1、第三章习题基础题3.1 证明 , , , (n 为正整数)，在区间 的正交集。cost(2)tcos(nt (0,2)它是否是完备集 ?解： (积分?)此含数集在为正交集。又有 不属于此含数集 ，对于(0,2)sin()t 02sin()co0tmtd所有的 m 和 n。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。3.2 上题的含数集在 是否为正交集？(0,)解：由此可知此含数集在区间 内是正交的。(0,)3.3 实周期信号 在区间 内的能量定义为 。如有和)ft,2T2()TEftd信号 若 与 在区间 内相互正交，证明和信号的总12()ft(1ft()ft(,)2能量等于各信号的能量之和;若 与
2、 不是相互正交的，求和信号的总能量。 ()1ft2()ft解： 和信号 f(t)的能量为（少乘以 2）2222221 12()()()TTTTTEftd dtftftdftt由 与 在区间内正交可得1()ft2ft 212()0Tftdt则有 221()()TTEftdft即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。和信号的能量为(2)（少乘以 2 吧？）2222221 1()()()TTTTTEftddtftftftt由 与 在区间 内不正交可得1()ft2,21()0TftdtK则有 22221 1()()()()TTTTEftdftftdft即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。3.
3、4 求下列周期信号的基波角频率 和周期 T。（1） （2） 0jte 2/)3(cost（3） （4）)4sin()2cott cos(5)tt（5） （6） /( /)/cs(t解： 角频率为 ，周期1)10rads210T角频率为 ，周期(224s角频率为 ，周期 （先求 T，后求 omg 吧？）3)rs角频率为 ，周期 (4ad2Ts角频率为 ，周期5)4rs8角频率为 ，周期(63060s3.5 用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式） 。解： 周期 ，则有 (1)T=4,2（k 是整数；怎么求的边界条件？）,- t+1ft03由此可得2()cos)
4、(Tnaftntd21()cos)ntftd1cos()2ntdsi(,01,221()sin)()sin)Tn tbfttdftd（X？）1si()0,12td周期 T=2， ，则有()2Tsin(),21()01tktft由此可得： （积分？12 021()()()sin()22,0,()jnt jnt jntnjtFfedfeded3.6 如图所示是 4 个周期相同的信号用直接求傅里叶系数的方法求图（a）所示信号的傅里叶级数（三角形式） ；(1)将图（a）的函数 左（或右）移，就得图（b）的函数 ，利用(2)1()ft 2()ft1的结果求 的傅里叶级数；2()ft利用以上结果求图（c）
5、的函数 的傅里叶级数；(3) 3()ft利用以上结果求图（d）的信号 的傅里叶级数；44解：由 的波形可知(1)ft12,2()0,TtkTftt令 ，则有2T220121 12121 1cos()sin()sin(),12,co() in()4()cos()sin()4TTnn nn nbtdttdft ttTfttt2210cos()cos()TTnantfdtntd2),(2 210sin)(sin()co(,TTnbtfdtttd则 的傅里叶级数为1)ft121 1cos()cos()(s()in)4n nft tt由 和 的波形图可知2)ft()ft或21T21()Tft则 的傅里叶
6、数为2()ft1)21 1cos( cos()s()in()4)22n nTTt t 21 1( ()()si)n nt t 21 1cos( co()s()co)sin()4)n nt t 21 1(i()n ntt 由 的波形可知(3)ft32()ftt则 的傅里叶级数为3()2ftt21 1cos()sin()4n ntt 21 1cos()sin()4n ntt有 的波形可知()ft423()ft则 的傅里叶级数为ft42321cos()()() ()nftft nt3.7 试画出图示信号的奇分量和偶分量解：（1）由 的波形求得 的波形1()ft1()ft则奇分量的波形为 = 偶分量的
