信号与系统第三章习题答案.pdf

1、3 7 一连续周期信号 f t 周期 T 8 已知其非零傅里叶复系数是 1 1 2F F 3 3 4F F j 试将 f t 展开成三角型傅里叶级数 求 n A 并画出单边幅度谱和相 位谱 解 根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系 n j n n F F e j 1 2 n n F A 可得 31 0 2 1 1 3 3 1 3 2 4 j 2 4 j jj j F F e e F F e e F F p jj 2 4 Q 1 3 1 3 4 8 0 2 A A p j j 单边幅度谱 即 n A 对应的函数波形 0 n w n A单 边 幅 度 频 谱 0 n w n j单 边

2、 相 位 谱 2 p 3 9 已知周期电压 2 2 c os s i n 2 c os 3 4 4 3 u t t t t p p p 试画出其单边 双边振幅谱和相位谱 解 由三角关 系式 c os s i n 2 p a a 可将原式 化为 3 2 2 c o s c o s 2 c o s 3 4 4 3 u t t t t p p p 根据振幅谱和相位谱的定义可得单边振幅谱为 0 1 2 3 2 2 1 1A A A A 0 1 2 3 3 0 4 4 3 p p p j j j j 0 n w n A单 边 幅 度 频 谱 0 n w n j单 边 相 位 谱 3 p 4 p 3 4

3、p 根据单边谱和双边谱的关系 n 1 2 n n F F A 双边相位谱是 单 边相位谱关于原 点奇对称 可得 0 n w n A双 边 幅 度 频 谱 0 1 2 3 0 n 3 4 3 4 3 4 p 4 p 4 p n j双 边 相 位 谱 3 24 求下列信号的傅里叶变换 2 1 2 1 4 2 6 1 8 3 2 jt t t U e t e t U t U td d 解 0 0 2 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 j tj j j t U U t j U t e f t t e F j j t U e f a t F j j a a

4、a a e ww w w w p d w w p d w w w w p d w w d w d w p d w p d w p d w Q 2 2 1 1 2 2 2 j j e e j j w w p d w p d w w w 0 0 0 0 2 2 1 4 2 1 2 2 j t j t j t j j t j e t f t t e F j f t e F j t t e e t e w w w w d w w w d d d Q m 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质 可 得 0 2 1 0 2 1 2 1 6 1 1 1 1 1 1 1 t j t t j t j e t f

5、 t t e F j e t t t t t e e t e w w w d w d d d d d Q 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质 可 得 3 3 8 3 1 1 3 1 3 j j U t U t U t j U t e j U t U t e j w w p d w w p d w w p d w w 1 Q 根 据 傅 里 叶 变 换 的 线 性 性 质 可 得 3 27 已 知 f t F j w 利用傅里叶变换的性质 求下列信号的傅里叶变换 1 3 5 2 1 3 3 4 3 2 5 1 1 6 2 2 j t f t f t t f t e f t t f t t f

6、 t 解 0 0 5 5 3 1 3 5 1 5 1 3 5 3 3 j t j j f t f t t e F j f a t F j a a f t e F j f t e F j w w w w w w w 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质 可 得 0 0 2 1 1 1 j t j j f t f t t e F j f t F j f t e f t e w w w w w 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质 可 得 3 3 1 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 n n n tf t f at F j a a d jt f t F j d f t F j d jt

7、 f t F j d j d t f t F j d w w w w w w w w 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质 可 得 0 0 0 0 3 3 2 3 2 3 1 2 4 3 2 1 3 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 1 3 2 2 2 j t j t j t j j j j j t e f t f t t e F j f a t F j a a f t F j f t e F j f t e F j f t e F j f t e F j e f t e F j w w w w w w w w w w w w w w w m 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质

8、 可 得 0 0 5 1 1 1 1 1 1 j t n n n j j j j t f t f t t e F j d j t f t F j d d j t f t F j d d t f t j F j d d t f t j e F j d d d t f t j e F j j e F j j e F j d d w w w w w w w w w w w w w w w w w w w 根 据 傅 里 叶 变 换 的 性 质 可 得 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t f t d t f t j F j d d t f t j F j d d t f t t f t f

9、 t j F j F j d w w w w w w w 由 题 5 可 得 根 据 傅 里 叶 变 换 的 线 性 性 质 3 36 已知 L T I 系统的微 分方程如下 4 3 5 6 y t y t y t f t y t y t y t f t f t 1 求系统的频率响应 H j w 和冲激响应 h t 2 若激励 2 t f t e U t 求系统的零状态响应 f y t 解 方程 1 4 3 y t y t y t f t 1 对上式两边取傅里叶变换得 2 4 3 j Y j j Y j Y j F jw w w w w w 2 1 3 1 1 1 1 2 2 4 3 3 1

