示。,图 g(t)的波形及振幅、 相位谱,由于F()是实函数， 其相位谱只有0、 两种情况， 反
9、映在F()上是正、 负的变化, 因此其振幅、 相位谱如图3.3-6所示, 可由F()来表示。,图 3.3-6 g(t)的频谱函数,由图3.3-4可见， 门函数在时域中是时宽有限的信号， 而它的频谱是按 的规律变化、无限频宽的频谱。 但是信号主要能量集中在频谱函数的第一个零点之内， 所以通常定义它的频带宽度为,(弧度/秒),(赫兹),5. 冲激函数时域冲激函数(t)的变换可由定义直接得到,由式可知， 时域冲激函数(t)频谱的所有频率分量均匀分布（为常数1），这样的频谱也称白色谱。 冲激函数(t)、 频谱函数如图所示。,图 冲激函数及其频谱,频域冲激()的原函数亦可由定义直接得到,由式可知频域冲激
10、()的反变换是常 数（直流分量）。,频域冲激函数()、 原函数如图所示。,图 频域冲激函数()及其原函数,6. 阶跃函数u(t)阶跃函数虽不满足绝对可积条件， 但u(t)可以表示为,对上式两边取傅氏变换,阶跃函数的波形、 振幅谱|F(j)|、 相位谱()如图所示。,图 阶跃函数的波形以及振幅、 相位谱,3.3 傅里叶变换性质及定理,1. 线性若f1(t)F1(), f2(t)F2()， 则af1(t)+bf2(t) aF1()+bF2() (3.3-1)式中, a、 b为任意常数。,证,利用傅氏变换的线性特性， 可以将待求信号分解为若干基本信号之和， 如在上一节我们将阶跃信号分解为直流信号与符
11、号函数之和。,2. 时延（时移、 移位）性若f(t)F()， 则,(3.3-2),证,图 3.3-1 例3.3-1信号图,例3.3-1 求如图3.3-1所示信号f1(t)的频谱函数F1()， 并作频谱图。 解 f1(t)与门函数的关系为,由上节门函数的变换,再由线性与时移性， 得到,f1(t)的振幅、 相位频谱函数|F1()|、 1()如 图3.3-2所示。,图 3.3-2 例3.3-1的振幅、 相位频谱,3. 频移性若f(t)F()， 则,(3.3-3),证,频移特性表明信号在时域中与复因子 相乘， 则在频域中将使整个频谱搬移0。,实际调制解调的载波(本振)信号是正、 余弦信号， 借助欧拉公
12、式正、 余弦信号可以分别表示为,这样， 若有f(t)F()， 则,(3.3-4),(3.3-5),例3.3-2 求f(t)=cos0tu(t)的频谱函数。解 已知,利用调频性,f(t)的波形以及频谱如图3.3-3所示。,图 3.3-3 例3.3-2的波形及振幅、 相位频谱,同理可得,例3.3-3 求如图3.3-4所示f(t)的F()并作图。,图 3.3-4 例3.3-3f(t),解 令f1(t)=g(t)， 则,而,如果02/， F1()以及F()如图3.3-5所示。,图 3.3-5 例3.3-3的F1()以及F(),图3.3-6 调制原理图,在接收端将已调信号f(t)恢复为原信号f1(t)的
13、过程为解调。 一种同步解调的原理框图如图3.3-7(a)所示。 图中的cos0t为接收端的本地载波信号（通常称本振信号）， 与发送端的载波信号同频同相。 其中,利用线性与频移特性， 对应的频谱函数为,仍以例3.3-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)的频谱F0()如图3.3-7(b)所示。 利用一个低通滤波器（在后面介绍）， 滤除20附近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解调。,图 3.3-7 一种同步解调的原理框图及频谱图,在通信系统中调制也广泛应用在多路复用技术上， 即不同的信号频谱通过调制， 可移至不同的载波频率上， 在同一信道上发送而互不干扰， 实现“频分多路”复用。 以
14、上讨论的是频移特性在调制解调中的一些具体应用， 调制解调理论及各种实现调制解调电路是后续课程的内容， 已超出本课程范围， 不再讨论。,4. 尺度变换 若f(t)F()， 则,证,(3.3-6),当a0时，令at=x, 则 ， 代入上式,当a0时, 令at=x, 则dt=- 1/a dx， 代入上式,(再令x=t且积分上、 下限互换),综合a0、 a0两种情况， 尺度变换特性表示为,特别地当a=-1时， 得到f(t)的折叠函数f(-t)， 其频谱亦为原频谱的折叠， 即f(-t) F(-) 尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中就一定压缩； 即信号