7、波形为 =od12ft ()edft1()2ft（2）由 的波形求得 的波形2()ft()ft则奇分量的波形为 = 偶分量的波形为 =odt1ft()edft1()ft3.8 利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。解：（1） 由 的波形可知1()ft= =ft1()t1()2tf则有 204costnafntd,0,nb0242460ab则 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。1()ft（2） 由 的波形可知2ft2()ft则有 0na204()sin),01,2tnbftd则 的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。2()ft（3） 由 的波形可知 则有3ft3()
8、ftt0nb204()cos),01,2tnafntd即 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。3()ft（4） 由 的波形可知， 为奇谐函数，即4ft4()ft()2则有 024460ab即 的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。4()ft3.9 如图的周期性方波电压作用于 电路，试求电流 的前五次谐波。RL()it解：由 的波形图可知周期 ，则有()sut 2,1T1,230sktt由此可得傅立叶级数的系数 2()cos)Tnsautntd1()stt21cos()ntd201,2sin()ndt时 ， a时 ，因 为偶数，则()sut0,nb则电路激励 的前五次谐波为 s
9、t501122()cos()cos(3)cos(5)2snauttttt由电路得系统微分方程为 ()situt欲求电流 的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。()it设 0123456cosincos()in(3)cos()in(5)pCttCttCtt代入上面微分方程比较两边系数可得01234561,5,CC则电流 的前五次谐波为()it1111cosincos(3)sin(3)cos(5)sin()2556ptttttt3.10 求图示各信号的傅立叶变换。解：（a）由 的波形可知1ft1,0tft其 它则 的傅立叶变换为1ft10jtjtFjfed2jjsae（b）由 的波形
10、可知2ft21,0tft其 它则 的傅立叶变换为2ft201jtjtFjfeded2j j jje（c）由 的波形可知3ft3cos,120,tft其 它则 的傅立叶变换为3ft33jtFjfed1cos2jted12jtjtjt122jtjtedsinsin222cos（d）由 的波形可知4ft4sin,20Tttft其 它则 的傅立叶变换为4ft44jtFjfed2 222sinisin4sinsiTjtTjjTj T3.11 根据上题（a） （b）的结果，利用傅立叶变换的性质，求下图所示各信号的傅立叶变换。解： (a) 令 ，由上题可知其傅立叶变换为1,0tft其 它 2jFjsae由
11、的波形可知 1ft 1ftftf由傅立叶变换的性质可知 的傅立叶变换为 2221 4sinj jFjjFjsaesae(b) 令 ，由上题可知其傅立叶变换为1,0tft其 它 2jjsae由 的波形可知2ft233ttftfftf则由傅立叶变换的性质可知， 的傅立叶变换为2ft2FjjFjjFj3322228sincoj j j jaesaesaesae(c) 由 的波形可知3ft 231ftftd则由傅立叶变换的性质可知， 的傅立叶变换为31120FjFj24sinj24sin1j28sin(d) 令 ，由前题可知其傅立叶变换为1,0tf其 它 21jjeFj由 的波形可知 4ft 4ftf
12、f由傅立叶变换的性质可知， 422FjjFj 22 2211cosj jj jejeeej （e）由 的波形图可知5ftsin6,150,ttft其 他则 的傅立叶变换为5ft 15 21sinsin66jt jtjFjfeded(f) 由 的波形图可知6ft1cos0,1060,tttft其 他则 的傅立叶变换为6ft0 16610coscos0jtFjfedttdttd2224sin03.12 若 为虚函数，且 ，试证ft FjRjX ,RX *Fjj解： 令 ， 为 t 的实函数，则有ftgtcosinjtjfedjgttjtdsinRjX式中频谱函数的实部和虚部为singttdco则有