10、1 3 1 2 t t Y j H j F j j j j j j j h t F H j e e U t w w w w w w w w w w 2 若激励 2 t f t e U t 系统的零状态响应 f y t f t h t 或者 1 1 f y t F Y j F F j H jw w w g 由已知得 1 2 F j j w w 31 2 1 1 2 3 1 2 3 1 Y j F j H j j j j KK K j j j w w w w w w w w w g g 用部分分式展开法 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 3 3 2 3

11、 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 j j j j j j K Y j j j j j j K Y j j j j j j K Y j j j j j j w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w g g g g g g g g g 所以 1 1 1 2 2 2 3 1 Y j j j j w w w w 1 2 3 1 1 2 2 t t t f y t F Y j e e e U tw 方程 2 5 6 y t y t y t f t f t 1 对上式两边取傅里叶变换得 2 5 6 j Y j j Y j Y j j F j

12、 F jw w w w w w w w 2 1 3 2 1 1 2 1 5 6 3 2 3 2 2 t t Y j j j H j F j j j j j j j h t F H j e e U t w w w w w w w w w w w w 2 若激励 2 t f t e U t 系统的零状态响应 f y t f t h t 或者 1 1 f y t F Y j F F j H jw w w g 由已知得 1 2 F j j w w 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2 3 j Y j F j H j j j j K K K j j j w w w w w w w w w

13、w g g 采用部分分式展开法 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 2 3 2 j j j K Y j j d K Y j j d K Y j j w w w w w w w w w w g g g 即 2 1 2 2 2 2 3 Y j j j j w w w w 根据傅里叶变换的性质 d j t f t F j d w w 2 2 2 1 1 1 1 a t a t a t e U t j a d j d j a j a d j j t e U t d j a j a t e U t j a w w w w w w w w 所以 1 2 2 3 2 2 t t t f y t

14、F Y j te e e U tw 3 42 如 习 题 图 3 23 所 示 系 统 已 知 输 入 信 号 f t 的 频 谱 为 F j w 2 6 H j gw w 试画出 x t y t 的频谱 解 c o s 5 5 5 t p d w d w 频谱图 为 f 1 t 1 1 c o s 5 1 5 5 2 1 5 5 2 1 5 5 2 f t f t t F j F j F j F j F j F j w w p d w d w p w d w w d w w w g f 1 t 的 频谱图 为 1 2 因为 1 1 1 1 x t F X j F F j H jw w w g

15、 所以 x t 的 频谱 图 为 1 2 5 3 0 3 5 1 w H 1 jw 1 2 1 1 2 1 1 2 1 cos 3 3 3 2 1 1 3 3 3 3 2 2 y t x t t F H j F X j H j Y j X j H j X j X j H j w w p d w d w w p w w p d w d w w w w w p g g g g 所以 y t 的 频谱图 为 1 4 1 2 1 4 3 48 一 个 线 性 时 不 变 系 统 的 频 率 响 应 如 习 题 图 3 27 所 示 若 输 入 s i n 3 c os 5 t f t t t 求 y

16、t 2 j p 2 j p 图 3 27 6 s i n 3 s i n 3 3 3 3 3 t t s a t g t t p w 见 课本 P 85 2 2 2 g t sa sa t g t t t t t w t p w 根 据 对 称 性 cos 5 5 5 t p d w d w 6 6 6 s i n 3 c o s 5 5 5 5 5 t f t t g g g t p p w p d w d w w w p 1 2 2 频谱图 为 2 p 2 j p 2 j p 2 4 j p w 6 0 2 Y j w 6 2 2 4 j p 由 频谱图 可以 得到 Y j w 的 表达式

17、 为 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 2 4 4 4 2 Y j j g g g j g j p w w w p w p d w d w p p w p d w d w p g 4 2 s i n 4 2 s i n 4 4 y t s a t t s a t t p p g g 3 50 如习题图 3 29 所示 系统 已知 s i n 2 t f t tp s g n H j jw w 求 输出 y t 1 1 2 c o s 4 si n 4 4 4 4 4 y t f t t f t F H j t Y j F j F j H j j Y j Y j w w w p d

18、 w d w w w p d w d w p p w w 1 1 2 2 g g g 4 s i n 2 2 2 t f t s a t g t w p p 即 1 4 4 1 4 4 2 Y j g gw w w 的 图形 为 1 2 求 2 4 4 2 j Y j F j H jw w w d w d w g 4 4 1 s g n s g n 2 2 2 j j F j H j g j gw w w w w w g g g 的 图形 为 w0 2 g 4 w 2 1 w0 1 2 1 2 1 s g n 2 w 20 2 1 2 1 2 2 4 1 s g n 4 4 2 Y j gw w w d w d w g 的 图形 为 w0 1 2 1 2 2 2 4 6 4 6 Y 2 j w 最后 1 2 Y j Y j Y jw w w 的 图形 为 1 2 w0 1 2 1 2 2 2 4 6 4 6 Y 2 j w 1 从图 中 可以 得到 2 2 2 2 1 5 5 5 5 2 2 c o s 5 Y j g g g s a t t w w w p w p d w d w p p p g