1、圆的讲义1. 圆可以看成：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。其中的定点是圆心，定长是半径。2. 设平面内一点P与半径为r的O的圆心O的距离为d，则点P与O的位置关系为：点P在O外 dr；点P在O上 d=r；点P在O内 dr。11. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。12. 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。13. 与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心，叫做三角形的内心；三角形的内心到三角形三边的距离相等；这个三角形叫做圆的外切三角形。14
2、. 设O1、O2的半径分别为r、R（Rr），两圆圆心距O1O2=d，则两圆的位置关系为：两圆外离 dR+r；两圆外切 d=R+r；两圆相交 R-rdR+r；两圆内切 d=R-r；两圆内含 dR-r 。15. 定理：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦。两圆相切时，连心线通过切点。16. 定理：把圆分成n等份(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。17. 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。18. 扇形弧长公式：C1=； 扇形面积公式：S扇形=C1R 。19. 圆锥的
3、侧面展开图是一个扇形；扇形的半径等于圆锥的母线长；扇形的弧长等于圆锥的底面周长；扇形的面积等于圆锥的侧面积。 教 学 内 容板块一 【本讲重、难点】 1理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质；2理解圆是轴对称图形；3. 掌握垂径于弦的直径的性质定理及其推论；4. 理解圆心角，圆周角的概念;5. 掌握在同圆或等圆中，弧弦圆心角及弦心距之间的关系；6. 掌握圆周角定理及其推论。板块二【中考考点】A层次要求（基本要求）1. 理解圆及其有关概念；2. 知道圆的对称性，了解弧弦圆心角的关系;3. 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角；4. 会在相应的图形中确定
4、垂径定理的条件和结论。B层次要求（略高要求）1. 会过不在同一直线上的三点做圆；能利用圆的有关概念解决简单问题；2. 能用弧，弦，圆心角的关系解决简单问题；3. 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题；4. 能用垂径定理解决有关问题。C层次要求（较高要求）1. 能运用圆的性质解决有关问题；2. 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题。板块三【本讲知识梳理】1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的
5、点都在同一个圆上（另一定义）； 以O为圆心的圆，记作“O ”，读作“圆O”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。4.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.(3)
6、小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).6.垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：经过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。这五条中可以“知二推三”7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角；10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离.11.弧弦圆
7、心角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.12.圆周角定理及其推论（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。板块四【精选例题】（一） 对圆定义的考查【例1】下列判断中正确的是（ ）A. 平分弦的直线垂直于弦B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的
8、直线必平分这条弧所对的弦【例2】如果两条弦相等，那么（ ）A这两条弦所对的弧相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等D以上答案都不对（二）与圆有关的角【例3】如图，已知AB为O的直径，E20， DBC50，则CBE_ 【例4】（08山东滨州）如图所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个CBDOA【例5】（08山西太原）如图，是O的直径，是O的弦，连接，若，则的度数为 【例6】（08年江苏南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边 缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是 为了监控整个展厅，最少需
9、在圆形边缘上共安装这样的监视器 台【例7】（2007重庆市）已知，如图：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC450。给出以下五个结论：EBC22.50；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 .【例8】（2009年甘肃白银）如图，O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则O的半径为（）A5B4C3D2【例9】（2009年广西南宁）如图，的直径，弦，则弦的长为（ ）ABCD【例10】(2009年河北)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内
10、，则APB等于（ ）A30 B45 C60 D90 （三）圆心角弧弦之间的关系与垂径定理EBDCAO【例11】（08辽宁沈阳）如图所示，是O的一条弦，垂足为，交O于点，点在O上（1）若，求的度数；（2）若，求的长图12【例12】（2007山东德州）如图，是O的内接三角形， 为O中上一点，延长至点，使（1）求证：；（2）若，求证：【例13】（2009广州）如图，在O中，ACB=BDC=60，AC=.（1）求BAC的度数； （2）求O的周长 【例14】（2006年金华市）如图，已知AB是O的直径,点C,D在O上,且AB5,BC3.(1) 求sinBAC的值; (2) 如果OEAC, 垂足为E,求O
11、E的长;(3) 求tanADC的值.(结果保留根号) 【例15】（2009山西省太原市）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）【例16】（2009年兰州）如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒, APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( ).（四）圆的对称性【例17】（08宣武一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径.下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。 作图题：请你用圆
12、规、直尺补全这个输水管道的圆形截面；（不写作法，但要保留作图痕迹） 若这个输水管道有水部分的水面宽16 cm，水面 最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径. （三）圆心角弧弦之间的关系与垂径定理EBDCAO【例11】（08辽宁沈阳）如图所示，是O的一条弦，垂足为，交O于点，点在O上（1）若，求的度数；（2）若，求的长CEAODB图12【例12】（2007山东德州）如图，是O的内接三角形， 为O中上一点，延长至点，使（1）求证：；（2）若，求证：【例13】（2009广州）如图，在O中，ACB=BDC=60，AC=.（1）求BAC的度数； （2）求O的周长 【例14】（2006年金华市）如
13、图，已知AB是O的直径,点C,D在O上,且AB5,BC3.(1) 求sinBAC的值; (2) 如果OEAC, 垂足为E,求OE的长;(3) 求tanADC的值.(结果保留根号) 【例15】（2009山西省太原市）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）（四）圆的对称性【例16】（08宣武一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径.下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。 作图题：请你用圆规、直尺补全这个输水管道的圆形截面；（不写作法，但要保留作图痕迹） 若这个输水管道有水
14、部分的水面宽16 cm，水面 最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径. AmB板块五【课堂练习】1. 如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 等于( ) A. 60 B. 90 C. 120 D. 1502. 如图AB为O的直径，AC交O于E点，BC交O于D点，CD=BD，C=70 现给出以下四个结论： A=45； AC=AB：； CEAB=2BD2其中正确结论的序号是A B C D3. 如图，量角器外缘边上有三点，它们所表示的读数分别是，则的大小为（ ）ABCD4. 如图，在两半径不同的同心圆中，AOBAOB60，则（ ）A. B. C. 的度数的度数D. 的长度的长度5. 如图，已知O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60，的度数为100，则AEC等于（ ）A. 60 B. 100 C. 80 D. 1306. （2008广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射 线AN交该圆于点D、E，且（1）求证：AC=AE（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写 作法）.求证：EF平分CEN