13、 sinsincocoRgttdgttdRX X即 ,X由上面结果可知*FjRjRjXFj3.13 若 为复函数，可表示为ftrifttjft且 的频谱函数为 。式中 、 均为实函数，证明：ftFjri * 1*2rftjj1*2iftFjj解： cosinjtrijfedftjfttjtdcossinsiri i rtdfft 而 ，则有*riftftjf* cosinjtriedftjfttjtdcossnsinri i rf dfftdFj 由 ， ，可知rifttft*riftftjft*12riftfttfj由 ，利用傅立叶变换的线性性质可得*,ftFjftF1*2riftjFjj3
14、.14 据傅立叶变换对称性求下列函数的傅立叶变换 sin2,tft t 2,fttt 2sin,ft tt解： 由于宽度为 ，幅度为 1 的门函数 的频谱函数为 ，即gt 2sasin2gtsa 取 幅度为 ，根据傅立叶变换的线性性质有2,121gtsa即 注意到 是偶函数，根据对称性可得2gt221satg根据时移性和尺度变换可知 242jte由 ，可知sin2tft sat24jftge 由于 22te可知 2et即 的傅立叶变换为2,fttt由于 21sing根据对称性可知 4si12tg根据频域卷积性质，可得 244sin*t又有 1,42440,11*22radsrsgg3.15 求
15、下列信号的傅立叶变换 jtfe31tfte 2sgn9tt 2t 12tft解： 已知 1t由时移性质可得 2je再由频移性质可得 的傅立叶变换 ft21jjtee 31 313tft tttt 又 由时移特性可知 的傅立叶变换为1,tjfjFje 26sgn91fttgt又 366 4sin3jtjtted12则有 4sin3ft 221jjttjteFjfeded 由 tj利用时移特性可得 11jj et e再由尺度变换特性可得 222jjt eej 即 的傅立叶变换为ft2jeFj3.16 试用时域微积分性质，求图示信号的频谱。解：（1）由 的波形可得其闭合表达式为1ft1tft由此可得
16、 1 tftttt 又有 1tj可得 jjet则有 12sincosft 当 时上式值为 0，则有11 2csinFftftjj 由 的波形可得其闭合表达式为2242442fttttttttt 由此可得24242fttttt 又有 1tj可得 22jet 44jt 则有 28coss2ftj当 时，上式为 0，则有22316sinsi8ft 3.17 已知 ，试求下列函数的频谱：ftFj tf 2tftdft 1ft1tft 25ft 2tfd 32jteft1*dt解： 根据频域微分特性可知 djtfFj则有 根据尺度变换特性可得 122dtfjFj则可得 4tfjj 根据频域微分特性可得d
17、jtfFj则有 由傅立叶变换的线性性质可得 22dtftjjj 由时域微分特性可得 jFt又由频域微分特性可得 dfjtj则有 dft djFjjFj 由反转特性可得 ftj又由时移特性可得 1je即 jftF 由频域微分特性可得 dtfjj由反转特性可得 F又由时移性质可得到 1jdtftej即 j 由时移性质可得 55jftFe又由尺度变换特性可得 5212jft 由尺度变换特性可得 22ftFj又由时移性质可得 21jfteFj则有 22jftj当 时，上式为 ，又有 00F1212tdfft则利用时域积分性质可得 1 220t jfdFeFjd 由尺度变换特性可得 122ftFj由时移
18、特性可得 3213jfteFj又由频移特性可得 312jjteftej 由时域微分特性可得 dftjF又有 1sgnjt则由时域卷积定理可得 *sdftjFjFj3.18 求下列函数的傅立叶逆变换10()wFj， ， 00(2)()()jww32cos(3)j 42jFje2(21)0sin(5)jnwFjwe解： 傅立叶逆变换为 1 01()()2wjwt jtftFeded00sin12jtjtt由于 1(2)()w由频移特性可得 0jte0()则有 000sin()1()2jwtjttft j的傅立叶逆变换为3Fj 311()2cos(3)()2jwt jwjjwtfteded()(3)
