1、第四章 复习题（一）一、判断题1、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（ ）2、设是可测集上的非负简单函数，则在上勒贝格可积。（ ）3、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）4、设是可测集上的非负可测函数，则一定存在。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积。（ ）6、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）7、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（ ）8、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。（ ）9、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则在上勒贝格可积。（ ）10、设是可测集上的可测函数， 若且，则在上勒贝格可积
2、。（ ）11、设是可测集上的可测函数， 若，则。（ ）12、设是可测集上的可测函数， 若且，则。（ ）13、若为零测集，为上的任何实函数，则。（ ）14、若，则。（ ）15、若，则。（ ）16、若，则。（ ）17、若，为的可测子集，则。（ ）18、在上勒贝格积分值存在。（ ）19、若，且，则于。（ ）20、若在上可积，则若在上可积，且。 （ ）21、若，且于，则。（ ）22、若，则于。（ ）23、若，则于。（ ）24、若与存在，且，则。（ ）25、若存在，是的可测子集，且，则。（ ）26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（ ）二、计算题1、设，求。解：因为有理数集为零测集，所以，于，于是。2、设，其中为中的三分康托集，求。解：因为，所以，于，于是。三、证明题1、设是可测集上的可测函数，且，则。证明：由题设及不等式性，有。所以，从而。2、，。则，且。证明：因为，而由，得，即。所以，。3、设，是的可测子集，且，若，则。证明：因为是的可测子集，且，所以，从而由得，。又，由积分的绝对连续性，。4、设，若对任意有界可测函数都有，则于。证明：由题设，取，显然为上的有界可测函数，从而。所以，于，即于。5、设，证明（1）；（2）。证明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由积分的绝对连续性得，从而注意到，所以，。