15、的脉宽与频宽成反比。,一般时宽有限的信号， 其频宽无限， 反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）时， 其能量成比例的减少（增加）， 因此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。 也可以理解为信号波形压缩（扩展）a倍， 信号随时间变化加快（慢）a倍， 所以信号所包含的频率分量增加（减少）a倍， 频谱展宽（压缩）a倍。 又因能量守恒原理， 各频率分量的大小减小（增加）a倍。 图3.3-8表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。,图 3.3-8 矩形脉冲及频谱的展缩,5. 时域微分特性 若f(t) F()， 则,（3.3-7）,证,(交换微、 积分次序),所以,同理， 可推广到高阶导数的傅里叶变换,（3.3-8
16、）,式中, j是微分因子。,6. 时域积分特性若f(t) F()，,特别地， 当F(0)=0时,（3.3-10）,（3.3-9）,证,(交换积分次序),显然， 当F(0)=0 时， 有,从时域上看， 一般当y(t)是无限区间可积时， 即 ， 说明无直流分量, 则F(0)=0。 利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。,例3.3-4 求如图3.3-9(a)所示f(t)的频谱函数F()。,f(t)如图3.3-9(b)所示。,图 3.3-9 例3.3-4,f(t)如图3.3-9(b)所示。,f(t)如图3.3-9(c)所示。,因为F1(0)=F2(0)=0最后,7. 频域微分特性若f(t)
17、F()，,（3.3-11）,一般频域微分特性的实用形式为,（3.3-12）,对频谱函数的高阶导数亦成立,（3.3-13）,（3.3-14）,或,证,(交换微、 积分次序),所以,或,同理可证高阶导数,或,例3.3-5 求f(t)=te-at u(t)的频谱函数F()。解 利用,8. 对称（偶）性若f(t) F()， 则 F(t) 2f(-) (3.3-15)或,证,(3.3-16),则,将变量t与互换,所以 2f(-) F(t) 特别地， 当f(t)是t的偶函数， 那么F(t) 2f(-)=2f() 即有,(3.3-17),例3.3-6 已知F1()如图3.3-10所示， 利用对称性求f1(t
18、)。,图 3.3-10,解 波形与图3.3-9（a）相似， 是与F1()相似的对称三角波。,其对应的,例3.3-7 已知F1()=Eu(+0)-u(-0)， 利用对称性求f1(t)。 解 已知F1()波形如图3.3-11所示。 且f(t)=Eu(t+)-u(t-) F()=2ESa(),图 3.3-11 例3.3-7 F1(),则F1()=f() (t, 0)=Eu(+0)-u(-0) f1(t)= 1/2 F(t) (t, 0),例3.3-8 求 的傅氏变换。解 由时延特性， 已知 。利用对称性， 将上式中的t变换成-、 t0变换成0， 并乘以系数2， 我们得到另一对变换对,（3.3-18）
19、,利用这一结果， 容易推导正、 余弦周期函数的傅氏变换。,cos0t、 sin0t的波形与频谱如图3.3-12 所示。,（3.3-20）,（3.3-19）,图 3.3-12 正、 余弦信号与其频谱,由 的傅氏变换， 可以推导任意周期函数的频谱函数为,（3.3-21）,证,例3.3-9 求周期单位冲激序列 的傅氏变换, 0= 2/T 。解 先将周期单位冲激序列展开成傅氏级数,其中，,Fn如图3.3-13(a)所示。 即,(3.3-22),再求这个级数的傅氏变换,图 3.3-13 T(t)的频谱函数,T(t)的频谱函数如图3.3-13(b)所示。可见， 单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列，