19、jtjt由于 1，得 ，则有()t1()2jwtted()3)()ftt的傅立叶逆变换为(4)Fjw1()()2jwtfted12jwted- ()-2(1)(1)0jtjwted(1)sinjtte(5)2(21)0sinjnwFjwe35sijwjjwee由于 ，则由时移特性可知2()gtsin， ，2(1)gt2sinjwe2(3)gt 32sinjwe2(5)gt5sinjwe则 的傅立叶逆变换为()Fj 222()1)()()ftttt3.19 用傅里叶变换性质，求如图所示函数的傅里叶逆变换。（a） 的幅频图和相频图可得Fj00, /, /jtAeradsrsj由 ，将 代入，得2r
20、gtSa00200t由傅里叶变换对称性可得0022Satgt整理得 02sinAtt由时移特性可得0002sinjtAtAgeFj则 的傅里叶逆变换为Fj0sintft（b）由 的幅频图和相频图可得j200,jjAeFj由 ，将 代入，得2rgtSa00 00t由傅里叶变换对称性可得00()2()tSag整理得 00sin2tA由频移特性得 0002sin2tjeAgt又由于000Fj则 的傅里叶逆变换为j00202sinsin()ttjj tAAftjet3.20 试用下列方法求图示信号的频谱函数 利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果） ； 利用时域积分定理； 将 看作门函数 与冲
21、激函数 ， 的卷积之和。ft2gt2tt解： 已知 ，将 代入，得 tsa2gtsa由傅立叶变换的时移性质可得 22jgtsae根据傅立叶变换的线性性质可得 的傅立叶变换为f24sincojjFjsae 由 的波形图可得其闭合表达式为ft313ftttt则有 又 ，由时移性质可得1t332sini4sinco2jjjjfeej 当 时上式为 0，则由时域积分定理可得 的频谱函数ft4sicosicjF 已知 21gtsa由时移特性可得 2jjte则由 2*2ftgtt以及时域卷积定理可知 的频谱函数为24sincojjFjsae3.21 试用下列方法求图示余弦脉冲的频谱函数。 利用傅立叶变换定
22、义； 利用微分、积分特性； 将它看作函数 与周期余弦函数 的乘积。2gtcos2t解： 由傅立叶变换定义可得 112csttjjjt jt jtFjfededeed 22sin2incos 由 的波形图可得其闭合表达式为ftcos12tft t则可得 sin1cs12tfttt titt由于 2sin1ttgtsin22tj则由频域卷积定理可得 的频谱函数为ft1 2sin*22Fjj sinsin22j当 时上式为 0，则由积分特性可知 的频谱函数为ft1 2sinsincos22Fjj j 由 的波形可知ft 2costftg又有 cos22tgta则由频域卷积定理得 的频谱函数f 1 *
23、2222Fj sasa2sinsincos223.22 试求图示周期信号的频谱函数。图（b）中冲激函数的强度均为 1。解：(a ) 由于 12cost 利用傅立叶变换的线性性质可得 的频谱函数为f22Fj(b) 的傅立叶级数为ft 221112TTjnt jntjntn TFfedtede则 的频谱函数为ft1 221jnt jntn njeeTTT 3.23 图示升余弦脉冲表示为1cos,120,ttft试用以下方法求其频谱函数 利用傅立叶变换的定义； 利用微分、积分特性 将它看作是门函数 与题 3.21(a)图函数的乘积。2gt解： 由傅立叶变换定义可得1cos2jt jtFjfeded
24、112 1sinjt jtjt ejj （2）由 的表达式可得ft sin,120,ttft则有1sin2jt jtftfededsi4j当 时，上式为 0，则有22sinisin4ft 21coftgtt又 21,2saco2t则 的频谱函数为ft12*Fjsa 2in3.24 如图所示信号 的频谱函数为 ，求下列各值：ftFj 00Fj20Fjdf 2Fjd解： 由傅立叶变换定义jtjfe则有 00ftd又有 1,00,ttft其 他得 302F 由傅立叶逆变换可知1jtfted由此可得 02jt即 02Fjf 由 的波形可知ft 21,02,0ttft其 他则由能量等式可得 2283Fjdftd3.25 一周期为 T的周期信号 ，已知其指数形式的傅立叶系数为 ，求下列周期信()ft ()Fn号的傅立叶系数（1） （2） （3） （4）0()ftt()ftt()dftft(),0ftat解（1）由傅立叶变换时移特性可知 00()()jntftteF
