1、必修四第一章 三角函数,1.1.1 任意角的概念,1、角的概念,初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 初中学过的角的范围是：0至 360。,2角的概念的推广,“旋转”形成角 如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,“正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150，=660，,特
2、别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0）此时零角的始边与终边重合。 角的记法：角或可以简记成，或简记为： .如=-1500 ， =00， =6600 等等,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了, 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080） 还有零角, 一条射线，没有旋转.,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、
3、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量,（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（1）旋转中心：作为角的顶点.,（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， 540等角度.,3象限角,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限
4、的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等,4终边相同的角, 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.,探究：终边相同的角都可以表示此角与k(kZ)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=1) 30=30+0360 (k=0), 1470=30+4360(k=4) 1770=305360 (k=5), 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：| =+k360，
5、kZ 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。,注意以下四点： kZ， K 0，表示逆时针旋转， K 0,表示顺时针旋转. 是任意角； k360与之间是“+”号，如k36030,应看成(30)+ k360 ； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.,所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：| =+k360， kZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。,例1. 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.,例2
6、. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.,例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.,终边落在坐标轴上的情形,0,90,180,270,+K 360,+K 360,+K 360,+K 360,或360+ K 360,第一象限的角表示为 |k360 90 + k360,kZ；第二象限的角表示为 | 90 + k360180 +k360，kZ；第三象限的角表示为 | 180 + k360 270 + k360，kZ第四象限的角表示为 | 270 + k360 360 + k360，kZ,例4、写出终边落在y轴上的角
7、的集合.,0,90,180,270,+K 360,+K 360,+K 360,+K 360,课堂练习,1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角,2 、已知角2的终边在x轴的上方，那么是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角,3、若是第四象限角，则180是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角,4、若90135，则的范围是_，+的范围是_
8、;,5、若的终边与60角的终边相同，那么在0,360）范围内，终边与角 的终边相同的角为_;,弧度制,1、角度制的定义规定周角的 为1度的角这种用度做单位来度量角的制 度叫角度制。,2、弧长公式及扇形面积公式,1、弧度制,我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。,设弧AB的长为l，,若l=r，则AOB= 1 弧度,1弧度,则AOB= 2 弧度,2弧度,若l=2r，,若l=2 r，,2弧度,若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则AOB的弧度数的绝对值是,-3弧度,由弧度的定义可知：,圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。,定义的合理性,一般地，
9、我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝对值：,其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的制度叫做弧度制。,2、弧度与角度的换算,若l=2 r，,由180= 弧度 还可得,3、圆的弧长公式及扇形面积公式,l = r,4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：,正实数,零,负实数,对应角的弧度数,练习,练习,小结：,1、量角的制度:角度制与弧度制弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，为以后学习三角函数打下基础。,2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。,3、弧长公式：,扇形面积公式：,（其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数),写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：,