20、 其冲激强度为0。 由上例归纳求周期函数的傅氏变换（频谱函数）的一般步骤为：(1)将周期函数展开为傅氏级数； (2)对该傅氏级数求傅氏变换（频谱函数）。,9. 奇、 偶、 虚、 实性f(t)为实函数时， F()的模与幅角、 实部与虚部表示形式为,其中,(3.3-23),讨论： 一般f(t)为实函数， 则,为的偶函数,为的奇函数,为的奇函数,由式（3.3-23）可知， R()、 |F()|是的偶函数； X()、 ()是的奇函数。 特别地f(t)为实偶函数， 我们有,（3.3-24）,由式（3.3-24）可知若f(t)是t的实偶函数， 则F()必为的实偶函数。 特别地f(t)为实奇函数， 我们有,
21、（3.3-25）,由式（3.3-25）可知若f(t)是t的实奇函数， 则F() 必为的虚奇函数。,10. 时域卷积定理若f1(t) F1()， f2(t) F2()， 则f1(t)*f2(t) F1()F2() （3.3-26） 证,(交换积分次序),(利用时延性),11. 频域卷积定理 若 f1(t) F1()， f2(t) F2()，,（3.3-27）,证,例3.3-10 若已知f(t)的频谱F()如图3.3-14所示， 试粗略画出f2(t)， f3(t)的频谱图(不必精确， 只指出频谱的范围， 说明展宽情况),图 3.3-14 例3.3-10的频谱函数,解 f1(t)=f2(t) F()
22、*F()=F1()频谱展宽为原来的2倍。 f2(t)=f3(t) F1()*F() = F()*F()*F()=F2()频谱展宽为原来的3倍。,表3-2 傅氏变换性质（定理）,3.4 傅立叶分析的应用举例,3.4.1 线性系统的傅立叶分析,例3.4.1 试计算如下图所示系统当激励为,，响应为,时的频率特征。,2系统对周期激励信号的响应,3系统对非周期激励信号的响应,非周期信号具有连续的频谱，且每一个频率分量都只有无穷小的幅度，因此，不能像周期激励信号时那样用傅立叶级数的形式来表征激励,和响应,，所以只能用频谱密度来描述。,3.4.2 无失真传输系统,3.4.3 滤波,利用有用信号和干扰信号之间
23、在频谱上的差别，让信号通过一个系统，把不需要的频率成分滤掉同时把需要的频率成分保留下来，这个过程叫做信号的滤波，这样的系统叫做滤波器。,（a）为理想低通，（b）为理想高通，（c）为理想带通，（d）为理想带阻。,1 理想低通滤波器的特性,一个系统，如果它的H()对不同频率成分的正弦信号， 有的让其通过，有的予以抑制，则该系统称为滤波器。所谓理想滤波器，是指不允许通过的频率成分，一点也不让它通过， 百分之百地被抑制掉；而允许通过的频率成分，让其顺利通过， 百分之百地让其通过。,图 3.4-1 理想低通滤波器的系统函数,由图 3.41 可知， 理想低通滤波器的系统函数为,图 3.4-2 理想低通滤波
24、器的冲激响应,2非理想低通滤波器,3.4.4 调制与解调,调制通常是由待传输的低频电信号控制另一个高频信号的振幅、频率、初相位等参数的过程。,解调是调制的逆过程，也就是从已调制信号中恢复或提取出调制信号的过程。对调幅信号进行的解调也叫做检波，对调频和调相新号的解调也叫做鉴频和鉴相。,1调幅,2.检波,抑制载波调幅信号要利用乘法器和低通滤波器（,才能实现幅度解调，其原理方框如图所示。,）,3.4.5 抽样信号与抽样定理,1抽样信号,2抽样定理,3.5 利用MATLAB进行系统的频域分析,3.5.1 连续信号的频域分析,3.5.2 连续系统的频域分析,解：解决此题的MATLAB程序如下： b=100; a=1 70 100; w=0:1:100; h=freqs(b,a,w); h1=abs(h); h2=angle(h)*180/pi; subplot(2,2,1); plot(w,h1); grid xlabel(频率); ylabel(幅度); title(幅频特性); subplot(2,2,2); plot(w,h2); grid xlabel(频率); ylabel(相位); title(相频特性);,
